Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
3.15. АНАЛИЗ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ КДВ 171
3.15. Анализ модифицированного уравнения Кортевега –
де Вриза
Рассмотрим применение метода ВТК для модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза:
3
2
u
−
2
ux+ u
u
t
Подставляя (3.172) в ведущие члены уравнения (3.213), имеем p = −1,
u
= ±2 zx. Следовательно, при разложении решения в ряд по степеням
0
функции z (x, t) уравнение (3.213) имеет два семейства решений (p = −1,
=2zxи p = −1,u0= −2zx).
u
0
Подставляя
u = ±2z
z−1+ urz
x
во второе и третье слагаемые (3.213), находим, что две ветви решений
имеют одинаковые индексы Фукса:
r
= −1,r2=3,r3=4.
1
Полагая, что решение (3.213) имеет вид
=0. (3.213)
xxx
r−1
(3.214)
u =2z
z−1+ u1+ u2z + u3z2+ u4z3, (3.215)
x
находим после подстановки (3.215) в (3.213) цепочку уравнений:
u
= −zxxz
1
z
Оставшиеся два уравнения, полученные в результате приравнивания
нулю соотношений при z
u
заданы формулами (3.216) и (3.217). Поэтому коэффициенты u3и u
2
2
=3z
t
u2+
x
0
и z1, зануляются в предположении, что u1и
−1
, (3.216)
x
3
2
−1
z
z
− z
. (3.217)
xx
2
xxx
x
являются произвольными функциями. Таким образом, модифицированное
уравнение Кортевега – де Вриза проходит тест Пенлеве.
Полагая в (3.215) u
Подставляя u
3
2
u
−
u
1,t
u
1
2
1,x+u1, xxx
1
≡ 0,приj 2 имеем
j
u = ±2
z
x
+ u
,u1= ∓
1
z
z
xx
. (3.218)
z
x
из (3.218) в уравнение (3.213), получаем соотношение:
= ±
∂
∂x
∂
1
z
x
∂x
3
2
−1
z
−
z
t
z
xx
x
2
+ z
xxx
, (3.219)
4
172 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
из которого следует, что если z (x, t) удовлетворяет уравнению:
3
2
−1
z
−
z
t
то u
, вычисленное по формуле (3.218), является решением уравнения
1
z
+ z
xx
x
2
=0, (3.220)
xxx
(3.213). Уравнение (3.220) есть уравнение особого многообразия для (3.213)
[238], совпадающее с (3.217) при u
=0. Из сравнения уравнений (3.212)
2
и (3.220) следует, что уравнения особых многообразий для мКдВ и КдВ совпадают, если переменную интегрирования в (3.212) положить равной нулю.
Однако, используя метод ВТК, не удается найти систему линейных уравнений, соответствующую задаче рассеяния для решения задачи Коши мКдВ.
Чтобы получить такую систему, Р. Конт и М. Мусет использовали модификацию метода ВТК, учитывающую два особых многообразия [130,226].
3.16. Усеченные разложения, как отображения решений
нелинейных уравнений
Из результатов п. 3.3 следует, что преобразование Миуры, по существу,
является отображением множества решений модифицированного уравнения
Кортевега – де Вриза на множество решений уравнения Кортевега – де Вриза. Это обстоятельство позволяет не только находить решения уравнения
КдВ при известных решениях модифицированного уравнения КдВ, но и
послужило отправной точкой при нахождении пары Лакса для уравнения
Кортевега – де Вриза. В п. 3.12 было также установлено, что преобразование
Коула – Хопфа находится путем «усечения» разложения по степеням новой
функции. Это преобразование является отображением решений линейного
уравнения теплопроводности на решения уравнения Бюргерса.
Покажем, что усеченные разложения, которые были найдены при исследовании модифицированного уравнения КдВ, являются отображениями
решений уравнения сингулярной поверхности (3.220) на решения модифицированного уравнения КдВ (3.213).
Из (3.218) имеем
u =
2z
z
x
−
z
z
xx
∂
=
x
∂x
ln
2
z
. (3.221)
z
x
Полагая в (3.221)
2
z
ϕ
=
x
, (3.222)
z
x
3.16. УСЕЧЕННЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ КАК ОТОБРАЖЕНИЯ 173
получаем формулу:
ϕ
xx
u =
. (3.223)
ϕ
x
Следовательно, одно из соотношений (3.219) может быть представлено
в виде [197]
+ z
xxx
. (3.224)
3
2
−
2
u
ux+ u
xxx
u
t
∂
∂
=
∂x
∂x
2
−
z
∂
∂x
z
x
2
z
3
xx
−
t
z
x
2
Это соотношение показывает, что усеченное преобразование (3.221)
является также отображением решений уравнения (3.220) на решения модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза.
Используя преобразование Миуры
2
ω = u
u
, (3.225)
−
x
2
после подстановки (3.223) в (3.225) получаем
ω = {ϕ; x}, (3.226)
где {ϕ; x} обозначает производную Шварца [263], которая задается формулой:
{ϕ; x} =
ϕ
xxx
ϕ
x
2
ϕ
3
xx
−
. (3.227)
2
2
ϕ
x
Принимая во внимание соотношения (3.34) и (3.219), находим связь
между уравнением сингулярного многообразия (3.220) и уравнением Кортевега – де Вриза в виде:
ω
+3ωωx+ ω
=
∂
∂x
ϕ
xx
−
ϕ
x
t
∂
∂x
1
2
−
ϕ
ϕ
x
∂x
=
xxx
∂
ϕ
t
2
ϕ
3
xx
−
+ ϕ
ϕ
x
2
xxx
(3.228)
.
Следовательно, решения уравнения Кортевега – де Вриза могут быть
найдены по формуле (3.226) при известных решениях уравнения (3.220).
Соотношение (3.228) для уравнения КдВ может быть записано в более общем виде, если принять во внимание уравнение для сингулярной поверхности (3.212).
174 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
3.17. Инвариантный пенлеве-анализ
Робер Конт обратил внимание на то, что при пенлеве-анализе нелинейных уравнений в частных производных встречаются выражения в виде
производной Шварца и переменной скорости [129–131]
z
S = {z; x},C= −
Эти переменные инвариантны относительно группы дробно-линейных
преобразований
z =
aϕ + b
cϕ + d
,ad−bc =0. (3.230)
В самом деле, легко проверить, что, делая замену переменных (3.230)
в (3.229), имеем
{z; x} = {ϕ; x},
Поэтому Р. Конт предложил проводить пенлеве-анализ нелинейных
уравнений в частных производных, используя не произвольную функцию
z (x, t), а переменную χ, определяемую выражением:
χ =
z
x
z
z
xx
−
2z
x
−1
=
t
. (3.229)
z
x
ϕ
z
z
1
2
t
x
∂x
t
=
. (3.231)
ϕ
x
−1
2
z
∂
ln
. (3.232)
z
x
Оказалось, что переменные S и C связаны с переменной χ простыми
уравнениями, которые следуют из теоремы.
Теорема 3.2. Пусть S, C и χ определены формулами (3.229) и (3.232),
тогда эти переменные связаны следующими соотношениями:
1
Sχ
2
1
(CS + C
2
2
, (3.233)
) χ2. (3.234)
xx
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
χ
= χCx− C −
t
χ
=1+
x
Справедливость формул (3.233) и (3.234) устанавливается непосредственной подстановкой в них выражений для S, C и χ через функцию
z (x, t).
3.17. ИНВАРИАНТНЫЙ ПЕНЛЕВЕ-АНАЛИЗ 175
Оказалось, что анализ на свойство Пенлеве для целого ряда нелинейных уравнений в частных производных гораздо удобнее проводить, используя инвариантные переменные. Алгоритм теста Пенлеве в этом случае имеет
следующие особенности.
Пусть задано нелинейное уравнение в частных производных
E (u, u
, ..., x, t)=0, (3.235)
x,ut
для которого требуется проверить, проходит ли оно тест Пенлеве.
На первом этапе, как и в алгоритме Ковалевской, решение ищется в
виде
u = u
χp. (3.236)
0
Подставляя (3.236) в ведущие члены уравнения (3.235), находятся возможные семейства решений исходного уравнения.
На втором этапе определяются индексы Фукса для каждого семейства
решений. С этой целью в ведущие члены исходного уравнения подставляется выражение:
u = u
χp+ urχ
0
В результате приравнивания выражения при u
r+p
. (3.237)
нулю, находятся зна-
r
чения индексов Фукса r. Естественно, как и во всех других случаях алгоритмов пенлеве-анализа, значения p и значения r для всех ветвей должны
быть целыми. Очевидно, что на первых двух этапах инвариантный пенлевеанализ совпадает с методом Ковалевской.
На третьем этапе, полагая
j
r
u =
j=0
проверяется произвольность коэффициентов u
дексам Фукса. На данном этапе исследования производные χ
ujχ
j+p
, (3.238)
для значенийj, равным ин-
j
r
и χt,появ-
x
ляющиеся при подстановке (3.238) в исходное уравнение, заменяются правыми частями уравнений (3.233) и (3.234). Характерно, что коэффициенты
в данном случае зависят лишь от переменных S, C и их производных.
u
j
Исходное уравнение, в результате приравнивания выражений при разных
степенях χ нулю, расщепляется на ряд уравнений, зависящих также от S,
C и их производных.
Однако S и C не являются независимыми переменными, поскольку они
определяются через производные от переменной z. Условие совместности:
(χ
)x=(χx)
t
t
(3.239)
176 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
для уравнений:
1
2
χ
χ
= χCx− C −
t
=1+
x
Sχ
2
1
(CS + C
2
, (3.240)
2
xx
) χ
(3.241)
приводит к дополнительному уравнению для переменных S и C ввиде
[129–131]
+ C
S
t
+2SCx+ SxC =0. (3.242)
xxx
Соотношение (3.242) следует принимать во внимание при проведении
пенлеве-анализа уравнений с применением инвариантных переменных.
3.18. Применение инвариантного пенлеве-анализа для
нахождения пар Лакса
Инвариантный пенлеве-анализ в ряде случаев упрощает процедуру на-
п. 3.14 следует, что эта процедура достаточно громоздка и не алгоритмична
даже для уравнения Кортевега – де Вриза.
Преобразуем систему уравнений (3.233), (3.234) в линейную систему
уравнений относительно новой функции. С этой целью воспользуемся заменой
Тогда уравнение (3.233) запишется в виде
χ =
1
. (3.243)
Y
S
= −Y2−
Y
x
. (3.244)
2
Уравнение (3.234) преобразуется при этом в следующее:
1
Y
= CY2− CxY +
t
(CS + C
2
Последнее уравнение можно представить в виде
1
Y
= −(YC)x+
t
C
, (3.246)
xx
2
если воспользоваться заменой (3.244).
) . (3.245)
xx
3.18. ПРИМЕНЕНИЕ ИНВАРИАНТНОГО ПЕНЛЕВЕ-АНАЛИЗА 177
Сделав замену
Ψ
Y =
x
Ψ
(3.247)
в уравнениях (3.244) и (3.246), приходим к системе линейных уравнений
относительно функции Ψ [129–131]:
1
SΨ=0; (3.248)
+
Ψ
xx
2
Ψ
+ CΨx−
t
1
C
Ψ=0. (3.249)
x
2
Покажем, что из этой системы уравнений легко находится пара Лакса
для уравнения Кортевега – де Вриза
+3uux+ u
u
t
=0. (3.250)
xxx
Используя тест Пенлеве в инвариантной форме, получаем усеченное
разложение в виде:
1
4
(C −4S) . (3.251)
u = −
+
2
3
χ
Подставляя (3.251) в (3.250) и учитывая систему уравнений (3.233),
(3.234), получаем при
C = S − 3λ (3.252)
соотношение:
u
+3uux+ u
t
= −St−3Sx(S −λ)−S
xxx
= −vt−3vvx−v
xxx
xxx
где введено обозначение
v = S −λ. (3.254)
Условие совместности (3.242) при этом также совпадает с уравнением (3.250).
Полагая S и C, найденные из (3.252) и (3.254) в уравнениях (3.248)
и (3.249), имеем пару Лакса для уравнения КдВ (3.250) в виде:
, (3.253)
xx
1
+
2
Ψ
Ψ
+(v −2λ)Ψx−
t
(v + λ)Ψ =0, (3.255)
1
v
Ψ=0. (3.256)
x
2
178 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
В качестве еще одного примера применения системы уравнений (3.248)
и (3.249) найдем пару Лакса для уравнения sin-Гордона.
Уравнение sin-Гордона:
v
=sinv (3.257)
xt
заменой переменных
u =exp(iv) (3.258)
приводится к виду
2(uu
− uxut) − u3+ u =0. (3.259)
xt
Используя тест Пенлеве для уравнения (3.259) в инвариантных переменных, имеем p = −2,u
= −4C.
0
Индексы Фукса для обоих семейств решений равны −1 и2.Наря-
ду с выбором произвольной переменной χ при разложении в ряд Лорана,
оказывается произвольным и коэффициент u
. При этом выражение для u
2
возьмем в виде
2
u = −
4C
χ
4C
+
2
C
x
x
−
χ
. (3.260)
C
Подстановка (3.260) в (3.259) при условии, что
2
S = −
C
C
xx
C
x
+
+ λ, (3.261)
2
2C
приводит к соотношению:
= −16C
×
1
C
2(uu
λ
2
2CC
− uxut) − u3+ u =
xt
C
2C
x
xt
2
1
−
χ
− 2CxCt− 2λC3+
C
−
2C
x
3
∂
1
−
χ
∂x
×
(3.262)
C
.
2λ
Уравнение (3.242) при этом можно представить в виде
+2CxS + SxC + C
S
C
x
=
2C
3
t
1
2C
∂
2
∂x
− 2CxCt− 2λC3+
2CC
xt
−
xxx
=
C
2λ
(3.263)
.
3.19. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ОСНОВНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ 179
Выражение в круглых скобках в формулах (3.262) и (3.263) совпадает
с левой частью уравнения sin-Гордона в переменных
и λ, если последние
связаны с u равенством:
u
C =
. (3.264)
2λ
Система уравнений (3.248) и (3.249) становится парой Лакса для уравнения sin-Гордона, если принять во внимание (3.261) и (3.264) [264]
2
u
u
xx
1
+
2
2u
u
Ψ
+
t
2λ
Ψ
xx
x
2
Ψ
+ λΨ=0, (3.265)
−
u
u
x
Ψ=0. (3.266)
−
x
4λ
Приведенные примеры показывают, что использование инвариантных
переменных упрощает процедуру нахождения пар Лакса для некоторых
нелинейных уравнений в частных производных.
3.19. Соотношения между основными точно решаемыми
нелинейными уравнениями
В п. 3.16 показано, что усеченные разложения являются отображениями
решений простейшего уравнения сингулярного многообразия на решения
модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза. Подобные формулы
имеют место для ряда нелинейных уравнений в частных производных. Это
обстоятельство позволяет находить решения целого ряда нелинейных уравнений через решения уравнений сингулярного многообразия.
Пусть уравнение сингулярной поверхности имеет вид [196,201, 205]
+ zxR [{z; x}]=0, (3.267)
z
t
где z (x, t) — функция от двух переменных x и t; R — некоторый оператор,
действующий на производную Шварца {z; x}. Используя инвариантные переменные, уравнение (3.267) может быть представлено в виде
C = R [S] . (3.268)
Справедливо следующее предложение.
Предложение 3.1. Пусть заданы формулы:
u = −
2z
x
+ u
,u1=
1
z
z
xx
, (3.269)
z
x
180 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
тогда справедливы равенства:
1x
2
u
1
= {z; x}. (3.270)
−
2
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
2
u
u
x
= {z; x},u
−
2
Проводится непосредственной проверкой соотношений, полученных
при подстановке выражений (3.269) в левые части (3.270).
Рассмотрим семейство уравнений:
∂
∂
+
u
t
∂x
+ uRu
∂x
2
u
−
x
=0, (3.271)
2
которое можно назвать семейством модифицированных уравнений, поскольку, полагая
Ru
2
u
−
x
= u
2
2
u
−
x
2
(3.272)
в (3.271), имеем модифицированное уравнение Кортевега – де Вриза (3.213).
Предложение 3.2. Пусть u (x, t) и z (x, t) связаны условиями (3.269),
тогда справедливы соотношения:
1x
2
u
−
−
=
2
2
u
1
=
2
(3.273)
(3.274)
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
u
= −
u
1t
∂
∂
+ uRu
∂x
1
∂
−
z
x
∂x
∂
∂x
+ u
1
x
+ zxR [{z; x}]) ,
(z
t
Ru
∂
1
z
x
∂x
+ zxR [{z; x}]) .
(z
t
+
t
∂x
∂
2
z
∂x
∂
+
∂x
∂
=
∂x
Подставляя (3.269) в левые части (3.273) и (3.274), получаем тождества.
Рассмотрим еще одно семейство нелинейных уравнений, имеющих вид
3
∂
+
ω
t
∂x
3
+ ωx+2ω
∂
R [ω]=0. (3.275)
∂x
Для уравнений (3.275) имеем предложение.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]