Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
6.2. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ 311
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Доказательство следует из (6.23).
Разделив на |a|
2
, имеем
2
|t(k)|
+ |r(k)|2=1. (6.29)
Предложение 6.6. В коэффициенте отражения r(k) содержится вся
информация о непрерывном спектре матрицы/T .
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
Пусть коэффициент r(k) известен, тогда из (1.33) имеем
2
−|r|2|a|2=1.
|a|
Откуда
|a(k)|
2
=(1−r2(k))−1. (6.30)
Из (6.30) следует, что по модулю r(k) однозначно находится модуль
a(k),аизb(k)=r(k)a(k) находится модуль b(k).
Покажем, что при Im k>0 и при заданных нулях функции a (k) нахо-
дится аргумент a (k).
Введем функцию a
(k), аналитичную в верхней полуплоскости и не
1
имеющую в ней нулей:
N
2
k + χ
a
1
(k)=
n=1
k − iχ
n
· a (k) . (6.31)
n
Очевидно, что
|a
(k)| = |a (k)|. (6.32)
1
В соответствии с интегральной формулой Коши
∞
−∞
1
iπ
f (ξ)
dξ, Im z>0
ξ −z
∞
F (z)
−
z− z
−∞
. (6.33)
dz
имеем
f (z)=
F (z)=
1
2πi
312 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
Здесь −имеет смысл главного значения интеграла. Из (6.33) следует,
что
Im F(z)=−
1
π
∞
−
−∞
Re F (z)
z− z
. (6.34)
dz
Поскольку
ln a
(k)=ln|a1(k)| + i arg a1(k) , (6.35)
1
то
arg a
(k)=−
1
1
π
∞
−
−∞
ln |a1(k)|
k− k
. (6.36)
dk
Из (6.31) следует, что
N
k + iχ
ln a
(k)=lna(k)+
1
ln
n=1
k − iχ
n
. (6.37)
n
Принимая во внимание формулу
ln a (k)=ln|a(k)| + i arg a (k) ,
из (6.37) имеем
N
k + iχ
ln a
(k) −
1
ln
n=1
k − iχ
n
=ln|a (k)| + i arg a (k) . (6.38)
n
Откуда приходим к формуле, позволяющей восстановить arg a (k) вви-
де
arg a(k)=
N
n=1
k + iχ
ln
k − iχ
n
n
∞
ln |a1(k)|
1
−
−
π
−∞
k− k
. (6.39)
dk
Дискретный спектр оператора Шредингера — простой
2
= k
λ
n
n
2
= −χ
, (6.40)
n
и все решения, соответствующие дискретному спектру, получаются из
какого-либо одного решения, умноженного на постоянное число.
6.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ВИД УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 313
Если асимптотику волновой функции при x →−∞взять в виде
(n)
ϕ
(x)=exp(χnx)+o (exp (χnx)) , (6.41)
то при x → +∞ имеем волновую функцию в виде
(n)
ϕ
(x)=bnexp (χnx)+o (exp (−χnx)) . (6.42)
Собственные функции, соответствующие дискретному спектру, как и
собственные значения, — вещественные.
Пронумеровав собственные значения λ
в порядке возрастания
n
λ
1<λ2
где λ
— энергия основного состояния, и предполагая, что ϕ
1
новая функция, соответствующая этому состоянию, не имеющая нулей при
x ∈ ]−∞, ∞], получаем, что ϕ
< ... < λn< 0, (6.43)
(1)
(x) —вол-
(n)
(x) имеет n − 1 нулей, согласно осцилля-
торной теореме [67].
Поэтому
b
n
=(−1)
n−1
|bn|. (6.44)
Определение 6.1. Совокупность величин
S = {r (k) ,χ
, |bn|,n=1, ..., N} (6.45)
n
называется данными рассеяния.
Результатом прямой задачи рассеяния при заданном потенциале U (x)
является отыскание данных рассеяния r (k) ,χ
, |bn|, полностью опреде-
n
ляющих спектр задачи (6.7).
6.3. Интегральный вид стационарного уравнения
Шредингера
Стационарное уравнение Шредингера (6.7) можно записать в виде си-
стемы уравнений
dv
dx
=v − k
dΨ
dx
= v.
2
Ψ;
(6.46)
314 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
Если ввести вектор-функцию
Y =
Y
1
Y
2
=
Ψ
, (6.47)
v
то (6.46) запишется в виде уравнения
dY
+ˆBY = UˆσY, (6.48)
dx
где матрицыˆB и ˆσ определяются выражениями:
ˆ
B (k)=
0 −1
k
0
, ˆσ =
2
00
10
. (6.49)
Решение уравнения (6.48) имеет вид
Y (x, k)=e
−ˆBx
c (x, k) , (6.50)
где
x
U (ξ) e
−ˆB(x−ξ)
ˆσY (ξ, k)dξ. (6.51)
+
x
0
c (x, k)=Y (x
,k) e
0
−ˆB(x−x0)
Справедливо утверждение.
Предложение 6.7. ПустьˆI — единичная матрица 2 × 2,ˆB (k) —опре-
деленная выше матрица, тогда
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
ˆ
Bx
e
=ˆI cos kx +
1
ˆ
B sin kx. (6.52)
k
Доказательство соотношения (6.52) проводится путем сравнения пра-
вой и левой частей (6.52) при разложении в ряд Тейлора.
С учетом (6.52), уравнение (6.50) можно представить в виде
Y (x, k)=
x
U (ξ)
+
x
0
ˆ
I cos k (x −x
ˆ
I cos k (x −ξ) −
1
ˆ
B (k)sink (x − x
) −
0
k
1
ˆ
B (k)sink (x − ξ) ˆσY (ξ, k) dξ.
k
Y (x
)
0
,k)+
0
(6.53)
6.4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 315
Поскольку Y1(x, k)=Ψ(x, k),то
Ψ(x, k)=Ψ(x
dΨ(x
×
При x
→ +∞ из (6.54) имеем
0
Ψ(x, k)=e
Вслучаеx
ϕ (x, k)=e
,k)cosk (x − x0)+
0
x
,k)
0
dx
−ikx
→−∞из (6.54) получаем
0
−ikx
1
+
U (ξ)sink (x − ξ)Ψ(ξ, k)dξ.
k
x
0
∞
1
−
+
U (ξ)sink (x − ξ)Ψ(ξ, k)dξ. (6.55)
k
x
x
1
U (ξ)sink (x − ξ) ϕ (ξ, k) dξ. (6.56)
k
−∞
1
sin k (x − x
k
0
) ×
Уравнения (6.55) и (6.56) являются интегральными представлениями
стационарного уравнения Шредингера.
6.4. Аналитические свойства амплитуды рассеяния
В теории рассеяния широкое распространение имеют функции, опре-
деляемые формулами
ikx
ikx
ikx
ikx
=1,
=1.
,
,
χ
(x, k)=ϕ (x, k) e
−
(x, k)=Ψ(x, k) e
χ
+
удовлетворяющие граничным условиям
lim
lim
= ϕ(x, k) e
=Ψ(x, k) e
x→−∞
x→+∞
(6.54)
(6.57)
(6.58)
Используя (6.57), из уравнений (6.53) и (6.56) получаем интегральные
уравнения для χ
(x, k) и χ+(x, k) ввиде:
−
(x, k)=1+
χ
−
−∞
x
U (ξ)
2ik(x−ξ)
e
2ik
− 1
χ
(x, k) dξ, (6.59)
−
316 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
∞
χ+(x, k)=1−
x
U (ξ)
2ik(x−ξ)
e
2ik
− 1
χ
(ξ, k) dξ. (6.60)
+
Из (6.59) следует, что в силу ограниченности показательной функции
при Im k>0, функция χ
(x, k) может быть аналитически продолжена
−
на верхнюю полуплоскость комплексной переменной k.Аналогичныесоображения позволяют установить, что χ
(x, k) может быть аналитически
+
продолжена на нижнюю полуплоскость.
При k → +∞ из (6.60) имеем
χ
(x, k)=1+
+
Из аналитичности χ
∞
U (ξ)
2ik
x
(x, k) при Im k>0 следует аналитичность
−
dξ + o
1
. (6.61)
2
k
ϕ (x, k) при Im k>0.
Предложение 6.8. Функция a (k) аналитична при Imk>0 и имеет
асимптотику
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
a (k)=1+o
1
, при |k|→∞. (6.62)
2
k
Поскольку
∗
ϕ (x, k)=a (k)Ψ(x, k)+b (k)Ψ
(x, k) ,
то
W (ϕ, Ψ
∗
)=ϕ Ψ
∗
− Ψ∗ϕx= a(Ψ Ψ
x
∗
− Ψ∗Ψx)=2ika (k) . (6.63)
x
Откуда получаем
a (k)=
1
2ik
∗
(ϕ Ψ
− Ψ∗ϕx) . (6.64)
x
Аналогично находим
∗
W (Ψ,ϕ
)=2ikb (k) ,
ипоэтому
b (k)=
1
2ik
∗
(Ψϕ
− ϕ∗Ψx) . (6.65)
x
Из (6.64) следует, что a(k) аналитична в верхней полуплоскости и
имеет асимптотику (6.62).
Предложение 6.9. Точки верхней полуплоскости, в которых a (k
)=0,
n
(n =1, ..., N), образуют дискретный спектр оператора Шредингера.
6.4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 317
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Из (6.64) следует, что если a (k
∗
)Ψ
ϕ(x, k
(x, kn)=Ψ∗(x, kn)ϕx(x, kn). (6.66)
n
x
)=0,то
n
Из (6.66) получаем
Функция ϕ (x, k
ϕ (x, k
), в соответствии с определением, экспоненциально
n
)=bnΨ∗(x, kn) . (6.67)
n
убывает при k →−∞и совпадает с асимптотикой собственной функции
оператора Шредингера, и, следовательно, ϕ(x, k
функцией оператора L, соответствующей собственному значению k
Предложение 6.10. Нули a (k) лежат на мнимой оси, т. е. k
) является собственной
n
2
n
2
— веще-
n
.
ственны.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из самосопряженности оператора Шредингера.
Предложение 6.11. Нули a (k) —простые.
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Д
Покажем, что
)
da (k
n
a
k(kn
)=
=0. (6.68)
dk
Дифференцируя обе части уравнения (6.7) по k, получаем
Умножая (6.7) на ϕ
+∞
(ϕxxϕk− ϕ
−∞
−ϕ
+ Uϕk=2kϕ + k2ϕk. (6.69)
xxk
, а (6.69) на ϕ и вычитая одно из другого, имеем
k
+∞
ϕ)dx =2k
xxk
ϕ2dx.
−∞
Откуда
+∞
ϕ2dx. (6.70)
−∞
W (ϕ, ϕ
+∞
)|
= −2k
k
−∞
С другой стороны, из (6.63) получаем
W (ϕ
, Ψ∗)|
k
x=∞
+W (ϕ, Ψ
∗
)|
k
=2ikak. (6.71)
x=∞
318 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
Поскольку
ϕ (x, k
)=bnΨ∗(x, kn) , (6.72)
n
то из (6.70) и (6.71) имеем
+∞
b
W (Ψ∗,ϕk)|∞−W (ϕ, ϕk)|−∞= −2k
n
b
W ( ϕk, Ψ∗)|∞+ b
n
2
W (Ψ∗, Ψ
n
∗
)|−∞=2ikbnak. (6.74)
k
ϕ2dx, (6.73)
−∞
Складывая (6.73) и (6.74) и учитывая, что
∗
W (Ψ
,ϕk)=−W (ϕk, Ψ∗) , (6.75)
2
b
W (Ψ∗, Ψ
n
∗
)|−∞− W ( ϕ, ϕk)
k
=0, (6.76)
−∞
приходим к соотношению [22]:
+∞
ib
=
nak
ϕ2dx. (6.77)
−∞
.
Отсюда следует, что a
=0при k = kn.
k
6.5. Уравнение Гельфанда – Левитана – Марченко
Соотношение (6.13), после умножения на exp (iky) /a (k),приметвид
a (k)
iky
=Ψ(x, k) e
iky
+ r (k)Ψ∗(x, k) e
iky
. (6.78)
ϕ (x, k) e
После интегрирования обеих частей по k, имеем
−∞
∞
ϕ (x, k)
a (k)
iky
e
dk =
−∞
∞
Ψ(x, k) e
iky
∞
+
r (k)Ψ∗(x, k) e
−∞
iky
dk. (6.79)
Интеграл в левой части (6.79) вычисляется, как
∞
−∞
ϕ (x, k)
a (k)
iky
e
dk =2πi
N
n=1
ϕ (x, iχn)
ak(iχn)
−χny
e
. (6.80)
6.5. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬФАНДА – ЛЕВИТАНА – МАРЧЕНКО 319
Поскольку
ϕ (x, iχ
)=bnΨ∗(x, iχn)=bnΨ(x, −iχn) , (6.81)
n
то (6.80) можно записать в виде
∞
−∞
ϕ (x, k)
a (k)
iky
e
dk =2πi
N
bnΨn(x, −iχn)
n=1
ak(iχn)
Введем новую функцию K (x, y) в соответствии с формулой:
∞
+
x
K (x, y) e
−iky
dy, (6.83)
Ψ(x, k)=e
−ikx
тогда выражение (6.82) примет вид
−∞
∞
ϕ (x, k)
a (k)
iky
e
dk =2πi
N
n=1
−χny
bne
ak(iχn)
"
−χnx
e
+
∞
K (x, z)e
x
С другой стороны, из (6.79) имеем
∞
−∞
+
=2π
+
ϕ (x, k)
a (k)
−∞
iky
e
⎡
iky
e
∞
r (k)
⎣
K (x, z) δ (y −z) dz +
x
∞
K (x, z)
x
⎡
⎣
−∞
dk =
ikx
e
∞
−∞
+
r (k) e
∞
iky
e
K (x, z)e
x
ik(z+y)
⎡
⎣
−ikx
e
−∞
dk
∞
⎤
⎦
+
ikz
dz
r (k) e
dz.
∞
K (x, z)e
x
⎤
⎦
dk =
ik(y+x)
−ikz
dk+
−χny
e
dz
⎤
⎦
. (6.82)
−χnz
dz] .
(6.84)
dk+
(6.85)
320 ГЛАВА 6. МОЗР И МЕТОД ХИРОТЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КДВ
Приравнивая правые части (6.84) и (6.85), получаем
∞
2πi
N
n=1
b
n
ak(iχn)
−χn(x+y)
e
=2πK (x, y)+
∞
+
K (x, z)
−∞
+2πi
⎡
⎣
−∞
x
−∞
∞
K (x, z) ·
∞
r (k) e
r (k) e
n=1
ik(y+x)
ik(z+y)
∞
dk
b
n
ak(iχn)
dk+
⎤
⎦
dz.
−χn(z+y)
e
Пусть F (x) — выражение, содержащее данные рассеяния:
∞
1
+
2π
−∞
r (k)e
ikx
dk, (6.87)
F (x)=
N
n=1
−χnx
bne
iak(iχn)
тогда уравнение (6.86) можно представить в виде
∞
F (x + y)+K (x, y)+
K (x, z) F (z + y) dz =0. (6.88)
x
=
(6.86)
Уравнение (6.88) было получено И.М. Гельфандом, Б.М. Левитаном и
В.А. Марченко [1, 13, 28]. Оно позволяет по известным данным рассеяния
находить K (x, y) из линейного интегрального уравнения (6.88).
Используя (6.83), имеем
∞
χ
(x, k)=1+
+
=1−
ik
1
K (x, y) e
K (x, y) e
x
ik(x−y)
y=∞
y=x
ik(x−y)
+ o
dy =
1
k
(6.89)
.
Поскольку при y →∞
1
K (x, y) e
ik
ik(x−y)
→ 0,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]