Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
4.8. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КДВ ПЯТОГО ПОРЯДКА 231
(где ϕ0— произвольная постоянная), тогда после интегрирования по z
из (4.216) приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению
− 10yyzz− 5y
y
zzzz
2
+10y3+ β(yzz− 3y3)+δy + μ =0.
z
В (4.218) обозначены δ = −C
и μ, как постоянные интегрирования.
0
(4.218)
Общее решение уравнения (4.218) имеет полюса второго порядка и
частные решения (4.218) можно искать в виде [143–145]
y(z)=a
th2(kz)+a1th(kz)+a2,z= x − C0t + ϕ0.
0
(4.219)
Используя ту же процедуру, что и прежде, находим, что уравнение
(4.218) имеет два класса решений вида (4.219).
В первом случае коэффициенты a
0,a1,a2
,δ и μ определяются выраже-
ниями
a
=2k2,a1=0,a2= Const,
0
μ =20a
3
− 3βa
2
δ =6βa
2
+80a
2
− 80a2k2− 30a
2
2
k2− 64a2k4− 4βk4+32k6− 8βa2k2.
2
2
+ 104k4,
2
(4.220)
Второе семейство решений определяется следующими постоянными
δ =
=6k2,a1=0,a2=
a
0
2
3β
10
− 56k
4
,μ=
28
βk
5
β
10
4
+ 288k6−
− 4k
2
,
β
100
3
.
(4.221)
Из формул (4.220) и (4.221) следует, что уравнение (4.218) имеет
частные решения в виде уединенных волн (4.219). Уравнение (4.218), как
и (4.216), является точно решаемым уравнением и поэтому найденные решения являются солитонными решениями. Однако в этой связи можно ожидать, что найдется общее решение уравнения (4.218).
Решение уравнения (4.218) при β =0впервые было найдено Драхом.
Затем оно было переоткрыто Дубровиным и Косгрове [24, 134].
Найдем решение уравнения (4.218) при β =0. Заметим, что уравне-
ние (4.218) не содержит третью производную и в соответствии с теорией последнего множителя Якоби, уравнение имеет последний множитель
равный единице [15]. Поэтому для того, чтобы найти решение уравнения
(4.218) в квадратурах требуется найти два первых интеграла.
232 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Один из первых интегралов уравнения находится после умножения (4.218) на y
:
z
y
zyzzz
Здесь K
1
2
y
−
zz
2
идалееK2,K3и K4— произвольные постоянные.
1
− 5yy
2
+
z
β
5
4
y
2
2
(y
+
2
− 2y3)+
z
δ
2
y
+ μy = K1.
2
(4.222)
Второй интеграл найти несколько сложнее. Для этих целей можно использовать полиномы с неопределенными коэффициентами.
Суть этого метода заключается в следующем. На первом шаге предполагаем, что в уравнении (4.218) β = δ = μ =0. В этом случае получаем
упрощенное уравнение
− 10yyzz− 5y
y
zzzz
2
+10y3=0,
z
(4.223)
которое имеет очевидное рациональное решение
(4.224)
где a
=6.
a
0
/(z −z0)2,
y = a
0
находится после подстановки (4.224) в (4.223). Причем a0=2и
0
Еще один первый интеграл, соответствующий уравнению (4.218), ищем
вначале для уравнения (4.223). Все слагаемые в (4.223) имеют одну и ту же
особенность в точке z = z
, равную 6. Естественно ожидать, что первый
0
интеграл для уравнения (4.223) состоит из слагаемых также с одной сингулярностью в точке z = z
. Это подтверждается уравнением (4.222), по-
0
скольку каждое слагаемое в (4.222) при β = δ = μ =0имеет особенность
вточкеz = z
,равной8.
0
Возьмем полином с неопределенными коэффициентами, каждое слагаемое которого имеет сингулярность в точке z = z
, равную 12. Такой
0
полином имеет вид:
P
12
= A0y
+A
2
y0+ A1y3y2y1+ A2y3y1y
3
5y2
y
2
y0+ A6y2y
1
4
+ A7y
0
4
+ A8y
1
2
+ A3y
0
2
1
3
y
0
3
+ A4y
2
+ A9y
2
2
y
+
2
0
6
,
0
(4.225)
где в (4.225) введены обозначения:
y
= y, y1= yz,y2= yzz,y3= y
0
Пусть P = K
y
= E[y] этот интеграл удовлетворяет уравнению:
n
— первый интеграл уравнения, тогда для уравнения
2
∂P
∂y
y1+
0
∂P
∂y
1
y2+
∂P
∂y
2
y3+
∂P
∂y
zzz
y4= Q[y]E[y],
3
.
(4.226)
(4.227)
4.8. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КДВ ПЯТОГО ПОРЯДКА 233
где Q[y] — некоторое выражение. Из (4.227) получаем уравнение
∂P
∂y
y1+
0
∂P
∂y
y2+
1
∂P
y3+ E[y]
∂y
2
∂P
∂y
3
=0.
(4.228)
Уравнение (4.228) — основное уравнение, из которого находятся первые
интегралы уравнения (4.218). Подставляя
P
12
P =
в (4.228) и определяя при каждом k коэффициенты A
что при k =0все A
≡ 0 равны нулю. Однако при k =1получаем первый
k
, (k =0,...,5)
k
y
0
(4.229)
,...,A9,находим,
0
интеграл уравнения (4.223) в виде:
P = y
2
− 12y0y1y3− 4y0y
3
2
2
+2y
2
y2+20y
1
3
y2+30y
0
2
0
y
1
2
− 24y
5
= C1.
0
(4.230)
Здесь C
точке z = z
— произвольная постоянная. Каждое из слагаемых (4.230) в
1
полюс десятой степени. Если к уравнению (4.230) прибавить
0
полиномы с неопределенными коэффициентами
+ δP6+ μP4,
βP
8
(4.231)
то на основе (4.230) можно найти первый интеграл, соответствующий уравнению (4.218).
Выражение (4.231) следует добавить к (4.230), принимая во внимание
размерности параметров β, δ и μ уравнения (4.218).
Окончательно еще один первый интеграл уравнения (4.218) принимает
вид:
2
y
zzz
+β(y
− 12yyzy
zzz
− 3y2)2+ δ(yyzz− y
zz
− 4yy
2
zz
2
+2y
yzz+20y3yzz+30y2y
z
2
− 4y3)+2μ(yzz− 3y2)=K2.
z
2
− 24y5+
z
(4.232)
Отметим, что первый интеграл (4.222) для уравнения (4.218) может
быть получен также как и (4.232), если взять (4.229) при k =5.
В первых интегралах (4.222) и (4.232) введем новые переменные
δ
H[y]=y
G[y]=yy
zz
− 3y2−
zz
1
−
2
2
y
z
, (4.233)
2
μ
− 2y3−
. (4.234)
2
234 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Тогда (4.222) и (4.232) принимают вид
y
zHz
−y2+
δ
− βyH −(β +2y)G −
2
2
H
+ βH2− 4HG + βδH = K2. (4.236)
z
1
2
H
2
+
1
βδy = K
2
, (4.235)
1
Пусть Φ(t) — гиперэллиптическая кривая рода 2:
Φ(t)=t
5
+ m0t4+ m1t3+ m2t2+ m3t + m4. (4.237)
Подставляя G[y] из (4.236) в (4.235), и полагая в полученном уравнении
1
(u(z)+v(z) − β), (4.238)
y =
2
H = −
(u − v)u
(u − v)v
1
u(z)v(z), (4.239)
2
=Φ(u), (4.240)
z
=Φ(v), (4.241)
z
из первых интегралов (4.235) и (4.236) находим, что Φ(t) имеет вид:
Φ(t)=t
5
− 3βt4+(3β2+2δ)t3− 4μt2+2(β2δ +4K1)t +4K2. (4.242)
Из уравнений (4.240) и (4.241) получаем [15]
u(z)
∞
u(z)
∞
tdt
Φ(t)
dt
Φ(t)
v(z)
+
v(z)
+
∞
dt
= K
Φ(t)
∞
tdt
= z + K
Φ(t)
, (4.243)
3
. (4.244)
4
Система (4.243), (4.244) совпадает с системой, которая возникает в теории обращения интегралов Якоби [14, 15,24]. Решение уравнения (4.218),
полученное из (4.243), (4.244), аналогично решению, полученному С.В. Ковалевской для описания движения твердого тела около неподвижной точки [40, 185, 186]. Оно является мероморфной функцией, явно выражается
через тэта-функцию Римана и строится по Римановой поверхности (4.242).
4.9. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ МОДЕЛИ ХЕНОНА –ХЕЙЛЕСА 235
4.9. Точные решения модели Хенона – Хейлеса
Рассмотрим решения системы уравнений Хенона-Хейлеса при значениях параметров, когда система уравнений проходит тест Пенлеве.
Анализ системы уравнений
x
= −x −2δxy; (4.245)
tt
1
6
2
3) λ =
δ
γ
= −
1
,β=16.
16
(4.246)
= −βy + γy2− δx
y
tt
в п. 3.5 показал, что (4.245) и (4.246) проходит тест Пенлеве в трех случаях
[258,259]:
1) λ =
δ
= −1,β=1, 2) λ =
γ
γ
δ
= −
В первом случае из (4.245) и (4.246) имеем
¨x = −x − 2δxy;
¨y = −y − δ(x
2
+ y2).
(4.247)
(4.248)
Складывая и вычитая уравнения (4.247) и (4.248), и используя переменные u = x + y и v = x − y, эту систему уравнений сводим к двум
уравнениям Риккати:
¨v = −v + δv
¨u − δu
2
; (4.249)
2
.
(4.250)
Решения (4.249) и (4.250) хорошо известны. Поэтому λ = −1 и β =1
является простейшим случаем точного решения системы (4.245) и (4.246).
При λ = −1/6 для решений системы уравнений (4.245) и (4.246) имеем
усеченные разложения [258, 259]
x
0
+ x
; (4.251)
1
y
1
+ y
.
2
ϕ
(4.252)
y =
x =
ϕ
y
0
+
2
ϕ
Подставляя (4.251) и (4.252) в (4.245) и (4.246) при λ = −1/6 иприравнивая выражения при одинаковых степенях ϕ нулю, получаем
y
0
2
= −ϕ
,y1= ϕtt; (4.253)
t
236 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
x
y2=
2
= vϕ
0
1
4m − β −3v −
12
2
,x1= −
t
v
t
1
v
2
2
3ϕ
tt
; (4.254)
2
ϕ
t
ϕ
tt
1/2
+
v
ϕ
t
; (4.255)
v = {ϕ; t}+ m; (4.256)
+2
β
− 2+
3
3
2
v
+
v
tt
2
2m
3
v +
2
β
6
2
2m
−
=0. (4.257)
3
Здесь m — произвольная постоянная, {ϕ; t} — произвольная Шварца.
Из (4.257) после умножения на v
2
+ v3+2
v
t
β
3
− 2+
2m
3
приходим к уравнению
t
v
2
β
2
2
+
3
2
− 2m
2
, (4.258)
= C
1
где C
— постоянная интегрирования.
1
Решение (4.258), которое выражается через эллиптическую функцию
Якоби, позволяет найти ϕ(t) из (4.256), x
1,y2,y0
и x0, которые приводят к
решениям системы (4.245) и (4.246) при λ = −1/6.
В третьем случае λ = −1/16,β=16разложения решений систе-
мы (4.245), (4.246) имеют вид
x = ϕ
−1/2
∞
xjϕj,y= ϕ
j=0
∞
−2
yjϕj, (4.259)
j=0
с индексами Фукса −1,0,2,6.
Делая замену
Ψ=x
2
, (4.260)
приходим к системе уравнений (полагаем δ =1,γ= −16,β=16):
1
ΨΨ
tt
y
tt
2
Ψ
=
− 2Ψ2− 4yΨ2; (4.261)
t
2
= −16y − 16y2− Ψ. (4.262)
Усеченные разложения для (4.261) и (4.262) имеют вид
Ψ
Ψ=
y =
0
+Ψ
; (4.263)
ϕ
y
0
+
2
ϕ
1
y
1
+ y
. (4.264)
2
ϕ
4.10. МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 237
Подставляя (4.263), (4.264) в (4.261) и (4.262) и приравнивая выражения
при одинаковых ϕ нулю, получаем:
0
= −
y
3
8
y
2
ϕ
tvt
= −
0
= −
, Ψ1=
3
2
ϕ
t
8
v
3
8
3
Ψ
3
16
,y1=
4
+
+
3
2v
+ v
tt
3
ϕ
tt
8
2
ϕ
1
tt
2
4
ϕ
t
ϕ
tt
,
t
ϕ
t
,
(4.265)
,
где
1
2
v
+
v = {ϕ; t},v
tt
=16. (4.266)
4
Решение второго уравнения из (4.266) выражается через эллиптическую функцию Вейерштрасса, а из первого уравнения (4.266) при известной
v(t) находятся решения ϕ(t),азатемΨ
, Ψ1,y0,y1и y2по формулам (4.265).
0
Таким образом, система уравнений Хенона-Хейлеса имеет точные решения для всех случаев, при которых исходная система проходит тест Пенлеве.
4.10. Метод нахождения рациональных решений
некоторых точно решаемых нелинейных уравнений
Существование рациональных решений является важным свойством
точно решаемых уравнений, и для их поиска в литературе предложено
несколько подходов. Рассмотрим метод построения рациональных решений,
основанный на итерационной формуле для решений нелинейных уравнений
в частных производных, имеющих два и более семейств решений [203].
Применение этого подхода рассмотрим на примере модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза
3
u
2
u
−
2
ux+ u
z
=0. (4.267)
xxx
Решение уравнения (4.217) может быть представлено в виде двух усеченных разложений, отличающихся лишь знаком
u = −
2Ψ
x
,u1=
+ u
Ψ
1
Ψ
xx
Ψ
x
(4.268)
238 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
и
v =
2ϕ
x
+ v
,v1= −
1
ϕ
ϕ
xx
.
ϕ
x
(4.269)
Как известно из п. 3.16, эти усеченные разложения могут быть использованы для построения соотношений, связывающих соответствующие
уравнения для сингулярного многообразия с модифицированным уравнением Кортевега – де Вриза.
Эти соотношения имеют вид:
xxx
xxx
, (4.270)
. (4.271)
3
2
u
−
2
ux+ u
xxx
u
z
∂
=
∂x
1
2
−
Ψ
Ψ
3
v
1t
2
−
v1x+ v
v
1
2
1xxx
= −
∂
∂x
1
ϕ
x
∂
Ψ
∂x
x
∂
ϕ
∂x
t
2
3Ψ
xx
−
t
−
3ϕ
2ϕ
2Ψ
2
xx
+Ψ
x
+ ϕ
x
Пусть Ψ и ϕ удовлетворяют уравнению для сингулярной поверхности,
тогда u и v
в соответствии с формулами (4.270) и (4.271) дают решения
1
модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза. Предположив, что
u = v
,приходимкформуле
1
x
= −
ϕ
xx
.
ϕ
x
Ψ
2Ψ
xx
−
Ψ
Ψ
x
Отсюда после интегрирования получаем соотношение
2
Ψ
=
ϕ
x
.
Ψ
x
(4.272)
Используя (4.272), можно получить итерационную формулу Вайса для
нахождения решений уравнения сингулярной поверхности модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза [261, 263]
2
ϕ
где ϕ
ϕ
n+1,x
и ϕ
n
— решения уравнения сингулярной поверхности
n+1
2
3ϕ
ϕ
xx
−
t
2ϕ
x
=
+ ϕ
ϕ
n
n,x
xxx
,
=0.
(4.273)
(4.274)
4.10. МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ 239
Формулу (4.273) удобно использовать для нахождения рациональных
решений уравнения (4.274), а значит, и модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза (4.267).
Очевидно, что ϕ
= x — тривиальное решение (4.274), тогда из (4.273)
0
находим
3
x
+ C
=
ϕ
1
3
1
(t).
Подставляя (4.275) в (4.274), получаем C
(t)=4t.Поэтомувкачестве
1
(4.275)
первого приближения для решения уравнения (4.265) можно взять
ϕ
= x3+12t.
1
Подставляя (4.276) в (4.273), находим следующие решения
1
6
ϕ
3
Здесь c
=
ϕ
2
1
=
и c3— произвольные постоянные.
2
10
+ 180x7t + 302400xt3+7c2(x5− 60x3t −
x
ϕ
1
+60x3t + c2x − 720t2),
(x
x
c
2
3
)+ c
Поиск рациональных решений можно продолжить, хотя размер формул
с каждой итерацией увеличивается.
Подставляя полученные ϕ
в формулы (4.268), находим рациональные
n
решения модифицированного уравнения Кортевега – де Вриза.
В качестве второго примера найдем рациональное решение классического уравнения Буссинеска [203]
3
2
−
E[u]=u
xxx
ux− 2uut− ux∂−1ut− ∂−1utt=0, (4.279)
u
2
где
−1
∂
v =vdx.
Решения (4.279) могут быть представлены также в виде двух усеченных
разложений
ϕ
u = −
2ϕ
x
+ u
,u1= −
ϕ
1
ϕ
t
xx
+
ϕ
ϕ
x
x
и
v =
2Ψ
Ψ
x
+ v
1
,v1= −
Ψ
Ψ
t
xx
−
Ψ
x
. (4.281)
Ψ
x
(4.276)
(4.277)
.
3
(4.278)
(4.280)
240 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Уравнение (4.279) может быть записано в виде двух соотношений
− ∂−1v
t
t
=0,
(4.282)
=0.
E[u]=
E[u]=
∂
∂x
∂
∂x
−
∂
∂x
∂
∂x
+ u + ∂
+ v + ∂
−1
−1
∂
∂t
∂t
∂
u
−v
1
2
−
x
x
−
2
u
1
v
2
− ∂−1u
2
Принимая во внимание формулы (4.280) и (4.281), можно получить
равенства:
ω
1
= −vx−
ω
2
= ux−
1
2
u
− ∂−1ut= u1x−
2
1
2
v
− ∂−1vt= −v1x−
2
1
2
u
1
2
1
v
2
− ∂−1u1t,
2
− ∂−1v1t.
1
(4.283)
Эти инварианты могут быть записаны через инвариантные переменные
в виде уравнения сингулярной поверхности
1
2
C
+2Cx− ∂−1Ct=0. (4.284)
2
Ψ
xx
ϕ
x
+Ψ
t
=
Ψ
x
xx
2Ψ
x
−
, (4.285)
Ψ
Предполагая u
S −
= v, имеем выражение
1
− ϕ
ϕ
t
которое позволяет получить итерационную формулу для рациональных решений уравнения (4.279)
Полагая Ψ
Ψ
0
− Ψ
n+1,t
Ψ
n+1,x
n+1,xx
=
= x, из (4.286), находим
Ψ
= x2− 2t,
1
= x3− 6xt,
Ψ
2
Ψ
= x4− 12x2t +12t2,
3
= x5− 20x2t +60xt2.
Ψ
4
Ψ
+Ψ
n,t
n,xx
Ψ
n,x
2Ψ
n,x
−
. (4.286)
Ψ
n
(4.287)
Подставив (4.287) в (4.280), получаем последовательность рациональных
решений уравнения (4.279).
Полагая u = v
, можно найти еще одну последовательность решений
1
уравнения (4.279).
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]