Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
1.12. СИСТЕМА ЛОРЕНЦА 61
ратуры T (ϕ, t) по линейному закону
ρ = ρ
где a — коэффициент объемного расширения; ρ
начальной температуре T
0
− aρ0(T − T0) , (1.177)
0
— плотность жидкости при
0
.
Уравнение движения жидкости в тороидальной трубе можно записать
ввиде
J ˙ω = −R
2π
2
g
ρ sin ϕdϕ−kω, (1.178)
0
где ω (ϕ, t) — скорость движения; ϕ — угол, отсчитываемый от вертикали;
g — ускорение свободного падения; k — коэффициент трения при движении
жидкости.
Уравнение теплопроводности для движущейся жидкости имеет вид
∂T
∂t
+ ω
∂T
∂ϕ
= κ
2
∂
T
− hT −˜T, (1.179)
2
∂ϕ
где˜T (ϕ) — стационарная температура поверхности трубы, являющаяся
четной функцией от ϕ; h — коэффициент теплообмена между жидкостью
и стенкой трубы; κ — коэффициент теплопроводности.
Раскладывая˜T (ϕ) и T (ϕ, t) в ряды Фурье и принимая во внимание
четность функции˜T (ϕ), имеем
∞
+
0
∞
Tncos nϕ, (1.180)
n=1
(αn(t)cosnϕ + βn(t)sinnϕ).
n=1
T (ϕ, t)=T
˜
T (ϕ)=T
+ α0(t)+
0
Подставляя (1.180), (1.177) в (1.178) и (1.179) и приравнивая выражения
при одинаковых тригонометрических функциях, получим
J ˙ω = πaρ
= −ωβ1− (κ + h) α1+ hT1,
˙α
1
˙
= ωα1− (κ + h) β1,
β
1
gR2β1− kω,
0
(1.181)
62 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
˙α0= −hα0,
˙α
= −nωβn−n2κ + hαn+ hTn,
n
˙
= nωαn−n2κ + hβn.
β
n
Система уравнений (1.181) может рассматриваться независимо от
(1.182). Ее можно упростить, если ввести переменные
(1.182)
x =
z = r −
ω
κ + h
πaρ
,r=
gR
0
κ
2
gR
πhaρ
0
T
,y=
κ (κ + h)
2
α
,τ=(κ + h) t, σ =
1
1
πaρ
2
gR
0
β
1
κ
k
J (κ + h)
,
(1.183)
.
В результате получаем
dx
= σ (y − x) ,
dτ
dy
= −y + rx − zx,
dτ
dz
= xy − bz,
dτ
(1.184)
где параметр b введен в (1.184) вместо единицы для стандартной записи
системы уравнений Лоренца.
Параметры в системе Лоренца σ, r и b — положительные постоянные,
имеющие вполне определенный физический смысл: σ — число Прандтля,
r — нормированное число Рэлея, b — геометрический параметр, соответствующий характерному размеру процесса.
При численном решении системы уравнений (1.184) Э. Лоренц использовал следующие значения параметров [217]: σ =10, b =8/3 и r>27, 74,
что соответствовало наблюдениям французского физика Бенара при изучении явлений в подогреваемой кювете. Решая численно систему уравнений
(1.184) при b =8/3, r =28, σ ∈ [1, 10], Э. Лоренц обнаружил новый тип
поведения траекторий, притягивающихся в фазовом пространстве к некоторому множеству, получившему название странного аттрактора, который
позже стал называться аттрактором Лоренца [21,69].
Обсудим некоторые свойства системы Лоренца. Полагая x = y = z =
=0в (1.184), получаем, что уравнения удовлетворяются, поэтому система
Лоренца — однородна и x = y = z =0— стационарная точка.
1.12. СИСТЕМА ЛОРЕНЦА 63
Система уравнений Лоренца допускает замену переменных (инвариантна относительно преобразования) (x, y, z) → (−x, −y, z), что доказывается непосредственной проверкой. Следовательно, ее фазовый портрет
симметричен относительно оси z, что упрощает ее численное исследование.
Система Лоренца является диссипативной, поскольку ее фазовый поток
сжимается. Это следует из соотношений:
∂ ˙y
∂ ˙x
∂x
+
∂y
∂ ˙z
+
+
∂
=
∂z
∂
∂z
(−σx + σy)+
∂x
(xy −bz)=−σ −b − 1 < 0.
∂
(rx − y − xz)+
∂y
(1.185)
Попадая в начальный момент времени в сферу, траектории решений
системы уравнений Лоренца остаются в ограниченном фазовом пространстве [21]. Докажем это утверждение. Пусть в некоторый момент времени
точка находится на поверхности сферы, уравнение которой имеет вид:
2
+ y2+[z − (σ + r)]2= K2(σ + r)2. (1.186)
x
Эта сфера имеет радиус K (σ + r) с центром в точке (0, 0,σ+ r).Дифференцируя обе части уравнения (1.186) по времени, получаем:
x ˙x + y ˙y +(z −σ − r)˙z =0. (1.187)
Подставляя производные ˙x, ˙y и ˙z в (1.187), приходим к уравнению:
2
+ y2+ bz −
σx
σ + r
2
1
b (σ + r)
2
=
4
2
. (1.188)
Уравнение (1.188) является уравнением эллипса с центром в точке:
0, 0,
σ + r
2
.
Длины полуосей эллипсоида по x ипоy вычисляются в соответствии
с формулами:
b (σ + r)
4σ
2
,
b (σ + r)
2
.
4
64 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Из уравнения (1.188) следует, что, выбирая K2по формуле:
1
K
2
=
b
+
4
4
max
1
, 1, (1.189)
σ
получим, что эллипсоид остается всегда внутри сферы.
Рассмотрим стационарные точки системы уравнений Лоренца. Они находятся из решения алгебраической системы уравнений
σ (y −x)=0; (1.190)
rx − y − xz =0; (1.191)
xy −bz =0. (1.192)
Из (1.190) – (1.192) следует, что точка O =(0, 0, 0) — стационарная
точка при любых значениях параметров задачи. Пусть x =0,тогдаесли
y = x, то из (1.191) имеем z = r −1. Используя уравнение (1.192), находим
x =
b (r − 1). Получаем вторую стационарную точку в виде:
O
=
1
b (r − 1),b (r − 1),r− 1. (1.193)
Учитывая симметрию системы уравнений Лоренца, из (1.193) получаем
еще одну стационарную точку:
O
=−b (r − 1), −b (r − 1),r− 1. (1.194)
2
Из приведенных формул следует, что стационарные точки O
1
и O
системы уравнений Лоренца появляются лишь при r>1. В случае r<1
система имеет мнимые стационарные точки O
и O2.
1
Рассмотрим устойчивость стационарных точек системы уравнений Лоренца. Термин устойчивости обычно используется в широком смысле. Однако мы будем иметь в виду устойчивость стационарных точек по Ля-
пунову [35]. Эта устойчивость устанавливается путем разложения решения
вблизи стационарных точек и поэтому часто называется устойчивостью в
линейном приближении.
Линейная часть системы уравнений Лоренца вблизи точки O =(0, 0, 0)
имеет вид:
dx
= σ (y − x) ,
dτ
dy
= −y + rx,
dτ
dz
dτ
= −bz.
2
1.12. СИСТЕМА ЛОРЕНЦА 65
Матрица M, составленная из коэффициентов правых частей и соответствующая линейной части системы уравнений Лоренца вблизи первой
стационарной точки, имеет вид:
⎛
⎞
−σσ 0
M =
⎝
r −10
⎠
. (1.195)
00−b
Собственные значения матрицы M находятся из решения характери-
стического уравнения
det (M −λE)=0. (1.196)
Здесь E — единичная матрица.
Уравнение (1.196) принимает вид:
(λ + b)"λ
2
+ λ (σ +1)+σ (1 − r)#=0. (1.197)
Откуда находим корни уравнения:
1
±
(σ +1)2− 4σ (1 − r). (1.198)
2
λ
= −b, λ
1
2,3
= −
σ +1
2
Под корнем второго выражения (1.198) стоит величина
(σ − 1)
2
+ σr > 0. (1.199)
Точка O =(0, 0, 0) при r<1 является устойчивым узлом. В случае
r>1 система Лоренца имеет три стационарных точки, но точка O теряет
устойчивость, превращаясь в седло-узел.
При r =1процессы теплопроводности уступают место конвективному
переносу тепла, и в системе возникают ячейки Бенара.
Для исследования устойчивости стационарных точек O
и O2всистеме
1
уравнений Лоренца сделаем замену:
x = x
+ x0,y= y+ y0,z= z+ z0, (1.200)
где x
хи у переменных x
и z0— координаты стационарных точек O1и O2.
0,y0
Линейная часть системы Лоренца в этом случае принимает вид (штри-
,y
и zдалее опущены):
dx
= σ (y − x) , (1.201)
dτ
66 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
dy
dτ
dz
dτ
=(r − z
) x − y −x0z, (1.202)
0
= y
x + x0y − bz. (1.203)
0
Матрица M , соответствующая системе уравнений (1.201) – (1.203),
имеет вид:
⎛
⎞
−σσ0
M =
⎝
r − z
y
0
−1 −x
0
x0−b
⎠
. (1.204)
0
Поскольку
x
= y0= ±b (r − 1) = c0,z0= r − 1,
0
то матрицу (1.204) можно записать
⎛
⎞
−σσ 0
M =
⎝
1 −1 −c
⎠
. (1.205)
0
c0c0−b
Принимая во внимание (1.205), имеем характеристическое уравнение
−σ − λσ 0
1 −1 − λ −c
c
0
c
0
−b − λ
=0. (1.206)
0
Уравнение (1.206) можно представить в виде:
3
+(σ + b +1)λ2+ b (r + σ) λ +2bσ (r −1) = 0. (1.207)
λ
Из уравнения (1.207) определяется тип стационарных точек O
Анализируя корни уравнения (1.207), находим, что эти стационарные точки
устойчивы при σ>b+1 ипри1 <r<r
σ (σ + b +3)
∗
=
r
∗
При r>r
точки O1и O2становятся неустойчивыми. В этом случае
∗
σ − b −1
,где
.
и O2.
1
характеристическое уравнение (1.207) имеет один действительный отрицательный корень и два комплексно-сопряженных с положительной действительной частью.
1.12. СИСТЕМА ЛОРЕНЦА 67
Более детальный анализ режимов, возникающих в системе Лоренца,
проводился с помощью численных методов. Численное исследование системы Лоренца проводилось многими авторами и в результате установлена
эволюция режимов, описываемых (1.184) в зависимости от различных значений параметров σ, b и r [69].
Вслучае10 <r<r
ных точки O, O
и O2.ПриэтомточкаO представляет собой неустойчивую
1
≈ 13, 926 система Лоренца имеет три стационар-
1
точку типа седло – узел, а две другие точки являются устойчивыми.
При r
≈ 13, 926 стационарные точки O1и O2остаются устойчивыми,
1
однако вокруг них образуются две замкнутые петли кривых, исходящих из
точки O.
Вслучаеr
<r<r2≈ 24, 06 стационарные точки O1и O2остаются
1
устойчивыми, но от каждой из петель рождаются седловые периодические
траектории.
При r
≈ 24, 06 стационарные точки O1и O2продолжают оставаться
2
устойчивыми, но сепаратрисы, выходящие из точки O, не стремятся к ним.
Возникает множество траекторий, которое при r
<rстановится притяги-
2
вающим.
При r
<r<r3≈ 24, 74 стационарные точки O1и O2все еще устой-
2
чивые, однако в фазовом пространстве появляется предельное множество,
называемое аттрактором Лоренца. В системе возможны как стационарный,
так и хаотический режимы движения.
Когда r → r
стационарным точкам O
В интервале r
≈ 24, 74, седловые предельные циклы стягиваются к
3
и O2, и они становятся неустойчивыми.
1
<r<r4=28все стационарные точки O, O
3
и O2являются неустойчивыми. В качестве устойчивого притягивающего
предельного множества (аттрактора) остается лишь аттрактор Лоренца.
В динамической системе, описываемой системой уравнений Лоренца, вне
зависимости от выбранных начальных условий реализуется хаотический
режим движения.
Хаотический режим движения, описываемый системой уравнений Лоренца, продолжает оставаться для значений r из интервала: r
148, 4.Приr
<rв фазовом пространстве вместо странного аттрактора
5
<r<r5≈
4
образуется предельный цикл, и движение в системе становится периодическим.
В работе Д. Рюэля и Ф. Такенса аттрактор Лоренца был назван стран-
ным аттрактором, поскольку он является новым типом стационарного
режима движения, отличным от стационарной точки и предельного цикла.
Этот аттрактор не является двумерной поверхностью. Поверхность, которая
1
68 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
проходит через аттрактор, пересекается фазовыми траекториями в точках,
образующих канторово множество [69].
Система уравнений Лоренца была первой системой дифференциальных
уравнений, имеющей физические приложения, в которой было доказано
существование странного аттрактора.
1.13. Задачи и упражнения к главе 1
1) Вывести уравнение для описания распространения возмущений на мелкой воде, предполагая в (1.33) и (1.34) зависимость:
f = −η + εf
(1)
Сравнить полученное уравнение с уравнением Кортевега – де Вриза (1.43).
2) Показать, что учет поверхностного натяжения при выводе уравнения Кортевега – де Вриза приводит к уравнению
2
+ δ
1
6
3
u
+
εuu
t
x
2
где
ε =
,δ
h
=
,τ=
l
h
2
a
T — коэффициент поверхностного натяжения.
(1)
3) Доказать, что переменные f
(2)
и f
, используемые при выводе уравнения
Кортевега – де Вриза (1.45), удовлетворяют уравнениям
+ δ2f
τ
−
2
(2)
.
u
=0, (1.208)
xxx
T
, (1.209)
2
ρgh
(1)
∂f
∂t
Изменятся ли эти соотношения, если использовать соотношение f = −η +
+ εf
(1)
+ δ2f
(2)
?
= −
∂f
∂x
(1)
(2)
∂f
,
∂t
= −
(2)
∂f
. (1.210)
∂x
4) Уравнение Кортевега – де Вриза допускает группу преобразований сдвига по
переменным x и t. Используя этот факт, доказать, что решение этого уравнения
можно искать в переменных бегущей волны.
5) Найти аналитическое решение уравнения (1.66) в переменных бегущей волны
при γ =0,ε= α = c =1. Сравнить полученное решение с решением
уравнения Кортевега – де Вриза.
1.13. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1 69
6) Вывести уравнение для огибающих волнового пакета из трех волн, распространение которых описывается уравнением Кортевега – де Вриза. Сравнить
полученное уравнение с нелинейным уравнением Шредингера.
7) Найти решение уравнения Бюргерса
+ uux= μuxx, (1.211)
u
t
используя переменные бегущей волны.
8) Решить задачу Коши, описываемую уравнением
u
+ uux=0 (1.212)
t
при начальных условиях:
1,x−1,
u(x, t =0)=
1
(x +3), −1 <x<1,
2
2,x
1.
(1.213)
9) Решить задачу Коши, описываемую нелинейным уравнением переноса при
начальных условиях:
u(x, t =0)=exp
−(x − a)
2
, (1.214)
где a — постоянная.
10) Найти решения в переменных бегущей волны следующих уравнений в частных
производных:
u
= uxx+ α0u − 2u3, (1.215)
t
= uxx+ α0u − 6u2. (1.216)
u
t
11) Получить обобщенный гамильтониан Хенона – Хейлеса, раскладывая в (1.171)
экспоненциальные функции в ряд Тейлора при малых x и y, принимая во
внимание многочлены третьей, четвертой и пятой степеней.
12) Используя переменные (1.183) и раскладывая функции˜T (ϕ) и T (ϕ, t) вряды
Фурье, получить систему Лоренца (1.184).
13) Найти зависимости фазовых и групповых скоростей волн, описываемых уравнениями:
+ ux+ u
u
t
u
+ ux− u
t
− uxx=0,
xxx
xxt
=0.
(1.217)
70 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
14) Найти решение уравнения Бюргерса (1.211), используя автомодельные переменные
u (x, t)=
1
f (θ) ,θ=
√
t
x
. (1.218)
√
t
15) Двумерным обобщением уравнения Кортевега – де Вриза является уравнение
Кадомцева – Петвиашвили [23,34]
− 6uux+ u
(u
t
)x− 3uyy=0. (1.219)
xxx
Найти решение уравнения (1.219) в виде уединенной волны
2
u (x, t)=U (ξ) ,ξ=
1
kx + ly −ωt, ω = k
2
3l
+
2
k
. (1.220)
Сравнить полученное решение с уединенной волной, описываемой уравнением
Кортевега – де Вриза.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]