Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
4.7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА 221
Коэффициенты c1,c2,c3,c4и c5связаны с безразмерными физическими
параметрами волнового процесса
1
6
τ
4
τ
−
2
αβ, c
β, c
=
5
53
=
3
24
19
−
360
−
12
2
3θ
2
τ
τ
−
3α
,c
=
c
1
2
c
4
=
2
5
=
12
−
13δ
−
2
8
αβ,
8
2
.
β
Здесь α и β —малыепараметры
(4.169)
α =
a
,β=
h
2
h
, (4.170)
2
l
a — амплитуда волны, h — глубина жидкости, l — длина волны, θ — параметр,
характеризующий изменение потенциала с глубиной, который удовлетворяет неравенству
0 ≤ θ ≤ 1, (4.171)
τ — коэффициент учитывающий влияние поверхностного натяжения, при
τ =0его нет.
Представляет интерес найти частные решения уравнения (4.168) [50].
Для удобства вычислений используем замену переменных
u →−
m =
c3+2c
60c
c3+2c
60c
4
4
2
u,
4
,n=
c
2
(x − t) → x,
c
5
60c
1c5
c2(c3+2c4)
,c
2
c
c
2
2
t → t,
c
c
5
5
= −2c4,c5=0.
3
(4.172)
Тогда уравнение (4.168) приводится к виду
+ u
u
t
xxxxx
− muu
− 2(30 − m)uxuxx− nuux+ u
xxx
=0,mn=0.
xxx
(4.173)
Применяя тест Пенлеве, покажем, что (4.173) не является точно решаемым уравнением. Индексы Фукса находятся как корни уравнения, зависящего от параметра m,
3
(r +1)(r − 6)(r
− 15r2+(86− m)r −120) = 0. (4.174)
Интересуемся только целыми решениями уравнения (4.174), поскольку при нецелых индексах Фукса уравнение не удовлетворяет требованиям
222 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
теста. Существуют два значения параметра m, для которых индексы Фукса
целые:
m =12: r = −1, 4, 5, 6, 6;
m = 180 : r = −3, −2, −1, 6, 20.
(4.175)
Однако при разложении общего решения в ряд Лорана, условия совместности не выполняются и, следовательно, уравнение (4.173) не относится к точно решаемым уравнениям.
Будем искать частные решения уравнения (4.173) двумя способами:
в виде полинома по степеням функции, удовлетворяющих системе уравнений Риккати [127,128], и в виде полинома по степеням функции, удовлетворяющей невырожденному эллиптическому уравнению [205].
Суть метода [127, 128] заключается в следующем. Пусть функции τ (z)
и σ(z) удовлетворяют системе уравнений Риккати
μ
= −στ, τ= −τ2−
σ
0
σ +1. (4.176)
k
Общее решение системы уравнений (4.176) имеет вид:
σ(z)=
τ(z)=
Здесь C
C
=0и C1=1/K, получаем элементарные уединенные волны
2
и C2— произвольные постоянные. Полагая в (4.177) и (4.178)
1
σ(z)=
μ0/k + C1ch z + C2sh z
C
μ0/k + C1ch z + C2sh z
K
μ0+chz
1
sh z + C2ch z
1
,τ(z)=
, (4.177)
. (4.178)
sh z
ch z + μ
. (4.179)
0
Система уравнений (4.176) допускает первый интеграл
1
σ(z)
Для всех значений μ
,кромеμ0= ±1, функции τ(z) и σ(z) имеют
0
простые подвижные полюса, а в случае μ
2
2
τ
−
(z)
σ2(z)
0
1
. (4.180)
=
2
K
= ±1 функция σ(z) имеет по-
μ
0
−
K
люс второго порядка. Чтобы исключить изменение порядка полюсов для
4.7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА 223
функции σ(z), выбираем k =μ
2
− 1 и систему уравнений (4.176) рас-
0
сматриваем при условии, что
μ
2
1 − τ
− 2μσ + σ2=0,μ=
0
2
μ
− 1
0
2
=1. (4.181)
,μ
Решение уравнения (4.173) ищем в виде полинома по степеням функций σ и τ, полагая, что
z = k(x − ct),
где k и c — постоянные. Решение уравнения (4.173) будем искать в виде
u = a
+ a1σ(z)+a2τ(z)+a3σ(z)τ(z)+a4σ2(z), (4.182)
0
где для упрощения вычислений предполагается, что все коэффициенты —
постоянные величины.
Подставляя (4.182) в уравнение (4.173), а затем исключая все производные от (σ, τ ) степени τ выше первой с помощью соотношений (4.176)
и (4.181), приравниваем выражения при различных степенях (σ, τ) нулю
и получаем конечную систему алгебраических уравнений с неизвестными
a
0,a1,a2,a3,a4,μ0
Решение этой системы уравнений можно разделить на два этапа: на
первом этапе предполагается μ(μ
,kи c.
2
− 1) =0и получается решение уравне-
ния (4.173) в виде комбинации волн (4.179), на втором этапе предполагается
μ =0и находится решение уравнения (4.173) в виде полинома по степеням
sh z и th z. Все возможные решения вида (4.182) можно сгруппировать в три
семейства, определяемые коэффициентами при старших степенях σ и τ :
1) a
2
k
,a
=
4
2
2
k
, 2) a
=
3
2
2
k
,a
=
4
3
2
= −
2
k
, 3) a
2
= k2,a3=0.
4
(4.183)
Заметим, что решения второго семейства (4.183) получаются из решений первого семейства (4.183) заменой τ →−τ, поэтому далее решения
второго семейства (4.183) не рассматриваются. На первом этапе находим
единственное решение из первого семейства (4.183), справедливое для произвольного значения параметра m:
u = A
v =
−
0
1+μ
2
k
v, A
2
ch z −μ
0
12 − n + mk
=
0
(μ0+chz)
12m
2
− 1shz
0
2
2
,
(4.184)
.
224 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Это решение — двухпараметрическое с параметрами k и μ0, действительное для μ
2
> 1. Остальные параметры решения (4.182) принимают
0
следующие значения:
2
k
= −
μ
2
,a
2
=0,=
a
1
n(n − 12) − m(m − 12)k
12m
4
. (4.185)
На рис. 4.15 изображено решение (4.184).
Рис. 4.15. График решения (4.184) с
m =1, n =10, k =2.5, μ
0
=3.
Рис. 4.16. График решения (4.191) с
n =90.1, k =3(выбран знак "+").
На втором этапе находим два решения, справедливые для произвольного значения m. Одно из решений принадлежит первому семейству (4.183)
2
(1 ± ch z)
u = A
k
+
0
2sh2z
. (4.186)
Это решение является частным случаем решения (4.184) и может быть
получено из выражения (4.184) заменой z → z + iπ/2. Второе решение —
из третьего семейства (4.183) имеет вид:
2
k
u = A
+
0
2
− k
4
sh2z. (4.187)
Это — однопараметрическое решение с параметром k. Коэффициенты
в (4.182) для этого решения принимают следующие значения:
4
. (4.188)
a
=0,a2=0,=
1
n(n − 12) − 16m(m − 12)k
12m
Уравнение имеет также решение, отличающееся от (4.187) заменой
z → z + iπ/2, −k
2
sh2z → k2csch2z = k2sh−1z. (4.189)
4.7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА 225
Заметим, что при m =12решения (4.184), (4.186) и (4.187) соот-
ветствуют волнам, распространяющимся с фиксированной скоростью, не
зависящей от волнового числа.
Для параметров уравнения m =10и m = −48 существуют решения
вида (4.183), отличные от приведенных выше.
Вслучаеm =10, μ(μ
=
a
0
=
2
− 1) =0, и при значениях параметров:
60
60
2
,a
= −μk2,a2=0,
1
4
,μ
2
2
+
=
3
6 − n +10k
n(n − 16) − 40k
n
30k
(4.190)
2
решение принадлежит третьему семейству (4.183). Оно может быть записано в виде:
где
6 − n +10k
u =
60
2
−
2
k
1 ± κ ch z
κ =
4
+
(n +20k2)(1 ± κ sh z)
n − 10k
n +20k
30k
2
. (4.192)
2
, (4.191)
2
Зависимость решения (4.191) от z представлена на рис. 4.16.
При мнимом κ решение (4.191) после замены z → z + iπ/2, κ → iκ
принимает вид, отличающийся от (4.191) заменой ch z на sh z и знака подкоренного выражения в равенстве (4.192) на противоположный.
Вслучаеm = −48 и μ(μ
2
−1) =0существуют решения как из первого
семейства (4.183), так и из третьего семейства (4.183). Первое семейство
решений (4.183) определяется следующими значениями параметров:
√
3
5nk2− 348k4,
12
2
+ 2450nk2− 69120k4),
(4.193)
a
1
=
a
0
= a2−
1
(n − 2 − 50k
96
1
2
μk
,c=
2
2
),a2= ±
1
(2n − 21n
96
причем решения в действительной области возможны лишь при двух значениях k.
Первое решение имеет вид:
u = −
48
49n
1
+
16704
5n
−
v, k
696
5n
2
,c=
=
348
1
96
2n −
341n
5046
2
. (4.194)
Здесь и ниже v определяется по формуле (4.184).
226 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Второе решение
2
μ
u = A
n(
±
1
− 1+shz)
0
144(μ0+chz)
n
2
k
,c=
=
72
96
n
−
v, A
144
1
2n −
11n
36
1
2
= −
.
1
48
+
11n
3456
,
(4.195)
Это однопараметрические решения с параметром μ
,причемμ
0
Решение (4.195) иллюстрируется на рис. 4.17 и 4.18.
Рис. 4.17. График решения (4.195) с
n = 100, μ
=5(выбран знак "+").
0
Рис. 4.18. График решения (4.195) с
n = 100, μ0=5(выбран знак "−").
Решение (4.194) — частный случай решения (4.184), а решение (4.195)
при μ
приведенных выше. Однако это решение содержит мнимую часть.
=0и замене z → z + iπ/2 переходит в
0
κ +
u = A
n(1 ± ch z)
+
1
144 sh z
Класс решений содержит в себе решение с k
1
,κ= ±1. (4.196)
sh z
2
= n/48, отличное от
Третье семейство решений (4.183) для m = −48,μ(μ
2
− 1) =0опре-
деляется следующими значениями параметров
2
48
2
− 1728k4),μ2=
,a
2
=0,a3=0,
29
35
+
n
420k
.
2
c =
= −
a
0
1
(n +13nk
48
1+13k
2
> 1.
0
(4.197)
Однопараметрическое семейство с параметром k из этого семейства
имеет вид
u = −
1+13k
48
2
+
(1 + κch z)2(n + 348k2)
420k
4
, (4.198)
4.7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА 227
κ = ±
n − 72k
n + 348k
2
. (4.199)
2
где
График решения (4.198) приведен на рис. 4.19.
Рис. 4.19. График решения (4.198) с n =
=72.01, k =1(для κ выбран знак "+").
Рис. 4.20. График решения (4.209) с
n = −10 (выбран знак "−").
В случае мнимого κ в (4.198), (4.199) после замены z → z + iπ/2,
κ → iκ приходим к решению, которое получается из (4.198), (4.199) заменой
ch z на sh z в (4.198) и заменой знака подкоренного выражения в (4.199).
Существует еще одно решение из третьего семейства (4.183) для m =
= −48,μ(μ
2
−1) =0и a3=0. Однако это решение может быть определено
лишь неявным образом как решение системы четырех уравнений
2
nk
−12k2+192k4−576a0k2+12a
− 2a2+ 148a2k2− 96a0a1+10μk2+ 130μk4+
na
2
+480a
2
2ck
− 8k4− 32k6+2a0a1k2− 384a0k4+ na
+6a
μk2− 60a
0
μk2+30a2μk4+ 288a0a1μk2=0,
2
2
− k4+ a0a1− 48a0k2=0. (4.203)
c − k
2
−264a2μk2−420k4μ2=0, (4.200)
1
2
μ − 30a2μ2k2=0,
2
2
2
+ 108a
2
k2+
2
(4.201)
(4.202)
При m = −48 и μ =0существует две группы решений, принадлежащих третьему семейству (4.183). Первая группа определяется следующими
значениями параметров:
c =
a
=
0
a
1
(2n − 21n
96
1
(n − 2 − 200k
96
√
5nk2− 1392k
= ±
2
2
+ 9800nk2− 1105920k2).
2
2√3
),a1=0,
4
,
(4.204)
228 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Одно из решений, принадлежащее этой группе, имеет вид (k2= n/288)
n
th z −
u = A
В группу решений, определяемую значениями параметров (4.204), входят, кроме (4.205), решение c k
(4.187)) и решение с k
2
±
1
144
2
=5n/1392 (частный случай решения
= n/192 c неустранимой мнимой частью.
n
288
sh
2
z.
(4.205)
Решение (4.205) при замене z → z + iπ/2 переходит в решения, отличающиеся от (4.205) заменой th z и sh z на cth z иcschz, соответственно
u = A
n
cth z −
±
1
144
n
288
csch
2
z.
(4.206)
Вторая группа решений определяется следующими значениями параметров:
1
(n − 2 + 148k
=
a
0
96
=0,c=
a
2
1
96
В эту группу решений входит решение с k
чай решения (4.187)), решение с k
2
),a1= ±
(2n − 21n
2
− 4900nk2− 270720k4).
2
√
5nk2+ 696k
2√3
2
= −5n/696 (частный слу-
,c= c+,n<0, которое после
= A
+
4
4
,
(4.207)
замены z → z + iπ/2 приводится к виду
+
а также решение с k
u = A
2
= A
u = A
+
± A
−
2
± A
csсh z + A
3
−
shz −A
3
2
−
,c= c−,n<0
4
+
csсh2z, (4.208)
4
−
sh2z. (4.209)
4
Здесь
±
=
3
1355√14 ± 4712
n
2316
10727712
√
14)n
1158 + (161 ± 37
±
A
= −
2
(20 ±
±
A
= −
4
√
2316
55584
14)n
,c
14)n
,A
223494n + (46853 ± 10825
±
=
√
Зависимость решения (4.209) от z представлена на рис. 4.20.
Для поиска решения уравнения (4.173) в виде кноидальной волны вос-
пользуемся методом, который использован ранее в п.4.5. и п.4.6.
,
2
(4.210)
.
4.7. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО ПОРЯДКА 229
Проинтегрировавуравнение (4.173), записанное в переменных бегущей
волны, по z, получаем
u
где C
3
− muuzz+ uzz+
zzzz
— постоянная интегрирования.
1
(m − 20)u
2
n
2
z
2
u
−
− C0u + C1=0, (4.211)
2
Решение уравнения (4.211) имеет полюс второго порядка, поэтому бу-
дем искать в виде
R(z)+a1, (4.212)
u = a
0
где a
— постоянные, а R(z) — решение уравнения
0,a1
2
R
=4R3+ aR2+ bR + d. (4.213)
z
Подставляя (4.212) в уравнение (4.211) и приравнивая нулю коэффициенты при разных степенях R(z), получаем следующие значения параметров
уравнения:
2
a
=1,a1=
0
d =
432m2(m − 12)
12 − n + ma
12m
1
2
+ m
(c − a)+ n2(288 + 36m(a − 1) − 3m2a)+
,b=
(2n3(m − 6) − 36n (48 − 4m(1 + 2c − 3a)+
2
+m(m − 12)(36c(8 + ma)+m(−288C
(12 − n)n + m(12c +(m −12)a
12m(m − 12)
+ a3(m − 12)))),
1
)
,
(4.214)
где предполагается, что m =12. В случае m =12находим
12 − n +12a
144
2
,
,C
0
n(n − 12)
=
144
.
b = −
144n − 24n
a
=1,a1=
0
2
+ n3+ 41472C1− 144na
1728n
Пусть R
<R2<R3— действительные и различные корни куби-
1
ческого уравнения из правой части (4.213). Тогда уравнение (4.211) имеет
решение в виде кноидальной волны
12 − n + ma
u =
12m
+ R
+(R1− R2)cn2(R3− R1z,S), (4.215)
2
230 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
где
S =
R2− R
R3− R
1
.
1
График решения (4.215) представлен на рис. 4.21.
Рис. 4.21. График решения (4.215) при m = −48, n = −100, a = −8, R1=0.9,
R
=1.36, R3=1.44.
2
В предельном случае при R2= R3решение (4.215) переходит в уединенную волну, которая была получена ранее. Таким образом, уравнение
(4.173) имеет частные решения при любых значениях m.Длядвухзна-
чений m =10и m = −48 получены дополнительные частные решения.
Кроме того, найдено частное решение уравнения (4.173) в виде кноидальной волны.
4.8. Решения уравнения Кортевега – де Вриза пятого
порядка в переменных бегущей волны
Используя переменные бегущей волны, найдем решения уравнения
Кортевега – де Вриза пятого порядка, имеющего вид
− 6βuux+ βu
u
t
− 20uxuxx− 10uu
xxx
+30u2ux+ u
xxx
xxxxx
=0.
(4.216)
Это уравнение относится к классу точно решаемых уравнений, для
которого решение задачи Коши может быть получено с помощью метода обратной задачи рассеяния. Однако уравнение (4.216) имеет также и
частные решения, которые могут быть найдены, используя один из выше
представленных алгоритмов.
Будем искать частные решения в переменных бегущей волны
u(x, y)=y(z),z= x −C
t + ϕ0,
0
(4.217)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]