Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
5.4. ЛОКАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ 261
Рассмотрим уравнение
y
− 10y2yzz− 10yy
zzzz
Подстановка (5.101) в ведущие члены дает корни a
(1,2)
a
= ±1,a
0
2
+6y5− zy − α =0. (5.114)
z
0
(3,4)
= ±2. (5.115)
0
Индексы Фукса, соответствующие первому и второму семействам, совпадают
j
= −1,j2=2,j3=3,j4=6. (5.116)
1
Третье и четвертое семейство имеет индексы Фукса в виде:
j
= −1,j2= −3,j3=6,j4=8. (5.117)
1
Подставляя a
= −1 в ряд Лорана, аналогичный (5.105), имеем локаль-
0
ное разложение решений второго семейства:
y = −(z −z
−
+ a
5a
6
3
2
2
(z −z0)5+
z
0
−
20
Разложение (5.118) содержит четыре произвольных постоянных z
a
, a6, соответствующих индексам (5.116) и поэтому это семейство решений
3
)−1+ a2(z −z0)+a3(z −z0)2−
0
(z −z
)3−
0
36
5a
α
3a2
+
3
7αa
288
z
2
−
0a3
40
13a
2
−
720
+
1
−
7a
36
2
2
3
a
(z −z
3
(z −z
)4+
0
(5.118)
)6.
0
, a2,
0
проходит тест Пенлеве. Разложение решения для второго семейства находится из (5.118), учитывая замену переменной y и параметра α: y →−y,
α →−α.
Полагая a
= −2 и снова подставляя разложение в (5.114), находим
0
локальное представление решения четвертого семейства уравнения (5.114)
ввиде:
1
−
0
72
(z −z
(z −z
)4+
0
)8+ ... ,
0
(5.119)
y = −2(z − z
(z −z0)5+ a8(z −z0)7+
+a
6
)−1−
0
z
140
0
(z −z
40320
)3+
0
z
0
α
144
−
z
14400
α
262 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
имеющее три произвольных постоянных, соответствующих индексам
Фукса (5.117). Разложение решения для третьего семейства получается
из (5.119) заменой y →−y, α →−α.
Рассмотрим локальные разложения решений уравнения
− 5y2yzz+5yzyzz− 5yy
y
zzzz
2
+ y5− zy − β =0. (5.120)
z
Подставляя (5.101) в ведущие члены уравнения (5.120) находим четыре
семейства решений
p = −1,a
=1,a2= −2,a3= −3,a4=4. (5.121)
1
Эти семейства имеют индексы Фукса:
= −1,j2=2,j3=3,j4=6; (5.122)
j
1
= −1,j2=2,j3=3,j4=6; (5.123)
j
1
= −1,j2= −2,j3=6,j4=7; (5.124)
j
1
= −1,j2= −7,j3=6,j4=12. (5.125)
j
1
Решение первого семейства имеет локальное разложение
+a
(z −z0)5−
6
y =(z − z
2
a
2
+
4
−
)−1+ a2(z −z0)+a3(z −z0)2+
0
z
20
0
(z −z
)3−
0
β
+
36
5a
7a
2
2880
z
0a3
−
160
β
2
+
576
−
1
36
a
2
2
32
a
3
(z −z
(z −z
0
)4+
0
(5.126)
)6+ ....
Из (5.126) следует, что в разложении имеется четыре произвольных
постоянных, что соответствует уравнению прошедшему тест Пенлеве.
Локальное разложение решений второго семейства находится аналогично:
−
+a
(z −z0)5−
6
y = −2(z − z
2
7a
z
0
2
−
2
10
)−1+ a2(z −z0)+a3(z −z0)2−
(z −z
71a
1440
0
2
+
)3−
0
7z
0a3
80
β
5a
2a3
+
36
−
2
36
21a
β
2
−
a
1
−
4
(z −z
18
2
a
3
2
(z −z
)4+
0
)6+ ....
0
(5.127)
5.4. ЛОКАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ 263
Это разложение содержит четыре произвольных постоянных.
Разложение для третьего семейства решений можно представить в виде
1
−
28
(z −z
)4+
0
(5.128)
y = −3(z − z
z
0
)−1−
0
+a
6
(z −z
60
(z −z0)5+ a7(z −z)6+ ....
)3+
0
β
84
Это семейство содержит три произвольных постоянных и может быть
использовано в качестве первого приближения при исследовании уравнения
на свойство Пенлеве методом возмущений.
Локальное разложение четвертого семейства имеет вид
y =4(z −z
+a
(z −z0)5+
6
+
a
6z0
2992
+
+
2520
)−1+
0
17z
5227200
37
11875248
a
6
+
2
0
a
6
3024
z
0
220
(z −z
+
β
(z −z
)7+
0
137β
47500992
(z −z)
)3+
0
β
504
13z
0
2217600
25β
+
47500992
10
+ a12(z −z0)11+ ....
+
1
126
+
443520
2
βz
(z −z
0
(z −z
)4+
0
(z −z
)9+
0
0
)8+
(5.129)
Это семейство, как и предшествующее, содержит также три произвольных постоянных.
Полученные локальные разложения решений уравнений четвертого порядка могут быть использованы для доказательства сходимости полученных
выше рядов в окрестности точки z
Теорема 5.3. ∃ρ>0 такое, что для ∀z
уравнений (5.54)–(5.57) в ряды Лорана сходятся при 0 < |z − z
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
0
∈ C разложение решений
0
| <ρ.
0
Не нарушая общности рассуждений, проведем доказательство теоремы 5.3 для уравнения (5.55) при α =0. Доказательство для других уравне-
ний проводится аналогично. В начале исходное уравнение сведем к системе
Брио и Буке [17]. Введем обозначения
y
= y, y2= yz,y3= yzz,y4= y
1
, (5.130)
zzz
264 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
тогда уравнение (5.55) представляется следующей системой уравнений
= y2,y
y
1,z
y
= −18y1y3− 9y
4,z
= y3,y
2,z
2
− 24y
2
3
1
3,z
+ z.
= y4,
(5.131)
Принимая во внимание разложение решения в ряд Лорана (5.112), используем замену переменных в (5.131) вида
Y
= x2y1+1,Y2= x3y2−2,Y3= x4y3+6,Y4= x5y4−24, (5.132)
1
где x = z − z
. Система уравнений (5.131) с учетом переменных (5.132)
0
принимает вид
xY
=2Y1+ Y2,xY
1,x
xY
=5Y4−18Y3−36Y2−180Y1−18Y1Y3+63Y
4,x
=3Y2+ Y3,xY
2,x
=4Y3+ Y4, (5.133)
3,x
2
2
−24Y
3
+168+x6(x+z0) .
1
(5.134)
Линейная часть системы (5.133), (5.134) имеет характеристические корни
λ
= −1,λ2=3,λ3=4,λ4=8. (5.135)
1
Они совпадают с индексами Фукса для первого семейства уравнения (5.55). Из системы (5.133) и (5.134) следует существование трехпараметрического семейства голоморфных решений системы со свойством
Y
→ 0,k ∈{1, 2, 3, 4} при x → 0, которые в силу замены (5.132) поро-
k
ждают полярные решения уравнения (5.55). Используя разложение решения (5.132) аналогично доказательству сходимости ряда для первого уравнения Пенлеве [17], можно оценить радиус сходимости ряда (5.112).
Анализ разложения (5.113) и оценка радиуса сходимости для решений
второго семейства уравнения (5.55) проводится аналогично.
5.5. Асимптотические свойства трансцендент
уравнений четвертого порядка
Известно, что асимптотические решения z →∞уравнений Пенлеве
могут быть выражены через решения эллиптических функций. Представляет интерес изучить аналогичный вопрос применительно к уравнениям
четвертого порядка, имеющим решения в виде трансцендент. Докажем следующую теорему [199, 210].
5.5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТРАНСЦЕНДЕНТ 265
Теорема 5.4. Асимптотические решения уравнений (5.54))–(5.57) при
z →∞выражаются через тэта-функцию Римана.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Доказательство проведем непосредственно построением асимптотических решений при z →∞.
Рассмотрим асимптотические решения уравнения
y
+10yyzz+5y
zzzz
2
+10y3− z =0. (5.136)
z
Используя в (5.136) переменные
y(z)=z
1/3
W (x),x=
6
7/6
z
, (5.137)
7
получаем, что это уравнение можно представить в виде
W
xxxx
+5W
2
+10WWxx+10W −
x
1
W
+
x
2
xxx
10
W
+
W −
x
x
2
(5.138)
41
−
Wxx−
2
49x
60
49x
W2+
2
41
49x
Wx−
3
1280
2401x
W =0.
4
При x →∞из (5.138) имеем уравнение в виде:
W
xxxx
+5W
2
+10WWxx+10W3−
x
1
=0. (5.139)
2
Решение уравнения (5.139) выражается через тэта-функцию, построенную по соответствующей римановой поверхности. Асимптотическое решение уравнения (5.136) может быть представлено в виде
y(z)
1/3
∼
z
W
=
6
7/6
z
7
. (5.140)
Асимптотические решения других уравнений четвертого порядка, имеющие решения в виде трансцендент, получаются аналогично.
Для уравнения
y
+18yyzz+9y
zzzz
2
+24y3− z =0, (5.141)
z
асимптотические решения при z →∞находятся также с помощью переменных (5.131). Это решение определяется формулой (5.140), где в данном
случае W (x) является решением уравнения
W
xxxx
+9W
2
+18WWxx+24W3− 1=0. (5.142)
x
266 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Уравнение (5.142) отличается от (5.139), хотя и напоминает его. Решение уравнения (5.142) находится также через тэта-функцию Римана
[24,134].
Асимптотические решения уравнения четвертого порядка
y
− 10y2yzz− 10yy
zzzz
2
+6y5− zy − α =0, (5.143)
z
определяются по формуле
y(z)
1/4
∼
W
z
=
4
5/4
z
5
, (5.144)
где функция W(x)является решением уравнения
W
xxxx
− 10WW
2
− 10W2Wxx+6W5− W =0. (5.145)
x
Это уравнение имеет первые интегралы. Его решение выражается через
тэта-функцию Римана [134].
Асимптотическое решение уравнения
y
− 5y2yzz− 5yzyzz− 5yy
zzzz
2
+ y5− zy − β =0 (5.146)
z
находится по формуле (5.144). Функция W (x) в этом случае удовлетворяет
уравнению четвертого порядка:
W
xxxx
− 5WW
2
− 5W2Wxx+5W2Wxx+ W5− W =0. (5.147)
x
Решение (5.147) получено через гиперэллиптические интегралы в работе [134]. Таким образом, как и в случае уравнений Пенлеве, асимптотические решения высших аналогов уравнений Пенлеве находятся через
решения, выраженные через специальные функции.
5.6. Семейства уравнений с решениями в виде
трансцендент
могут быть получены, если искать автомодельные решения нелинейных
уравнений в частных производных пятого порядка, интегрируемых методом
обратной задачи рассеяния. Продемонстрируем это на примере семейств
уравнений, которые в частном случае дают уравнения (5.54)–(5.57).
5.6. СЕМЕЙСТВА УРАВНЕНИЙ С ТРАНСЦЕНДЕНТАМИ 267
В начале рассмотрим семейство модифицированных уравнений Кортевега – де Вриза, имеющее вид
∂
∂
+
u
t
∂x
∂x
+2uL
"
n
u
x
#
2
=0,n=0, 1, 2 .... (5.148)
− u
Здесь оператор L
n
определяется в соответствии с рекуррентной фор-
мулой Ленарда
∂
∂x
n+1
L
= L
n
xxx
+4uL
n
+2uxLn,L0[u]=
x
1
1
,L
[u]=u. (5.149)
2
Полагая n =1в (5.148), имеем модифицированное уравнение Кортевега – де Вриза в виде
u
+3u2ux+ u
t
=0. (5.150)
xxx
Следуя [18, 103, 104, 164, 165, 208], будем искать решения уравнений (5.148), используя автомодельные переменные
u (x, t)=[(2n +1)t]
m
y (z) ,z= x[(2n +1)t]m,m= −
1
2n +1
.
(5.151)
Принимая во внимание переменные (5.151), из уравнения (5.148) приходим к семейству уравнений
d
dx
+2yL
"
n
y
#
2
− zy − α =0,n=1, 2 ... . (5.152)
− y
x
Полагая n =1в (5.152), имеем второе уравнение Пенлеве. В случае
n =2из (5.152) получаем уравнение четвертого порядка (5.56). Полагая
n =3в (5.152), приходим к уравнению шестого порядка в виде
y
zzzzzz
− 10y2y
zzzz
− 60yyzy
zzz
− 40yy
2
zz
− 70y
2
yzz+
z
(5.153)
+30y
4
yzz+ 120y3y
2
− zy − α =0,
z
решение которого является также трансцендентной функцией относительно
постоянных интегрирования.
Можно ожидать, что общие решения всех уравнений семейства (5.153)
выражаются через трансценденты.
268 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Рассмотрим семейство уравнений в частных производных вида [208]
ψ
+ ψxLn[{ψ; x}]=0,n=1, 2,... , (5.154)
t
где {ψ; x} — производная Шварца, определяемая следующим равенством
{ψ; x} =
ψ
xxx
ψ
3ψ
xx
−
x
. (5.155)
2
2ψ
x
2
В периодической литературе уравнение (5.154) называется семейством
уравнений Шварца – Кортевега – де Вриза. Это семейство, как было показано в п. 3.19, путем преобразования переменных может быть сведено к
семейству уравнений Кортевега – де Вриза, имеющему вид
∂
n+1
ω
t
L
+
∂x
[ω]=0. (5.156)
Будем искать решения семейства уравнений (5.154), используя автомодельные переменные
R
n
ψ (x, t)=t
— постоянная. Принимая во внимание переменные (5.157), семейство
где R
n
2n+1
S (z) ,z= x[(2n +1)t]m,m= −
1
2n +1
, (5.157)
уравнений (5.154) приводится к уравнениям для S (z) в виде [191, 192]
n+1
L
S
[{S; z}] − zSz+ RnS =0.
z
Полагая R
уравнений [208]
=0и {S; z} = y в последнем уравнении, имеем семейство
n
n+1
[y] −z =0,n=1, 2,... . (5.158)
L
Полагая n =1в уравнении (5.158), получаем первое уравнение Пенлеве. Если в (5.158) взять n =2, то приходим к уравнению (5.54). Полагая
n =3, из (5.158), получаем уравнение шестого порядка в виде:
y
zzzzzz
+14yy
zzzz
+28yzy
zzz
+21y
2
+70y2yzz+70yy
zz
2
+35y4− z =0.
z
(5.159)
Общее решение уравнения (5.159) является существенно трансцендентной функцией относительно постоянных интегрирования. Можно надеяться, что решения уравнений более высокого порядка также определяют
трансценденты.
5.6. СЕМЕЙСТВА УРАВНЕНИЙ С ТРАНСЦЕНДЕНТАМИ 269
Рассмотрим еще два семейства уравнений в частных производных, имеющих вид [261]
+Ω1Gn[u]=0, (n =1, 2,...); (5.160)
u
t
v
t+Ω2Hn
[v]=0, (n =1, 2,...) . (5.161)
Решения задач Коши для этих уравнений могут быть получены методом
обратной задачи рассеяния [15]. Операторы Ω
, Ω2, Gnи Hnв (5.160)
1
и (5.161) определяются формулами [261]
∂
. (5.162)
∂x
Операторы G
Ω
=Ω2= D3+2uD + ux,D=
1
и Hnнаходятся в соответствии с рекуррентными фор-
n
мулами
G
= J1[u]Ω1[u] Gn, (5.163)
n+2
H
= J2[v]Ω2[v] Hn. (5.164)
n+2
При условии, что
1
2
2D−1
u
u
, (5.165)
2
2
+ D−1u
−1
=dx .
, (5.167)
(5.168)
G
[u]=1,G1[u]=uxx+
0
H
[v]=1,H1[v]=vxx+2v2. (5.166)
0
Операторы J
J
= D3+
1
J
= D3+3(vD + Dv)+2(D2vD−1+ D−1vD)+
2
+8(v
и J2определяются следующими формулами
1
1
2uD−1
D
2
2D−1
+ D−1v2),D=
+ D−1uD
1
2
+
8
∂
,D
∂x
Если искать решения уравнений (5.160) и (5.161) в виде автомодельных переменных, то получаются нелинейные ОДУ пятого порядка. Они
имеют решения в виде трансцендент, но полученные уравнения являются
приводимыми. Общие решения этих уравнений находятся через решения
нелинейных ОДУ четвертого порядка.
Рассмотрим два семейства модифицированных уравнений в частных
производных, соответствующих уравнениям (5.160) и (5.161) [211]:
W
∂
∂
+
t
∂x
+ WG
∂x
−
W
n
x
1
2
W
=0, (n =0, 1, 2 ...), (5.169)
2
270 ГЛАВА 5. ВЫСШИЕ АНАЛОГИ УРАВНЕНИЙ ПЕНЛЕВЕ
Vt+
∂
∂x
∂
∂x
+ VH
V
n
x
1
2
V
−
=0, (n =0, 1, 2 ...). (5.170)
2
Эти семейства уравнений известны как семейство модифицированных
уравнений Савады – Котеры и Кодри – Додда – Гиббона.
Наряду с уравнениями (5.169) и (5.170) рассмотрим уравнения, которые появляются при исследовании (5.160) и (5.161) на свойство Пенлеве
методом Вайса – Табора – Карневейля [261]. Эти уравнения имеют вид:
φ
+ φxGn[{φ; x}]=0,n=1, 2,..., (5.171)
t
ϕ
+ ϕxHn[{ϕ; x}]=0,n=1, 2,... . (5.172)
t
Будем искать частные решения уравнений (5.171) и (5.172), используя
автомодельные переменные [211]
−1/(2n+1)
−1/(2n+1)
, (5.173)
, (5.174)
где P
φ (x, t)=t
ϕ (x, t)=t
и Mn— произвольные постоянные. Семейства уравнений (5.171)
n
Pn/(2n+1)
Mn/(2n+1)
F (z) ,z= x[(2n +1)t]
f (z) ,z= x[(2n +1)t]
и (5.172) с учетом переменных (5.173) и (5.174) принимают вид
F
[{F ; z}] − zFz+ PnF =0,n=1, 2, ..., (5.175)
zGn
f
[{f; z}] −zfz+ Mnf =0,n=1, 2,.... (5.176)
zHn
Полагая M
=0в (5.176), получаем семейство уравнений в виде
n
H
[y]=z, n =1, 2,..., (5.177)
n
где введено обозначение y = {f; z}.Приn =1из (5.177) получаем первое
уравнение Пенлеве. В случае n =2, (5.177) переходит в уравнение
y
+18yyzz+9y
zzzz
которое совпадает с уравнением (5.55) при α =0. Полагая P
2
+24y3− z =0, (5.178)
z
=0в (5.175),
n
имеем уравнение, которое заменой переменных приводится также к уравнению (5.178).
Применяя к (5.176) оператор (F
ω = F
, получаем уравнение в виде [211]:
zz/Fz
d
+ ωH
dz
n
)−1d/dz и сделав замену переменных
z
1
2
ω
−
ω
z
2
− zω − β
=0, (5.179)
n
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]