Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
2.7. АЛГОРИТМ КОВАЛЕВСКОЙ 91
2.7. Алгоритм Ковалевской анализа дифференциальных
уравнений
При исследовании задачи о волчке Ковалевская искала решение задачи,
не только не имеющее критических подвижных особых точек, но предполагала, что решения исходной задачи имеют простые полюса.
Рассмотрим алгоритм, использованный Ковалевской, на примере исследования одного дифференциального уравнения. Пусть имеем нелинейное ОДУ n-го порядка
= F (y, y1, ... , y
y
n
,z) . (2.78)
n−1
Здесь введены обозначения
Пусть z
n−1
dy
y
— произвольная особая точка решения дифференциального
0
≡
1
, ... , y
dz
n−1
≡
d
dz
y
n−1
,yn≡
d
dz
n
y
.
n
уравнения (2.78). Следуя Ковалевской, предположим, что решение уравнения (2.78) имеет лишь простые полюса, поэтому его можно представить
вблизи z
посредством ряда Лорана [99, 100]
0
∞
y =
aj(z −z0)
j=0
j−p
. (2.79)
Естественно, что гипотеза о представлении решения уравнения (2.78)
в виде (2.79) требует обоснования, которое заключается в том, что разложение (2.79) будет иметь место, если в нем найдется n произвольных
постоянных (констант интегрирования) уравнения (2.78). Поскольку одной
из постоянных служит z
в коэффициенты a
j
, то остальные n − 1 констант должны входить
0
. Если число этих постоянных в решении (2.79) будет
меньше, чем порядок уравнения, то предположение о существовании решения в виде (2.79) не верно и решение исходного уравнения содержит не
только простые полюса.
Алгоритм Ковалевской был улучшен в работе М. Абловица, А. Рамани
и Х. Сигура [99,100]. Они предложили следующую процедуру.
Первый шаг. Определение наименьшей степени в (2.79). С этой целью
в ведущие члены исходного уравнения (2.78) подставляется выражение
y =
a
0
,ξ= z − z0. (2.80)
p
ξ
92 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Определение 2.12. Ведущими членами в уравнении (2.78) является ynи
одно слагаемое (или несколько слагаемых) в правой части (2.78), которые
дают наименьшую степень ξ.
Например, в уравнении второго порядка
y
= y2+ Ay + B (2.81)
zz
ведущими членами являются y
zz
и y2.
Подставляя (2.80) в ведущие члены уравнения (2.78) и приравнивая
выражения при наименьших степенях ξ, можно определить пары значений
). Их может быть несколько. В этом случае они соответствуют раз-
(p, a
0
личным семействам решений уравнения (2.78). Например, подставляя (2.80)
в ведущие члены уравнения (2.81), находим, что
2
a
0
0
=
,
2p
ξ
откуда p =2,a
p (p +1)a
p+2
ξ
=2. Имеем одно семейство решений.
0
Для того чтобы решение уравнения (2.78) не имело критических подвижных алгебраических особых точек, значение p на этом шаге должно
быть целым. В случае дробного или мнимого p, исходное уравнение не
имеет свойства Пенлеве. Однако значение p может подсказать замену в исходном дифференциальном уравнении, с помощью которой можно перейти
к уравнению типа Пенлеве.
Например, если подставить (2.80) в дифференциальное уравнение
1
3
y
= −
y
z
то получим, что (p, a
0
)=
1
, ±1, откуда следует, что уравнение (2.82)
2
не имеет свойства Пенлеве. Однако, сделав замену y =1/
+ Ay, (2.82)
2
√
v в уравнении
(2.82), получаем линейное уравнение
=1−2Av, (2.83)
v
z
имеющее свойство Пенлеве.
Если все полученные на первом шаге значения p целые, то анализ
дифференциального уравнения может быть продолжен.
Второй шаг. Определение индексов Фукса для каждой пары значений
).
(p, a
0
2.7. АЛГОРИТМ КОВАЛЕВСКОЙ 93
Определение 2.13. Индексами Фукса называются номера jr(r =1, ...,
n − 1) коэффициентов a
фициенты a
не определяются.
j
в разложении решения (2.79), при которых коэф-
j
Индексы Фукса (иногда называемые резонансами)определяютсяпри
подстановке выражения
a
0
p
+ βξ
r−p
,ξ= z − z
0
(2.84)
y =
ξ
в ведущие члены уравнения (2.78).
Здесь β один из коэффициентов разложения (2.79), который не определяется в результате подстановки (2.79) в исходное уравнение (2.78). Подставив (2.84) в ведущие члены уравнения (2.78) и приравняв выражения с
первой степенью β нулю, получим соотношение
Q (r) β ·ξ
q
=0,q −p + r − n, (2.85)
где Q(r) —многочлен.
Корни уравнения
Q (r)=0, (2.86)
соответствующие β =0, определяют индексы Фукса.
При решении уравнения (2.86) следует иметь в виду, что один из индексов Фукса всегда равен −1. Это значение соответствует произвольности
выбора z
. Любые корни при Re r>0, не равные вещественному целому
0
числу, указывают на критические подвижные особые точки вблизи z = z
В этом случае необходимости в проведении дальнейшего анализа нет, поскольку уравнение не имеет свойства Пенлеве.
Многочлен Q (r) должен иметь n − 1 неотрицательных целых корней,
поскольку общее решение ОДУ n-го порядка при разложении вблизи подвижного полюса должно иметь n произвольных постоянных. В случае,
если хотя бы для одной пары (p, a
) положительных целых корней мень-
0
ше n − 1, локального общего решения вида (2.79) уравнения (2.78) нет и
для анализа дифференциального уравнения на свойство Пенлеве следует
проводить дополнительное исследование.
Корни уравнения (2.86) для индексов Фукса таких, что Re r<0 (кроме −1) указывают на то, что решение уравнения (2.78) в виде (2.79) непредставимо, и описываемый метод для анализа данной ветви решения не применим. Для ответа на вопрос о свойстве Пенлеве уравнения (2.78) в этом
случае также требуется дополнительное исследование.
.
0
94 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Если все корни уравнения (2.86) кроме −1 (и возможно 0) положительные и целые числа для каждой пары значений (p, a
), то в решении урав-
0
нения (2.78) критических подвижных алгебраических особых точек нет, но
возможны критические подвижные особые точки логарифмического типа.
Третий шаг. Определение постоянных интегрирования в решении дифференциального уравнения (2.78).
Предположим, что r
тельные целые корни уравнения (2.86) для каждой пары (p, a
(i =1, ..., s; r1 r2 ... rs) —положи-
i
),где
0
s n − 1.
Подставляя
r
s
j−p
ajξ
y =
j=0
,ξ= z − z0,s=1, ..., n− 1 (2.87)
в дифференциальное уравнение (2.78) и приравнивая последовательно выражения при одинаковых степенях ξ нулю, получаем соотношение при j =
=1, 2, ..., r
из которого рекуррентным способом последовательно находятся a
Q (r
)=0при j = r1в силу (2.86), и коэффициент a
1
Коэффициент a
s
Q (j) aj= Rj(z0,a,a1, ..., a
в этом случае можно выбрать произвольным, если
r
1
R
(z0,a,a1, ... , a
r
1
r1−1
), (2.88)
j−1
r
1
)=0. (2.89)
.Однако
j
не определяется.
Если
(z0,a0,a1, ... , a
R
r
1
r1−1
) =0,
то соотношение (2.88) не выполняется и гипотеза о разложении решения
уравнения (2.78) в ряд Лорана (2.79) не верна.
Решение y (z) при этом следует искать в виде
r1−1
y =
aj(z −z0)
j=0
так, чтобы выражение Q (r
определяется коэффициент b
j−p
+[a
+ b
r
1
) b
1
r
1
ln (z − z0)] (z − z0)
r
1
стало равным нулю. Из этого условия
r
1
при произвольном выборе a
r1−p
+ ... (2.90)
. Однако, про-
r
1
должая вычислять коэффициенты разложения, будем вынуждены вводить
логарифмические члены. В результате получим асимптотическое решение
уравнения (2.78), не обладающее свойством Пенлеве.
2.7. АЛГОРИТМ КОВАЛЕВСКОЙ 95
Если соотношение (2.89) выполняется, то коэффициент a
можно вы-
r
1
брать произвольным. В этом случае, используя формулу (2.87), следует перейти к вычислению коэффициентов a
коэффициента a
циент a
можно выбрать произвольным, то можно переходить к опреде-
r
2
при следующем значении индекса Фукса. Если коэффи-
r
2
при r1<j r2, и к исследованию
j
лению коэффициентов в следующем интервале индексов Фукса и т.д. При
этом следует иметь в виду, что если при исследовании коэффициентов с
любым индексом Фукса возникают логарифмические выражения, то исследуемое дифференциальное уравнение (2.78) не имеет свойства Пенлеве.
Если число произвольных коэффициентов a
в разложении (2.79) рав-
r
s
но n −1, то дифференциальное уравнение (2.78) проходит тест на свойство
Пенлеве.
Основные этапы исследования системы дифференциальных уравнений
на свойство Пенлеве незначительно отличаются от описанного алгоритма,
относящегося к одному уравнению.
На первом шаге, как и в случае одного дифференциального уравнения
предполагается, что решение системы имеет вид
(i)
−p
y
= a
i
где n — порядок системы уравнений. Подстановка (2.91) в систему уравнений позволяет найти парыp
i
ξ
,ξ= z − z0, (i =1, ..., n) , (2.91)
0
(i)
. При этом, если найденные p
,a
i
0
не
i
целые, то как и в случае одного уравнения исследуемая система уравнений
не принадлежит к типу Пенлеве.
На втором шаге в систему дифференциальных уравнений подставляются выражения
(i)
−p
= a
y
i
ξ
0
которые приводят к системе алгебраических уравнений для определения
индексов Фукса. В результате приравнивания выражений, линейных по β
i
+ β
(i)ξr−p
i
, (i =1, ..., n) , (2.92)
(i)
нулю, получаем
[Q (r)] β =0, (2.93)
где [Q (r)] матрица n × n и β — столбец, составленный из компонент β
(i)
Индексы Фукса находятся из равенства нулю определителя матрицы [Q (r)]
det [Q (r)] = 0. (2.94)
При этом вследствие произвольности выбора z
один из корней урав-
0
нения (2.94) опять же равен −1.
,
.
96 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
На третьем шаге исследования определяются постоянные интегрирования в разложении решения системы уравнений в ряд Лорана. Предполагается, что
(i)
r
s
(i)
a
(z −z0)
k
k=1
— индексы Фукса. Для того чтобы исследуемая система уравнений
где r
y
=
i
(i)
s
проходила тест на свойство Пенлеве, все коэффициенты a
k−p
i
, (i =1, ..., n; s =1, ..., n− 1) , (2.95)
(i)
должны быть
r
s
произвольными.
2.8. Локальные представления решений уравнений типа
Пенлеве
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение метода Ковалевской для анализа нелинейных дифференциальных уравнений.
Пример 1. Для уравнения Рикатти
= −y2+ q (z) (2.96)
y
z
полагая
и подставляя в первый и второй члены уравнения, имеем (p, a
y =
a
0
,ξ= z − z
p
ξ
0
)=(1, 1).
0
Поскольку p =1, то первое необходимое условие теста выполняется.
После подстановки формулы
y = ξ
−1
+ β ·ξ
r−1
в (2.96) и приравнивания выражений при β нулю, находим
r−2
β (r +1)ξ
=0. (2.99)
Откуда получаем, что индекс Фукса равен: −1. Поскольку уравнение
первого порядка и z
выбрано произвольным, то необходимое условие для
0
того, чтобы уравнение (2.96) имело свойство Пенлеве выполняется.
Пример 2. Проанализируем уравнение ангармонического осциллятора
на свойство Пенлеве
y
= −3y2+ C0y − C1, (2.100)
zz
(2.97)
(2.98)
2.8. ЛОКАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ 97
где C0и C1— постоянные. Подставив (2.97) в первый и второй члены уравнения (2.100) и приравняв выражения при одинаковых степенях ξ, имеем:
p =2,a
= −2.
0
Используя
y = −2ξ
−2
+ β
r−2
,ξ= z − z0,
получаем уравнение для индексов Фукса в виде:
2
r
− 5r −6=0.
Откуда
= −1,r2=6.
r
1
Подставляя
y = −2ξ
−2
+ a1ξ−1+ a2+ a3ξ + a4ξ2+ a5ξ3+ a6ξ
4
(2.101)
в уравнение (2.100), последовательно находим коэффициенты разложения
решения уравнения (2.100) в ряд Лорана. Они имеют вид: a
C
0
= −
, a3=0, a4= −
6
12C1+ C
120
2
0
=0, a6— произвольное число.
, a
5
=0, a2=
1
Таким образом, разложение решения уравнения (2.100) имеет вид:
y = −2(z −z
)−2−
0
C
12C
0
−
6
120
1
+ C
2
0
(z −z
)2+ a6(z −z0)4+ ...,
0
(2.102)
которое содержит две постоянные z
и a6. Следовательно, уравнение (2.100)
0
проходит тест Пенлеве.
Аналогично рассмотренному примеру может быть проверено первое
уравнение Пенлеве
y
=3y2+ z. (2.103)
zz
Уравнение (2.103) имеет те же индексы Фукса, что и уравнение (2.100).
Локальное представление общего решения уравнения (2.103) принимает
вид:
y =2(z −z
)−2−
0
z
10
0
(z −z
)2−
0
1
(z −z
6
)3+a6(z −z0)4+ .... (2.104)
0
Пример 3. Исследуем уравнение [99]
yy
zz
2
− 4y
=0. (2.105)
z
98 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Подставляя (2.97) в уравнение (2.105), имеем p =0и p = −1/3.Исходное уравнение не имеет свойства Пенлеве. Однако, сделав замену
−1/3
y = v
,
приходим к линейному уравнению для v (z)
=0, (2.106)
v
zz
имеющему свойство Пенлеве.
Пример 4. Исследуем уравнение
y
− 27yzzy2− 27yzy3+9y5=0. (2.107)
zzzz
Полагая (2.97) в уравнении (2.107), имеем (p, a
)=(1, 1). Исполь-
0
зуя (2.98), имеем уравнение для индексов Фукса
(r +1)(r −1)
2
(r − 9) = 0. (2.108)
Асимптотическое решение уравнения имеет вид [99]
y =(z − z
где z
0,c1
)
)−1+ c1+ c
0
22 ln (z −z
2
)+27[ln(z −z0)]
0
и c2— произвольные постоянные. Уравнение (2.107) не относится
*
2
+ ..., (2.109)
к уравнениям типа Пенлеве.
Пример 5. Рассмотрим применение метода Ковалевской для уравнения:
y
− 2y3− zmy =0, (2.110)
zz
где m — целое и больше нуля. Очевидно, что при m =0уравнение (2.110)
имеет свойство Пенлеве, поскольку, после умножения на y
ния по z, имеем
— постоянная интегрирования.
где c
1
Если ввести новую переменную ω = y
2
= c1+ y2+ y4, (2.111)
y
z
2
, то уравнение (2.111) можно
и интегрирова-
z
представить в виде
dω
= dz, (2.112)
ω(ω −α)(ω −β)
2.8. ЛОКАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ 99
где α и β — корни квадратного уравнения
c
+ ω + ω2=0.
1
Интеграл (2.112) представляет собой эллиптический интеграл первого
рода.
При m =1уравнение (2.110) является вторым уравнением Пенлеве.
В уравнении (2.110) сделаем замену z = ξ + z
, тогда, используя фор-
0
мулу для бинома Ньютона
(ξ + z
)m= z
0
m
+ mξ z
0
m−1
0
m (m − 1)
+
m−2
2
z
0
+ ...,
ξ
2
уравнение (2.110) можно представить в виде
− 2y3−z
y
ξξ
m
0
+ ξz
m−1
0
1
+
m (m − 1) ξ
2
m−2
2
z
+ ...y =0. (2.113)
0
Подставляя (2.97) в ведущие члены уравнения (2.113), находим, что
уравнение имеет два семейства решений, поскольку (a
,p)=(−1, 1). Значения p — целые и тест Ковалевской может быть
(a
0
,p)=(1, 1) и
0
продолжен.
Подставляя
y = ξ
−1
+ βξ
j−1
в первое и второе слагаемое уравнения (2.113), находим уравнение для
индексов Фукса в виде
2
j
− 3j −4 − 0,
имеющее корни
= −1,j2=4.
j
1
Индексы Фукса целые, и поэтому анализ уравнения на свойство Пенлеве следует продолжить.
Подставляя
−1
y = ξ
+ a1+ a2ξ + a3ξ2+ a4ξ3+ ...
в уравнение (2.113) и приравнивая выражения при одинаковых степенях ξ,
последовательно находим:
m−1
a
=0,a2= −
1
1
m
z
0
6
,a3= −
mz
0
.
4
100 ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОДУ
Коэффициент a4не определяется, так как члены с ξ4дают соотношение:
1
5(j −4) a
Из (2.114) следует, что a
4
можно взять произвольным, если m =0или
4
m−2
z
=
m (m − 1) . (2.114)
0
2
m =1. При всех других m разложение решения уравнения (2.110) в ряд
Лорана отсутствует и (2.110) не имеет свойства Пенлеве.
Вслучаеm =0и m =1локальное представление решения уравнения (2.110) имеет вид:
y =(z −z
)−1−
0
z
m
0
6
(z −z
0
) −
mz
m−1
0
4
(z −z
)2+ a4(z −z0)3+ ...,
0
(2.115)
где m(m − 1) = 0,z
и a4— постоянные интегрирования.
0
Для второго уравнения Пенлеве (2.53), отличающегося от (2.110) параметром α, локальное представление решения имеет вид:
y =(z −z
+a
4
z
)−1−
0
(z −z0)3−
0
6
(z −z
z
0
4
0
α +
) −
(1 + α)
1
3
4
(z −z
(z −z
0
)4+ ....
0
)2+
(2.116)
Приведённые примеры показывают, что алгоритм Ковалевской эффективен при исследовании дифференциальных уравнений на свойство Пенлеве. Однако его можно применять, если исходное уравнение имеет все
неотрицательные индексы Фукса, кроме −1.
2.9. Метод Пенлеве для анализа дифференциальных
уравнений
Метод, использованный Ковалевской при анализе дифференциальных
уравнений, основан на предположении, что решения уравнений на комплексной плоскости имеют простые полюса. Однако её подход не позволяет
находить все однозначные решения уравнений, поэтому Пенлеве в своих исследованиях применил более общий метод (называемый теперь α-методом
Пенлеве), основанный на методе малого параметра Пуанкаре.
Метод малого параметра был разработан А. Пуанкаре для решения
задач небесной механики. Его суть состоит в следующем [15].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]