Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
4.2. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА – ХАКСЛИ 201
Рис. 4.2. Зависимость от x и t решения (4.52) уравнения Бюргерса – Хаксли (4.25)
при A = c
= c3=1и αA +3D0=0.5.
2
от значения αA +3D. В случае αA +3D0> 0 амплитуда решения с течени-
ем времени уменьшается. При αA +3D
не меняется. При αA +3D
Возникает режим эволюции процесса с обострением. Ограниченное решение (4.52) при c
2
−4c3> 0 существует лишь конечное время, определяемое
2
< 0 амплитуда решения (4.52) увеличивается.
0
=0решение с течением времени
0
по формуле:
2
− 4c
c
3
t<
8(αA +3D0)
2
. (4.53)
Пусть β =0,γ=0. Решение ϕ(x, t) системы (4.41), (4.42) при β =0
выражается формулой
ϕ(x, t)+c
+ c2− γAc1t + c3exp(λx + D0λ2t), (4.54)
1
где
λ =
Подставив (4.54) в (4.33) при u
β =0:
u(x, t)=
где
F
При c
=0,c3=0из (4.56) (переобозначив постоянную c2) имеем
1
решение в виде:
u(x, t)=
γA
αA +2D
1
A(c
1
c1x + c2− γAc1t + c3F
=exp(λx + D0λ2t). (4.57)
1
λF
c2+ F1(x, t)
γ
=
. (4.55)
δA
0
=0, получим решение (4.25) при
+ c3λF1)
(x, t)
1
, (4.56)
1
. (4.58)
202 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Решение (4.58) является волновым фронтом (кинком), которое может
быть выражено через гиперболический тангенс.
При c
Переобозначив постоянные c
=0числитель и знаменатель в (4.56) можно разделить на c1.
1
и c3, решение уравнения (4.25) получим в
2
виде:
u(x, t)=
A(1 + c
x + c2− γAt + c3F
3λF1
)
. (4.59)
1
Из равенства знаменателя в (4.59) нулю можно найти значения постоянных c
и c3, при которых решение (4.59) имеет особые точки в начальный
2
и последующие моменты времени.
Поведение решения (4.59) в зависимости от x иллюстрируется на
рис. 4.3.
Рис. 4.3. Зависимость от x и t решения (4.59) уравнения Бюргерса-Хаксли (4.25)
при c
=0.3, c3= −1, A =1, λ =0.5, D0=1и γ =1.
2
Рассмотрим случай β =0,γ2+4βδ > 0. Из уравнения (4.41) находим
ϕ(x, t) ввиде:
ϕ(x, t)=C
(t)+C2(t)exp(λ2x)+C3(t)exp(λ3x), (4.60)
1
где
2,3
=
γA ±
λ
γ2A2+4β(αA +2D0)
2(αA +2D0)
Подставив (4.60) в (4.42), находим зависимости C
от времени
= c1,C2(t)=c2G2(x, t),C3(t)=c3G3(x, t), (4.62)
C
1
где
G
(t)=exp(αA +3D0)λ
i
2
t − γAλit=exp(D0λ
i
γ ±
=
γ2+4βδ
2δA
1
2
t + βt), (i =2, 3).
i
. (4.61)
(t),C2(t) и C3(t)
4.2. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА – ХАКСЛИ 203
Учитывая (4.60) и (4.62), имеем решение ϕ(x, t) системы уравнений
(4.41) и (4.42) в виде:
ϕ(x, t)=c
+ c2F2(x, t)+c3F3(x, t), (4.63)
1
где
F
(x, t)=exp(λix +(αA +3D0)λ
i
Используя (4.33) при u
u(x, t)=
При c
чений постоянных c
=0в (4.65) можно положить c1=1. В зависимости от зна-
1
и c3решение (4.65) может иметь две особые точки,
2
=exp(λ
=0, находим решение уравнения (4.25) в виде:
1
2
t − γAλit)=
i
x + D0λ
i
A(c
2λ2F2
+ c3λ3F3)
c1+ c2F2+ c3F
2
t + βt), (i =2, 3). (4.64)
i
. (4.65)
3
одну особую точку или не одной. Взаимодействие волн, описываемое формулой (4.65), показано на рис. 4.4.
Рис. 4.4. Зависимость от x и t решения (4.65) уравнения Бюргерса-Хаксли (4.25)
при c
=1, c2=1, c3=0.1, A =1, λ2=1, λ3=0.7, D0=1, β =10(слева) и
1
при c
=0.3, c2=1, c3= −1, A =1, λ2=1, λ3=0.5, D0=1, β = −2 (справа).
1
Рассмотрим случай γ2+4βδ =0. Из (4.61) следует
= λ2= λ3=
λ
0
γ
2δA
.
Из уравнения (4.41) имеем
ϕ(x, t)=C
(t)+(C2(t)+C3(t)x)exp(λ0x). (4.66)
1
204 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Подставив (4.66) в (4.42), получим ϕ(x, t) ввиде:
ϕ(x, t)=c
+(c2+ c3x +2c3D0λ0t)expλ0x +(D0λ
1
По формуле (4.33) при u
u(x, t)=A
c1exp(−λ0x − (D0λ
=0находим решение уравнения (4.25)
1
+ c3x +2c3D0λ0t)+c
λ
0(c2
2
+ β)t)+c2+ c3x +2c3D0λ0t
0
2
+ β)t. (4.67)
0
3
. (4.68)
Решение, описываемое формулой (4.65), иллюстрируется на рис. 4.5.
Рис. 4.5. Зависимость от x и t решения (4.68) уравнения Бюргерса-Хаксли (4.25)
при c
=0.25, c2=1, c3=1, A =1, λ =1, D0=1и β = −3.
1
Пусть γ2+4βδ < 0. Тогда из (4.41) имеем:
ϕ(x, t)=C
где
(t)+exp(kx)(C2(t)sin(px)+C3(t)cos(px)) , (4.69)
1
k =
γ
2δA
,p=
1
2δA
Из уравнения (4.42) находятся функции C
ние ϕ(x, t) ввиде:
ϕ(x, t)=c
,c2и c3— произвольные постоянные,
где c
1
F
(x, t)=exp(kx + D0(k2− p2)t + βt),
4
(x, t)=sin(px +2D0kpt),G5(x, t)=cos(px +2D0kpt).
G
4
+ F4(x, t)(
1
(x, t)+c3G5(x, t)), (4.71)
2G4
Решение уравнения (4.25) находится по формуле:
u(x, t)=
A ((kc
− pc3)G4+(pc2+ kc3)G5)
2
−1
c1F
+ c2G4+ c3G
4
−γ2− 4βδ. (4.70)
(t),C2(t),C3(t) и реше-
1
(4.72)
. (4.73)
5
4.3. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БКДВ 205
При c1=0числитель и знаменатель в (4.73) можно разделить на c1.
Переобозначив произвольные постоянные c
уравнения (4.25), которое выражается формулой (4.73) при c
и c3в (4.73), получим решение
2
1
=1.
При γ =0решение (4.73) имеет бесконечное множество особых точек.
Если γ =0,тоk =0,βδ<0 и ϕ(x, t) принимает вид:
ϕ(x, t)=c
+exp(β −Dp2)t(c2sin(px)+c3cos(px)) . (4.74)
1
По формуле (4.33) находим решение
Ap(c
cos(px) − c3sin(px))
где m = Dp
u(x, t)=
2
− β.
2
c1exp(mt)+c2sin(px)+c3cos(px)
, (4.75)
Из (4.75) следует, что решение u(x, t) является периодической функцией от x спериодом2π/p, причем положение нулей от времени не зависит.
Если c
=0и m>0,тоu(x, t) с течением времени затухает. Эволюция
1
начального возмущения от времени показана на рис. 4.6.
Рис. 4.6. Зависимость от x и t решения (4.74) уравнения Бюргерса-Хаксли (4.25)
при c
=2, c2=0.5, c3=1, A =1, m =1и p =1.
1
4.3. Частные решения уравнения Бюргерса – Кортевега –
де Вриза
Учет диссипативных процессов при описании волн на воде приводит
к уравнению Бюргерса – Кортевега – де Вриза [44–46,65, 146,214]
u
+ uux+ βu
t
− νuxx=0. (4.76)
xxx
Используя метод ВТК можно показать, что это уравнение не проходит тест Пенлеве. Тем не менее, уравнение (4.76) имеет частные решения,
которые можно найти, используя метод усеченных разложений [53–55].
206 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Будем искать решения уравнения (4.76) в переменных бегущей волны.
Полагая
u(x, t)=y(z),z= x − c
(ϕ
— произвольная постоянная), имеем из (4.76) после интегрирования по z
0
1
2
− C0y +
C
1
y
+ βyzz− νyz=0. (4.78)
2
t + ϕ0, (4.77)
0
Подставляя
y(z)=a
/(z − z0)
0
p
(4.79)
в ведущие члены уравнения (4.78), находим, что
a
= −12β, p =2 (4.80)
0
(z
при вычислении можно принять равным нулю, поскольку уравне-
0
ние (4.78) автономное). Подставляя
y(z)=−12β/z
+ yjz
(4.81)
2
j−2
снова в ведущие члены уравнения (4.78), получаем индексы Фукса для
решения уравнения (4.78)
j
= −1,j2=6.
1
Проверим уравнение (4.78) на тест Пенлеве.
Подставляя
2
y(z)=−12β/z
+ a1/z + a2+ a3z + a4z2+ a5z3+ a6z4+ ... (4.82)
в уравнение (4.78), последовательно находим
1
= −
12
ν, a
5
a
= −
4
= c0+
2
4
ν
12500β
a
25β
,a5=
3
2
ν
,a
3
ν
187500β
= −
5
125β
.
4
3
ν
,
2
(4.83)
Коэффициент a
вания C
1
является произвольным, если постоянная интегриро-
6
в (4.78) определяется через C0выражением
−
4
18ν
. (4.84)
2
625β
1
2
C
C
=
1
0
2
4.3. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БКДВ 207
Следовательно, уравнение (4.78) проходиттест Пенлеве лишь при условии (4.84). Обыкновенное дифференциальное уравнение
βy
− νyz+
zz
1
2
y
2
− C0y +
1
2
C
0
2
−
4
18ν
=0 (4.85)
2
625β
является точно решаемым уравнением.
В (4.85) введем замену переменных
2
y(z)=aq(z)+
6ν
25β
где
1
3
a = −
60β2ν2,l=
5β
тогда уравнение (4.85) приводится к виду (штрихи у z
+5aqz− 6q2+6a2q =0. (4.88)
q
zz
,z= lz, (4.86)
+ C
0
3
60β2ν
ν
2
, (4.87)
опущены):
Общее решение уравнения (4.88) получено Пенлеве [37]. Оно выражается через функцию Вейерштрасса
q(z)=a
2C2
exp(−2az)℘(C3exp(−az)+C2, 0, −1). (4.89)
3
Простейшие решения уравнения (4.78) выражаются через гиперболические функции. Заметим, что решения уравнения (4.78) имеют полюс второго порядка, поэтому принимая во внимание инвариантный Пенлеве-анализ,
решение уравнения (4.78) можно искать в виде усеченного разложения:
y(z)=−12βY
12
2
νY + C
−
5
2
3ν
, (4.90)
+
0
25β
где Y (z) является решением уравнения Риккати
= −Y2+ A0. (4.91)
Y
z
Подставляя (4.90) в уравнение (4.78) и учитывая, что Y (z) удовлетворяет (4.91), получаем, что A
находится по формуле
0
2
A
ν
=
0
. (4.92)
2
100β
208 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
Решение (4.91) имеет вид:
Y (z)=
ν
10β
th
νz
. (4.93)
10β
При этом решение (4.90) уравнения (4.85) принимает вид
y(z)=C
2
3ν
+
0
25β
2
6ν
−
25β
th
νz
10β
3ν
−
25β
2
2
th
νz
10β
. (4.94)
Учитывая, что
th
νz
2
10β
=1−ch
−2
νz
,
10β
решение (4.94) уравнений (4.76) и (4.85) можно представить в виде:
u(x, t)=C
2
ν
−2
25β
ch
+
0
νz
10β
−
6ν
25β
νz
10β
,
2
th
(4.95)
(4.96)
z = x −C
t + ϕ0.
0
Решение (4.96) является кинком, бегущим с постоянной скоростью C
Оно иллюстрируется на рис. 4.7.
Рис. 4.7. Зависимость от z решения (4.96) уравнения Бюргерса – Кортевега – де Вриза
(4.76) при C
=1, ν =5, β =2.
0
4.4. Уединенные волны, описываемые уравнением
Курамото – Сивашинского
Уравнение Курамото – Сивашинского имеет вид
u
+ umux+ αuxx+ βu
t
xxx
+ γu
=0,m=1, 3. (4.97)
xxxx
.
0
4.4. УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ КУРАМОТО – СИВАШИНСКОГО 209
Оно встречается при описании волновых процессов, возникающих при
стекании тонкого слоя жидкости по наклонной плоскости [16, 137,182,183],
процессов турбулентности [271, 272], волн дрейфа в плазме [125], фронта
пламени [247].
Полагая u = u
zp, после подстановки в ведущие члены уравне-
0
ния (4.97) имеем: p = −3 при m =1и p = −1 при m =3. Проводя
второй этап проверки исходного уравнения на тест Пенлеве, нетрудно убедиться, что при исследовании (4.97) два из четырех индексов Фукса являются комплексносопряженными [54, 133]. Следовательно, уравнение (4.97)
не проходит тест Пенлеве и не относится к точно решаемым уравнениям.
Однако это уравнение имеет частные решения.
Рассмотрим случай m =1. Тогда, используя безразмерные переменные
u = α
α/γ u,x=γ/αx,t=(γ/α2)t,σ= β/√αγ, (4.98)
уравнение (4.97) при m =1можно записать в виде
u
+ uux+ uxx+ σu
t
xxx
+ u
=0 (4.99)
xxxx
(штрихи в (4.99) опущены).
Заметим, что (4.99) инвариантно относительно группы преобразований
Галилея
(u, x, t) → (u + c
,x− c0t, t) (4.100)
0
и кроме того, допускает преобразование в виде
u →−u, x →−x, σ →−σ, (4.101)
что позволяет искать решения уравнения (4.97) только при σ>0.
Частные решения уравнения (4.97) можно искать, используя усеченные
разложения. Такой подход применялся в работах [54,64, 105, 106,133, 200].
Однако при этом удалось найти решения только в переменных бегущей
волны. Поэтому здесь частные решения уравнения (4.97) будем искать, используя также переменные бегущей волны (4.77). В этом случае уравнение
Курамото – Сивашинского при m =1принимает вид
1
2
y
− C0y + C1=0, (4.102)
2
где C
y
+ σyzz+ yz+
zzz
— скорость волны, C1— постоянная интегрирования.
0
Решение уравнения (4.102), как и решение (4.97), имеет полюс третьего
порядка, поэтому его можно искать в виде
y(z)=a
Y3+ a1Y2+ a2Y + a3,Y≡ Y (z), (4.103)
0
210 ГЛАВА 4. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
где постоянные a0,a1,a2и a3находятся после подстановки (4.103) в уравнение (4.102). Переменная Y (z) является решением уравнения Рикатти
= −Y2+ A0, (4.104)
Y
z
где A
— постоянная, которая также находится при подстановке (4.103)
0
в (4.102).
Решением уравнения (4.104) является гиперболический тангенс
где ϕ
Y (z)=
— произвольная постоянная. Поэтому частные решения уравне-
0
A0th(A0z + ϕ0), (4.105)
ния (4.102) (и многих других уравнений) можно искать в виде суммы
степеней от гиперболических тангенсов (или в виде суммы степеней от
некоторых других гиперболических функций).
Подставив (4.103) в уравнение (4.102), приняв во внимание, что Y (z)
удовлетворяет (4.104) и приравняв выражения при одинаковых степенях Y
нулю, получим
a
= 120,a1= −15σ,
0
15
a
3
a
=
2
= C0+
60
19
7
76
2
−
σ
76
σ +10σA
− 120A0,
13
−
0
608
(4.106)
3
σ
.
Кроме того, имеются еще три дополнительных уравнения:
660
361
C
1305
−
722
75
σ3−
A
0
76
1
2
C
−
1
+
0
2
775
+
38
A
σ
60
19
2
0
2
+
300
19
A
σ2+
1965
5776
σA
−
0
σ
0
2400
19
49
11552
−
4
−
495
5776
2
A
0
2
σ
150
A
19
3
σ
+ 960A
91
−
46208
σ2+
0
+
2400
195
46208
3
+
0
4
σ
+
19
5
σ
55
A
76
169
739328
A
+
σ2−
0
0
− 960A
105
361
2
0
σ =0; (4.108)
65
A
304
6
σ
=0.
=0; (4.107)
σ4+
0
(4.109)
Уравнение (4.108) можно представить в виде
2
σ(σ −4)(σ + 4)(13σ
− 56 + 3040A0)=0. (4.110)
Оно удовлетворяется при σ =0и σ = ±4.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]