Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
3.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ SГ 151
Из (3.75) имеем
2
u
∂
∂x∂y
= −
∂
∂y
2
v
,
2
2
∂
∂x
=
2
u
∂
∂y∂x
,
v
2
откуда следует
∂
∂x
2
2
∂
v
v
+
2
=0. (3.76)
2
∂y
Преобразования Бэклунда чрезвычайно полезны при нахождении решений нелинейных уравнений в частных производных. В частности, пара
Лакса (3.41), (3.42) для уравнения Кортевега – де Вриза служит также преобразованием Бэклунда между уравнением Кортевега – де Вриза и уравнением
относительно функции Ψ(x, t, λ).
3.6. Преобразования Бэклунда для уравнения sin-Гордона
Найдем преобразование Бэклунда для уравнения sin-Гордона [90]:
ϕ
=sinϕ. (3.77)
ξτ
Предположим, что два решения уравнения (3.77) представляются через
новые переменные u и v:
ϕ = u + v, Ψ=u −v, (3.78)
которые определяются из уравнений:
= f (v) ,vτ= g (u) . (3.79)
u
ξ
Здесь f (v) и g (u) — функции, которые требуется найти.
Дифференцируя первое выражение (3.79) по τ и второе по ξ,приходим
к соотношениям:
u
= fvg (u) ,vτξ= guf (v) , (3.80)
ξτ
из которых после сложения и вычитания находим
f
g (u)+guf (v)=sinϕ, (3.81)
v
g (u) − guf (v)=sinΨ,
f
v
152 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
откуда получаем
1
g (u)=
f
v
g
f (v)=
u
(sin ϕ + sin Ψ) = sin u · cos v,
2
1
(sin ϕ − sin Ψ) = sinv ·cos u.
2
Разделив первое из этих выражений на второе, имеем
(3.82)
f
v
f
tg v =
g
u
tg u. (3.83)
g
Откуда находим
f (v)=c
где c
и c2— постоянные интегрирования.
1
Полагая c
= a, из (3.82) находим: c2=1/a.
1
sin v, g(u)=c2sin u, (3.84)
1
Поскольку
u =
ϕ +Ψ
2
,v=
ϕ − Ψ
2
,
то (3.79) можно представить в виде
ϕ − Ψ
ϕ
+Ψξ=2a sin
ξ
ϕ
− Ψτ=
τ
2
sin
a
, (3.85)
2
ϕ +Ψ
. (3.86)
2
Эти соотношения являются преобразованиями Бэклунда для уравнения sin-Гордона. Они получены А. Бэклундом в 1880 г. при исследовании
поверхностей постоянной отрицательной кривизны, и теперь аналогичные
преобразования для нелинейных уравнений называются его именем.
Предполагая, что ϕ — решение уравнения sin-Гордона и исключая
ϕ из (3.85), (3.86), находим, что Ψ также удовлетворяет уравнению sin-
Гордона. Это обстоятельство позволяет последовательно находить аналитические решения уравнения sin-Гордона. Очевидно, что Ψ=0является
тривиальным решением уравнения sin-Гордона. Подставляя Ψ=0в преобразования (3.85), (3.86), имеем систему уравнений:
ϕ
ξ
=2a sin
ϕ
,ϕ
2
ϕ
2
=
τ
a
. (3.87)
sin
2
3.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ КДВ 153
Интегрируя первое уравнение по ξ, а второе по τ , получаем
2τ
a
. (3.88)
tg
ϕ
2
4
= T (τ) e
2aξ
, tg
ϕ
2
4
= X (ξ) e
Из сравнения (3.88) находим
T (τ)=e
2τ
a
,X(ξ)=e
2aξ
(3.89)
ипоэтому
ϕ
2
=exp)2aξ +
tg
4
*
τ
. (3.90)
a
Откуда имеем решение уравнения sin-Гордона в виде топологического
солитона:
ϕ =4arctg+±expaξ +
,
τ
. (3.91)
a
Указанная процедура нахождения аналитических решений уравнения
sin-Гордона может быть продолжена, если воспользоваться итерационным
процессом.
Более сложные решения могут быть получены из формулы, которая
выводится из системы четырех уравнений, подобных (3.85). Используя соответствующую теорему и тригонометрические формулы, получаем связь
между решениями ϕ
где λ
— постоянные (i =1, 2). Применение формулы (3.92) при трех извест-
i
tg
0,ϕ1,ϕ2
ϕ
3
− ϕ
2
и ϕ3уравнения sin-Гордона в виде [78]:
=
0
λ
+ λ
2
λ2− λ
tg
1
1
ϕ
2
− ϕ
2
1
, (3.92)
ных решениях позволяет находить новые солитонные решения уравнения
sin-Гордона.
3.7. Преобразования Бэклунда для уравнения
Кортевега – де Вриза
Если преобразование Миуры для уравнения Кортевега – де Вриза использовать в виде
u = v
где λ — постоянная, то соотношение Миуры примет вид:
u
+6uux+ u
t
xxx
∂
=
∂x
− λ − v2, (3.93)
x
"
+2v
v
− 6v2+ λvx+ v
t
xxx
#
. (3.94)
154 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
После замены v →−v соотношение, связывающее модифицированное
уравнение Кортевега – де Вриза и уравнение Кортевега – де Вриза, остается.
Однако решение уравнения Кортевега – де Вриза при этом будет другим
u
= −λ −vx− v2. (3.95)
Складывая (3.93), (3.95) и вычитая, имеем
Обозначив
u
+ u
−
2
= λ + v
u = ω
2
,
,u= ω
x
u − u
= v
. (3.96)
2
x
x
, (3.97)
из (3.96) находим
ω
+ ω
x
+2λ +
x
1
(ω − ω
2
)2=0. (3.98)
Модифицированное уравнение Кортевега – де Вриза
− 6v2+ λvx+ v
v
t
xxx
=0
с учетом (3.96) можно записать в виде
− ω
ω
t
t
При этом уравнение, которому удовлетворяет ω и ω
Система уравнений (3.98) и (3.99) является преобразованиями Бэклунда для уравнения (3.100), поскольку при заданном ω
+3(ω
+ ωx)(ωx− ω
x
2
+3ω
ω
t
x
+ ω
)+ω
xxx
x
=0. (3.100)
xxx
− ω
=0. (3.99)
xxx
, имеет вид
решение ω, найденное
из (3.98), (3.99), является также решением уравнения (3.100).
Преобразования Бэклунда (3.98), (3.99) могут быть использованы при
нахождении аналитических решений уравнения Кортевега – де Вриза. Полагая ω
=0в этой системе, из (3.98) имеем уравнение:
с решением в виде
1
ω
− 2k2+
x
2
ω
=0,λ= −k2, (3.101)
2
ω (x, t)=2k th [kx + c (t)] . (3.102)
3.8. СЕМЕЙСТВО УРАВНЕНИЙ КОРТЕВЕГА – ДЕ ВРИЗА 155
Подставив (3.102) в (3.99), находим c (t)=−4k2t + ϕ0,гдеϕ0—постоянная. Решение (3.102) дает односолитонное решение уравнения Кортевега – де Вриза. Используя итерационный процесс из (3.98), (3.99), можно
найти другие решения уравнения Кортевега – де Вриза.
Однако при нахождении решений удобно воспользоваться алгебраической формулой, которая может быть получена из (3.98). Полагая ω = ω
= ω0,2λ = −λ1, из (3.98) имеем [70]:
ω
,
1
ω
+ ω0x= λ1−
1x
1
(ω
− ω0)2. (3.103)
1
2
Аналогичным путем получаем соотношения:
ω
+ ω0x= λ2−
2x
ω
+ ω1x= λ2−
3x
ω
+ ω2x= λ1−
3x
1
(ω
− ω0)2, (3.104)
2
2
1
(ω
− ω1)2, (3.105)
3
2
1
− ω1)2. (3.106)
(ω
3
2
Из (3.103), (3.104), (3.105) и (3.106) находим формулу [70]:
− λ1)
2(λ
ω
3
− ω0=
2
ω1− ω
, (3.107)
2
которая полезна при нахождении аналитических решений уравнения Кортевега – де Вриза.
3.8. Семейство уравнений Кортевега – де Вриза
В 1968 г. П. Лакс решил задачу о нахождении всех уравнений в частных производных, для которых решение задачи Коши может быть получено
методом обратной задачи рассеяния с использованием стационарного уравнения Шредингера. Он предложил искать класс уравнений, представимых
в виде системы двух линейных уравнений [1,78, 215]:
Ψ
+(λ + u)Ψ=0;
xx
= B (u, ux, ..., λ)Ψ− 2E (u, ux, ..., λ)Ψx, (3.109)
Ψ
t
(3.108)
где B и E — функции от λ, u и от производных u по x, которые требуется
найти.
156 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Условие совместности
(Ψ
)t=(Ψt)
xx
xx
(3.110)
приводит к соотношениям:
= Exx, (3.111)
B
x
u
+ Bxx+4(λ + u) Ex+2uxE =0. (3.112)
t
Подставляя (3.111) в (3.112), получаем уравнение:
u
t
+ E
+4(λ + u) Ex+2uxE =0, (3.113)
xxx
которое зависит от параметра λ.
Предположим, что зависимость E от λ имеет вид
n
E =
k=0
(−4λ)
n−k
Ek, (3.114)
тогда, подставляя (3.114) в (3.113) и приравнивая выражения при одинаковых степенях λ нулю, имеем соотношения:
E
=0, (3.115)
0x
∂E
k+1
∂x
= E
+4uEkx+2uxEk, (k =0,...,n) (3.116)
kxxx
и уравнение:
∂E
n+1
+
u
t
=0. (3.117)
∂x
Соотношение (3.116) является рекурентной формулой для определения
оператора Ленарда [215]:
Полагая в (3.115) E
E
= L3[u]=u
3
1
= Lk[u],L0[u]=
E
k
1
=
, находим из (3.116)
0
2
E
= L1[u]=u, (3.118)
1
E
= L2[u]=uxx+3u2, (3.119)
2
+10uuxx+5u
xxxx
.
2
2
+10u3, (3.120)
x
3.9. СЕМЕЙСТВО УРАВНЕНИЙ АКНС 157
E4= L4[u]=u
2
+21u
xx
+70u2uxx+70uu
xxxxxx
+14uu
xxxx
+28uxu
2
+35u4.
x
xxx
+
(3.121)
Подставив (3.118) – (3.121) в уравнение (3.117), получим семейство
уравнений [75, 78, 215]:
∂
1
L
[u]=ut+ ux=0, (3.122)
∂x
2
L
[u]=ut+6uux+ u
+30u2ux+20uxuxx+ u
xxx
+70u2u
xxxxx
3
+ 140u3ux+ u
x
xxx
=0, (3.123)
xxx
=0, (3.124)
xxxxx
+42uxu
xxxxxxx
xxxx
+
=0.
(3.125)
u
+
t
u
+70u
∂
3
L
[u]=ut+10uu
∂x
∂
L
+
t
∂x
xxuxxx
u
+
1
∂
+
u
t
∂x
4
[u]=ut+14uu
+ 280uuxuxx+70u
Семейство уравнений (3.122)–(3.125) называется иерархией уравнений
Кортевега – де Вриза. Все уравнения этого семейства, очевидно, имеют
нечетные порядки, что соответствует отсутствию диссипативных членов.
Решения задачи Коши для всех уравнений этого семейства могут быть получены методом обратной задачи рассеяния на основе системы линейных
уравнений:
Ψ
+(λ + u)Ψ = 0, (3.126)
=c(t)+
Ψ
t
n
k=0
(−4λ)
xx
n−kLk
[u]Ψ − 2
x
n
k=0
(−4λ)
n−kLk
[u]Ψx.
(3.127)
Система уравнений (3.126), (3.127) является парой Лакса для семейства
уравнений Кортевега – де Вриза.
3.9. Семейство уравнений АКНС
В 1971 г. В.Е. Захаров и А.Б. Шабат показали, что задача Коши для
нелинейного уравнения Шредингера может быть также решена методом
обратной задачи рассеяния. Однако для решения этой задачи они использовали систему из четырех линейных уравнений первого порядка [29].
В 1973 г. М. Абловиц, Д. Кауп, А. Ньюэлл и Х. Сигур, обобщив эту задачу, нашли большое число точно решаемых уравнений, которые теперь
называются иерархией АКНС [1,96–98].
158 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Для нахождения этого семейства они использовали систему линейных
уравнений:
=/P Ψ;
Ψ
x
Ψ
=/Q Ψ,
t
где
Ψ=
Ψ
1
Ψ
2
и матрицы/P и/Q размерности 2×2, имеющие вид
/
P =
−iλ q
riλ
,/Q =
he
f −h
. (3.131)
Элементы матрицы h, e и f зависят от переменных x и t и параметра λ,
решения q и r от x и t.
Условие совместности системы уравнений (3.128), (3.129)
(Ψ
)t=(Ψt)
x
x
соответствует матричному уравнению [1, 28, 78]:
+
/
P
−/Qx+
t
/P,/
Q,=0, (3.133)
+
/P,/
где
Q,— матричный коммутатор. Из (3.133) находятся условия для
(3.128)
(3.129)
(3.130)
(3.132)
элементов матрицы/Q ввиде
q
− 2hq = ex− 2iλe, (3.134)
t
r
+2hr = fx+2iλf, (3.135)
t
= qf − er. (3.136)
h
x
Решения для элементов матрицыˆQ ищутся в виде:
n
(n)
h
(x, t, λ)=
(n)
f
(x, t, λ)=
(n)
(x, t, λ)=
e
k=0
n
k=1
n
k=1
λ
λ
λ
n−k
n−k
n−k
hk(x, t), (3.137)
fk(x, t), (3.138)
ek(x, t). (3.139)
3.9. СЕМЕЙСТВО УРАВНЕНИЙ АКНС 159
Пусть n =3, тогда из (3.137) – (3.139) имеем
(3)
= h3+ h2λ + h1λ2+ h0λ3,
h
(3.140)
(3)
f
= f3+ f2λ + f1λ2,
(3)
e
= e3+ e2λ + e1λ2.
Подставляя (3.140) – (3.142) в систему уравнений (3.134) – (3.136) и
приравнивая выражения при одинаковых степенях λ нулю, находим
(3)
h
(3)
f
(3)
e
ic
0
qr
=
x
4
= −ic2r +
= −ic2q +
ic
2
ic
2
+
3
0
qr
0
rq
c
0
2
2
+
2
−ic1q +
ic
0
−
4
ic
0
r
4
ic
0
q
4
rq
xx
xx
c
1
rq + c
+
x
2
c
1
+
−
−
r
x
2
c
1
q
−
x
2
rq + c
c
0
2
λ + c
2
− ic1rλ − ic0rλ2,
r
x
c
0
q
x
2
λ2+ c0λ3,
1
λ − ic
Из условия совместности (3.133) имеем также два уравнения относительно r(x, t) и q(x, t) ввиде:
3ic
+
q
t
2
3ic
r
+
t
2
Полагая c
0
rqq
− c1rq2− 2c3q −
x
0
qrr
+ c1qr2+2c3r −
x
=0,c1=2i, c2= c3=0и r = q∗из (3.146), (3.147),
0
ic
0
q
+ ic2qx+
xxx
4
ic
0
r
+ ic2rx−
xxx
4
c
1
q
=0,
xx
2
c
1
r
=0.
xx
2
приходим к нелинейному уравнению Шредингера
(3.141)
(3.142)
(3.143)
(3.144)
qλ2.
0
(3.145)
(3.146)
(3.147)
q
= iqxx− 2i|q|2q.
t
Пара Лакса для (3.148) определяется системой уравнений (3.128),
(3.129), где элементы матрицыˆQ выражаются формулами
h = i|q|
Вслучаеc
2
+2iλ2,f= iq
=4i, c1= c2= c3=0и q = −r из (3.146), (3.147)
0
∗
+2q∗λ, e = −iqx+2qλ.
x
приходим к модифицированному уравнению Кортевега – де Вриза
r
+6r2rx+ r
t
xxx
=0.
(3.148)
(3.149)
(3.150)
160 ГЛАВА 3. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ УЧП
Пара Лакса для (3.150) опять же определяется системой уравнений
(3.128), (3.129), с элементами матрицыˆQ ввиде:
2
λ +4iλ3,
+2r3)+2irxλ +4rλ2,
+2r3+2irxλ − 4rλ2.
(3.151)
f = −(r
e = r
h = −2ir
xx
xx
Система уравнений (3.128), (3.129) является также парой Лакса для
уравнения sin-Гордона
=sinu,
u
xt
(3.152)
если матрицыˆP иˆQ взять в виде:
i
sin u
4
cos u
⎞
⎟
⎟
. (3.153)
⎠
ˆ
P =
⎛
iλ −
⎜
⎜
⎝
1
ux−iλ
2
⎞
1
u
x
2
⎟
⎟
,ˆQ =
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
i
−
4
i
−
4
cos u −
sin u
i
4
Семейство уравнений АКНС, к которому относятся нелинейное уравнение Шредингера, модифицированное уравнение Кортевега – де Вриза и
уравнение sin-Гордона, как и уравнения семейства Кортевега – де Вриза,
имеют бесконечное число законов сохранения [136].
Формально эти уравнения, как и уравнения Кортевега – де Вриза, могут
быть записаны как гамильтоновы системы. Они имеют преобразования Бэклунда и ряд других свойств, характерных для точно решаемых нелинейных
уравнений в частных производных.
3.10. Тест Абловица – Рамани – Сигура для нелинейных
уравнений в частных производных
Открытие К. Гарднера, Д. Грина, М. Крускала и Р. Миуры в 1967 г.
метода решения уравнения Кортевега – де Вриза привлекло внимание к
проблеме интегрирования нелинейных уравнений в частных производных
многих исследователей. Последующие результаты В.Е. Захарова и А.Б. Шабата для нелинейного уравнения Шредингера и М. Абловица, Д. Каупа,
А. Ньюэлла и Х. Сигура для иерархии АКНС привели к вопросу о критерии,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]