Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
5.7. ПАРЫ ЛАКСА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 271
где βn=3− Pn. Полагая n =1в (5.179), имеем уравнение четвертого
порядка [177]
+5ωzωzz− 5ω2ωzz− 5ωω
ω
zzzz
2
+ ω5− zω − β1=5, (5.180)
z
которое совпадает с уравнением (5.57). В случае n =6из (5.179) получаем
уравнение шестого порядка
ω
zzzzzz
+7ωzω
28
ωω
−
3
2
−20ω
zωzz
ωzz−21ωω
z
ω2−
zzzz
3
+14ωzzω4+28ω
z
−14ω
2
+14ωzzω
zz
2
ω3− 28ωωzω
z
4
7
ω
− zω − β2=0.
3
zzz
−7ω3ω
−
zzz
zzzz
−
(5.181)
Уравнение (5.181) имеет решение в виде существенно трансцендетной
функции относительно постоянных интегрирования. Можно надеяться, что
каждое уравнение семейства (5.179) имеет решения в виде трансцендент.
5.7. Пары Лакса для уравнений четвертого порядка
В п.2.16 показано, что уравнения Пенлеве могут быть записаны в виде
линейных систем уравнений относительно новой зависимой переменной.
Эти представления позволяют построить решения уравнений Пенлеве [149,
150,179, 180].
Семейства уравнений
[y]=
n
L
y
z
z
, (n =1, 2,...) , (5.182)
2
1
2
−
y
2
− zy − α
=0, (5.183)
n
n+1
L
+ y
z
d
dz
[y]= z, (n =1, 2,...) , (5.184)
H
n
H
y
n
z
d
+ y
z
dz
1
2
y
−
2
− zy − β
=0, (5.185)
n
полученные из точно решаемых семейств уравнений, в частном случае дают
уравнения Пенлеве, и поэтому можно ожидать, что все уравнения этих семейств могут быть выражены через линейные системы уравнений. Докажем
теорему.
272 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Теорема 5.5. Уравнение (5.54) может быть представлено линейной
системой уравнений относительно новой независимой переменной.
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
Покажем, что уравнения (5.182) при n =1иприn =2могут быть
представлены в виде линейных систем уравнений.
Предположим, что
Ψ=
Ψ
1
Ψ
2
является решением линейной системы уравнений:
=ˆMΨ, (5.187)
Ψ
z
=ˆNΨ, (5.188)
Ψ
λ
гдеˆM иˆN являются матрицами 2 × 2 и λ — спектральный параметр.
Условия совместности уравнений (5.187) и (5.188)
(Ψ
)λ=(Ψλ)
z
z
приводит к матричному уравнению
+
ˆ
N
λ
−ˆNz=
ˆN,ˆ
M,, (5.190)
+
ˆN,ˆ
где
M,— коммутатор матрицˆNиˆM.
Для уравнения (5.54) матрицыˆM иˆN будем искать в виде:
ˆ
M =
⎛
0 λ +2y
⎜
⎝
−
1
2
⎞
⎟
,ˆN =
⎠
0
⎛
AB
⎝
C −A
⎞
⎠
. (5.191)
(5.186)
(5.189)
Условие совместности (5.190) с учетом элементов матриц (5.191) принимает вид:
− 1+4yA +2Aλ =0, (5.192)
B
z
1
A
B − Cλ − 2Cy =0, (5.193)
−
z
2
+ A =0. (5.194)
C
z
5.7. ПАРЫ ЛАКСА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 273
Будем искать элементы матриц A, B и C ввиде:
A(y,...,λ)=a
B(y,...,λ)=b
C(y,...,λ)=c
(y,z)+b1(y,z)λ + b2(y,z)λ2, (5.196)
0
(y,z), (5.195)
0
(y,z)+c1(y,z)λ. (5.197)
0
Тогда, подставляя (5.195)–(5.197) в (5.192)–(5.194), получаем, что элементы
матрицыˆN для уравнения (5.182) при n =1принимают вид:
A(y,...,λ)=y
B(y,...,λ)=z − 2y
, (5.198)
x
2
− 2yλ − 2λ2, (5.199)
C(y,...,λ)=−y + λ. (5.200)
Система линейных уравнений для (5.182) при n =2выражается также
системой (5.187) и (5.188), в которой элементы матрицы (5.199) выражаются
формулами:
B(y,...,λ)=z −8y
C(y,...,λ)=−3y
A(y,...,λ)=6yy
3
−4yyzz+2y
+ y
z
2
−2y2+2y
z
2
− yzz+2yλ −2λ2. (5.203)
− 2yzλ, (5.201)
zzz
zz
λ +4yλ
2
+4λ3, (5.202)
Сравнивая элементы матриц (5.198) – (5.200) для (5.182) при n =1и
элементы (5.202) – (5.203) для (5.190) при n =2, можно найти зависимости
элементов матриц линейных уравнений A, B и C для уравнения (5.182) в
случае произвольных целых n.
Справедлива теорема, которая обобщает теорему 5.5.
Теорема 5.6. Пусть элементы A, B и C матрицыˆN задаются соотношениями
B =2
A =
2
d
+4y +2λ
2
dz
C = −
n−1
k=0
(−2λ)
n−1
k=0
d
k
dz
n−1
k=0
(−2λ)kL
n−k−1
L
[y], (5.204)
(−2λ)kL
n−k−1
n−k−1
[y], (5.205)
[y] , (5.206)
274 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
тогда семейство уравнений (5.182) представляется системой линейных
уравнений (5.187), (5.188).
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
Из уравнений (5.192) – (5.194) находится уравнение для элемента C
матрицыˆN ввиде
C
+4yCz+2Cyz+2λCz+
zzz
1
=0. (5.207)
2
Подставляя выражение (5.206) в (5.207) и приводя подобные члены,
имеем соотношение
dz
d
L
n
[y] −
1
=0, (5.208)
2
которое после интегрирования по z сводится к (5.182). Принимая во внимание зависимость (5.206), находим выражения для элементов A и B по
формулам (5.193) и (5.194).
Теорема 5.7. Семейство уравнений (5.183) может быть представле-
но эквивалентной линейной системой уравнений.
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
Получим систему линейных уравнений для решения уравнений семейства (5.183) при n =1иприn =2.Изп.2.16следует,чтопараЛакса
для второго уравнения Пенлеве представляется следующей системой уравнений:
Ψ
=ˆP Ψ, (5.209)
z
=ˆQΨ, (5.210)
λΨ
λ
где ψ — вектор-функция, определяемая (5.186),ˆP иˆQ — матрицы 2 × 2,
имеющие вид
ˆ
P =
−iλ y
yiλ
,ˆQ =
AB
C −A
. (5.211)
Условия совместности системы уравнений (5.209) и (5.210) принимают
вид
A
+ yB − yC + iλ =0, (5.212)
z
B
+2yA +2iλB =0, (5.213)
z
− 2yA − 2iλC =0. (5.214)
C
z
5.7. ПАРЫ ЛАКСА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 275
Элементы A, B и C, соответствующие второму уравнению Пенлеве,
находятся последовательно из условий (5.212)–(5.214) и выражаются формулами
A(y,...,λ)=−i(z −2y
2
)λ +4iλ3, (5.215)
B(y,...,λ)=α − 2iy
C(y,...,λ)=α +2iy
λ − 4yλ2, (5.216)
z
λ − 4yλ2. (5.217)
z
Поскольку второе уравнение Пенлеве является частным случаем семейства уравнений (5.183), то элементы A, B и C для пары Лакса, соответствующей уравнению (5.183) при n =2, будем искать в виде следующих
полиномов по параметру λ:
A(y,...,λ)=a
B(y,...,λ)=b
(y,z)+b1(y,z)λ + b2(y,z)λ2+ b3(y,z)λ3+ b4(y,z)λ4,
0
(y,z)λ + a3(y,z)λ3+ a5(y,z)λ5, (5.218)
1
(5.219)
C(y,...,λ)=c
(y,z)+c1(y,z)λ + c2(y,z)λ2+ c3(y,z)λ3+ c4(y,z)λ4.
0
(5.220)
Подставив (5.218) – (5.220) в уравнения (5.212) – (5.214) и приравняв
нулю выражения при одинаковых степенях λ, получаем следующие значения коэффициентов.
= −iz +6iy4− 4iyyzz+2iy
a
1
a
=8iy3,a4=0,a5=16i, (5.222)
3
= c0= α, b1= −c1=2i(y
b
0
b
= c2=4(yzz− 2y3),b3= −c3= −8iyz, (5.224)
2
= c4= −16y. (5.225)
b
4
2
,a2=0, (5.221)
z
− 6y2yz), (5.223)
zzz
Общие формулы для элементов A, B и C матрицы Q, соответствующие
семейству уравнений (5.183), даны в [190].
Теорема 5.8. Семейство уравнений (5.184) может быть представле-
но эквивалентной линейной системой уравнений.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Покажем, что (5.184) можно представить при n =1в виде линейной
системы уравнений.
276 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Рассмотрим систему линейных уравнений [158]:
Ψ
= −3yΨz−
zzz
ω
= A(z,λ)Ψzz+ B(z,λ)Ψz+ C(z, λ)Ψ. (5.227)
0Ψλ
3
y
− λΨ, (5.226)
z
2
Принимая во внимание условие совместности для уравнений (5.226)
и (5.227)
(Ψ
)λ=(Ψλ)
zzz
, (5.228)
zzz
имеем
1
A
− Bz, (5.229)
zz
3
− 3λAz+3yB +2B
3
By
2
3
A
zyzz
2
zz
−
−
zzzz
1
2
3
A
zzyz
2
− 6y2Az−
Ay
zzz
=0.
=0, (5.230)
zzz
−
+3yAzz+6yBz+
A
zzzz
(z,λ)=2yA −
3
2
−3A
−yA
1
A
3
zz
− 3λBz+
zzzzz
λ +3yBzz− 6yyzA + B
9
+
zzz
B
zyz
2
y
zAz
−
Предполагая, что в (5.230), (5.231)
(5.231)
A = a
B = b
(z),
0
(z)+b0(z)λ
1
(5.232)
получим, приравнивая выражения при одинаковых степенях λ нулю, коэффициенты b
(z),a0(z) и b1(z)
0
a
b
(z)=−6α0,
0
(z)=−6α0y − 2α1,
0
(z)=3α0y
b
1
z
(5.233)
и уравнение
α
0(yzzzzz
В (5.233) и (5.234) α
+36yzyzz+18yy
+α
+12yyz)+ω0=0.
1(yzzz
и α1— произвольные постоянные. Интегри-
0
+72y2yz)+
zzz
(5.234)
руя (5.234) по z, приходим к уравнению
α
y
0
zzzz
2
+9y
+24y3+18yy
z
zz
+ α
y
1
zz
+6y
2
+ ω
z =0.
0
(5.235)
5.8. ОБОБЩЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ 277
Уравнение (5.235) при α1=0,α0=1совпадает с уравнением семейства (5.184) при n =1.
Используя систему (5.230) и (5.231), можно найти пары Лакса для уравнений семейства (5.184) при n 2 [189,190].
Оставляем читателю возможность найти пару Лакса для семейства
уравнений (5.185).
Приведенные выше системы линейных уравнений могут быть использованы для решения высших уравнений Пенлеве методом изомонодромной
деформации [180].
5.8. Обобщения уравнений Пенлеве
В п. 2.16, исходя из системы линейных уравнений, нами получены
первое и второе уравнения Пенлеве.
По существу, при нахождении первого уравнения Пенлеве использовано условие совместности (5.236), имеющее вид [2,102, 189]:
ω(λ)U
=4UAz+2AUz+ A
λ
, (5.236)
zzz
где U(z, λ) — потенциал, A(z, λ) — зависимость от y(z) и λ.
Полагая
ω(λ)=1,U= y +2λ, A(z, λ)=−y(z)+λ, (5.237)
из (5.236) в п. 2.16 получено первое уравнение Пенлеве. В случае ω(λ)=λ
при линейном потенциале и линейной зависимости A(z, λ) от λ из (5.236)
находится P
∗
чен P
)иприω(λ)=λ(λ − λ0) — специальный случай P5(далее обозна-
3
∗
) [2, 189].
чен P
5
,приω(λ)=λ2— специальный случай P3(далее обозна-
34
Для квадратичного потенциала U (z, λ) и линейной зависимости от λ
из (5.236) находится второе уравнение Пенлеве при ω(λ)=1,четвертое
уравнение Пенлеве в случае ω(λ)=λ, третье уравнение Пенлеве при
ω(λ)=λ
2
и пятое уравнение Пенлеве при ω(λ)=λ(λ − λ0).
Покажем, что в случае линейного и квадратичного потенциала и зависимости A(z, λ) ввиде
n
A(z,λ)=
i=0
ai(x)λ
n−i
(5.238)
из (5.236) находятся высшие аналоги уравнений Пенлеве.
278 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Пусть
U(z, λ)=P (z) − λ, (5.239)
тогда, полагая ω(λ)=ω
из (5.236), имеем
0
4PA
+2PzA − A
z
− 4λAz=0. (5.240)
zzz
Подставляя (5.238) в (5.240) и приравнивая выражения при одинаковых
степенях λ нулю, приходим к цепочке уравнений:
a
=0, (5.241)
0,z
4a
k+1,z
=4Pa
+2Pzak− a
k,z
4Pa
n,z
+2Pza
, (k =0, ..., n− 1), (5.242)
k,zzz
n,z
− a
+ ω0=0. (5.243)
n,zzz
Из (5.241) и (5.242) имеем
a
(z)=c0, (5.244)
0
1
0
(P
c
0
8
c
P (z)+c1, (5.245)
0
2
1
− 3P2)+
zz
2
L
[P ]+
c
P + c2. (5.246)
1
2
1
c
L1[P ]+c2, (5.247)
1
2
Коэффициент a
где оператор L
(z)=
a
1
a
(z)=−
2
(z) можно представить в виде:
2
a
2
k
[P ] определяется формулой Ленарда [261]:
c
8
(z)=−
d
dz
k+1
L
[P ]=−4PL
k
[P ] −2PzLk[P ]+L
z
Сформулируем теорему.
Теорема 5.9. Решения a
(5.242) определяются формулой
a
m
(z)=
m
1
2
i=1
i−1
1
−
4
k
[P ],L1[P ]=P. (5.248)
zzz
(z)(m =1, ..., n) уравнений (5.241),
m
c
Li[P ]+cm(m =1,..., n). (5.249)
m−i
5.8. ОБОБЩЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ 279
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Проводится методом математической индукции. При m =1иприm =
=2, (5.249) совпадает с (5.245) и (5.246). Полагая справедливость (5.249)
при m = p, из (5.242) получаем, что a
(z) определяется (5.249) при m =
m
= p +1.
Полагая m = n в (5.243), после интегрирования по z имеем уравнение
n+1
1
2
i=1
i−1
1
c
−
4
n+1−i
Li[P ]+c
= −ω0z. (5.250)
n+1
Введем обозначения
i−1
1
P (z)=y(z),ω
= −α,αi=
0
1
−
2
c
, (i =1,..., n+1).
4
n+1−i
(5.251)
После преобразования переменных y(z) и z, уравнение (5.250) принимает
вид [158, 189]:
n+1
αiLi[y]=αz. (5.252)
i=2
Уравнение (5.252) является обобщением семейства уравнений (5.182).
Полагая α
=1,α
2
=0, из (5.252) получаем первое уравнение Пенлеве.
i=2
При n =3из (5.252) имеем уравнение шестого порядка
+α
α
4
3(yzzzz
y
− 35y4− 21y
zzzzzz
+70y
2
− 5y
− 10yyzz+10y3)+α2(yzz− 3y2)+α1y = αz.
z
2
− 14yy
zz
2
yzz+70yy
z
2
zzzz
+
− 28yzy
zzz
+
(5.253)
Пара Лакса, соответствующая уравнению (5.252), находится из систе-
мы уравнений
Ψ
=(P (z) − λ)Ψ, (5.254)
zz
ω(λ)Ψ
=2A(z,λ)Ψz− Az(z,λ)Ψ, (5.255)
λ
которая эквивалентна уравнению (5.236).
Подставляя
n
m
m=1
αiLi[y]+c
i=1
m
P (z)=y(z),ω(λ)=−α, A(z,λ)=
n−m
λ
(5.256)
280 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
в систему уравнений (5.254), (5.255), получаем линейную систему уравнений, эквивалентную уравнению (5.252).
Вслучаеω(λ)=ω
n
λ (ω0— постоянная), из (5.236) имеем
0
αkLk[y]+4u(z)=αz, (k =1, ..., n) (5.257)
k=1
2
2yu
− uuzz+
где y(z) и u(z) — переменные, α, α
1
u
2
и δ — постоянные.
k
2
δ
2
=
, (5.258)
z
2
Полагая u(z)=δ =0из (5.257), находим семейство уравнений, ко-
торое было получено выше. В случае α
P
34
1
uuzz−
2
− 2αzu2+8u3+
u
z
2
=1,α
1
=0имеем уравнение
k=1
2
δ
=0. (5.259)
2
Это уравнение в списке уравнений Пенлеве находится под номером 34
и поэтому в литературе называется P
. Оно может быть сведено ко второму
34
уравнению Пенлеве, если использовать замену
+ δ
u
z
S(z)=
. (5.260)
2u
В результате из (5.259) получим уравнение
S
=2S3− 2αzS +4δ + α. (5.261)
zz
Подставляя (5.260) в уравнение (5.258), имеем
y = S
+ S2. (5.262)
z
Используя (5.260) и (5.262), из (5.257) и (5.258) получим
d
dt
− 2S
n
k=1
αkL
"
k
S
z
#
2
+2αzS −4δ =0. (5.263)
+ S
Уравнение (5.263) является обобщением семейства уравнений (5.183).
При n =3из (5.263) находим уравнение шестого порядка:
α
3
−70S
S
− 56SSzS
zzzzzz
2
Szz+70S4Szz + 140S
z
+α
+α
2(Szzzz
1(Szz
− 10SS
− 2S3)+2αzS + α − 4δ =0.
− 14S2S
zzz
2
− 10S2Szz+6S5)+
z
zzzz
2
S2− 20S
z
− 42SS
2
−
zz
7
+
(5.264)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]