Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений
.pdf
1.3. МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЦЕПОЧКЕ 31
Рис. 1.3. Взаимодействие солитонов Кортевега – де Вриза. В момент времени t
уединенная волна меньшей амплитуды впереди. Однако она движется с меньшей
скоростью, чем больший солитон. При t
солитоны расходятся, большая уединенная волна уходит вперед.
и t3солитоны взаимодействуют. При t
2
была малой — наоборот ускоряется и подрастает. Когда малая волна дорастает до размеров большой, а большая уменьшается до размеров малой,
солитоны разделяются и больший уходит вперед. Таким образом, солитоны
ведут себя как упругие теннисные мячи.
Солитоном называется нелинейная уединенная волна, которая сохраняет свою форму и скорость при движении и при столкновении с любыми другими уединенными волнами. Единственным результатом взаимодействия солитонов может быть некоторый сдвиг фаз [1, 11,70, 94].
Открытия, связанные с уравнением Кортевега – де Вриза, не закончились на открытии солитона. Следующим важным этапом, имеющим отношение к этому уравнению, было открытие нового метода решения задачи
Коши для нелинейных уравнений в частных производных. Известно, что
найти решения нелинейных уравнений очень сложно. До 60-х годов прошлого столетия считалось, что такие уравнения могут иметь только некоторые частные решения, удовлетворяющие специально заданным начальным
условиям. Однако уравнение Кортевега – де Вриза и в этом случае оказалось
в исключительном положении.
В 1967 году американские физики Гарднер, Грин, Крускал и Миура показали [155], что решение задачи Коши для уравнения Кортевега – де Вриза
может быть, в принципе, получено для всех начальных условий, которые
определенным образом обращаются в нуль при стремлении координаты к
бесконечности. Они преобразовали уравнение Кортевега – де Вриза к систе-
1
4
32 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ме двух уравнений, называемой теперь парой Лакса (по имени американского математика Питера Лакса, внесшего большой вклад в развитие теории
солитонов [215]), и открыли новый метод (называемый методом обратной
задачи рассеяния) решения задачи Коши для ряда нелинейных уравнений в
частных производных.
1.4. Простейшие решения модифицированного
уравнения Кортевега – де Вриза
Как уже сказано, решение дифференциального уравнения в ряде случаев найти не просто. В настоящее время хорошо известно, как находить
решения линейных дифференциальных уравнений [5, 35, 37]. Однако для
задач, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными
уравнениями и нелинейными уравнениями в частных производных, методы
построения решений (иногда и само понятие решения) значительно усложняются.
Пусть требуется решить уравнение второго порядка
= F [y] , (1.72)
y
zz
где правая часть является полиномом от y:
F [y]=a
+ a1y + a2y2+ ...+ anyn. (1.73)
0
К этому классу уравнений относятся многие уравнения, встречающиеся при описании волновых процессов (в частности, уравнение (1.48), которое изучалось в п. 1.2).
После умножения на y
решение уравнения (1.72) сводится к вычисле-
z
нию интеграла
Здесь C
2a
y + a1y2+
0
1
y3+ ...+
a
2
3
– постоянная интегрирования. Если в (1.74) n =3,тозадача
2
1
n +1
n+1
y
a
+ C
n
1
−
2
dy = z. (1.74)
2
вычисления интеграла (1.74) решается в явном виде. В этом случае интеграл
(1.74) принимает вид:
2a
y + a1y2+
0
1
a
3
y3+
2
1
4
a
y4+ C
3
1
−
2
dy = z. (1.75)
2
1.4. ПРОСТЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ МКДВ 33
При a0=0,a1=0,a2=0,a3=0интеграл (1.4) выражается через обратные тригонометрические функции (и, следовательно, общее решение уравнения (1.72) определяется через тригонометрические функции).
Вслучаеa
=0,a1=0,a2=0,a3=0интеграл сводится к эллипти-
0
ческому интегралу и решение определяется функцией Вейерштрасса. При
a
=0,a1=0,a2=0,a3=0интеграл (1.75) заменой переменных приво-
0
дится к эллиптическому интегралу первого рода и общее решение (1.72) выражается через эллиптическую функцию Якоби [87]. Эллиптические функции Вейерштрасса и Якоби являются соответствующим обобщением тригонометрических функций.
Теория эллиптических функций получила свое развитие в трудах
Н. Абеля и К. Якоби, как естественное обобщение тригонометрических
функций. В отличие от тригонометрических функций, имеющих действительные периоды, эллиптические функции являются двоякопериодическими. Они имеют как действительный, так и мнимый период. На комплексной
плоскости тригонометрические функции не имеют особых точек в конечной комплексной плоскости, т. е. являются целыми функциями, тогда как
эллиптические функции являются мероморфными функциями и имеют на
комплексной плоскости изолированные полюса.
Покажем, что решения модифицированного уравнения Кортевега –
де Вриза
+6u2u
u
t
xxx
+ u
=0 (1.76)
xxx
в переменных бегущей волны
u(x, t)=y(z),z= x − C
t (1.77)
0
находятся в терминах эллиптической функции Якоби. Уравнение (1.76) в
этих переменных становится обыкновенным дифференциальным уравнением, которое после интегрирования по z, принимает вид:
y
= −2y3+ C0y − C1. (1.78)
zz
Здесь C
классу уравнений (1.72) и после умножения на y
виде:
(Постоянная C
— постоянная интегрирования. Уравнение (1.78) относится к
1
2
= −y4+ C0y2− C1y + C2. (1.79)
y
z
в (1.79) переобозначена.) Пусть α, β, γ и δ — корни урав-
1
может быть записано в
z
нения четвертого порядка (δ γ β α):
4
y
− C0y2+ C1y − C2=0. (1.80)
34 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Тогда, используя новую переменную q(z) и параметр m
2
+ α (β −δ)
, (1.81)
y(z)=
β (δ −α) q (z)
(δ − α) q (z)2+ β −δ
(β −γ)(α −δ)
m
2
=
(α − γ)(β −δ)
, (1.82)
уравнение (1.79) можно представить в виде [87]
dq
(1 − q2)(1− m2q2)
1
=
(β −δ)(α − γ)(z −z0). (1.83)
2
Выражение слева является эллиптическим интегралом первого рода, и
поэтому для q(z) получаем решение
1
(β −δ)(α − γ)(z − z0),m. (1.84)
2
При C
q(z)=sn
=0,C0= k2, C2=0корни уравнения (1.80) имеют вид:
1
α ≡−δ = k и β = γ =0, тогда из (1.81) получаем
y(z)=−
2sh
2
1
2
k
kz + ϕ
+1. (1.85)
0
Используя известные тождества для гиперболических функций
2
(kz) − sh2(kz)=1,
ch
2
ch
(kz)+sh2(kz)=ch(2kz),
(1.86)
из (1.85) находим решение модифицированного уравнения Кортевега –
де Вриза в форме односолитонного решения
3
t + χ0). (1.87)
Здесь χ
u(x, t)=±k sh(kx − k
– произвольная постоянная. Модифицированное уравнение
0
Кортевега – де Вриза, как и обычное уравнение Кортевега – де Вриза, имеет
также солитонные решения и тоже может быть решено методом обратной
задачи рассеяния [1, 78].
1.5. ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ ВОЛН 35
1.5. Фазовая и групповая скорости волн
Выше мы уже неоднократно говорили о скорости волны. Однако скорость, по очень тонкому замечанию Л.И.Мандельштама, это «понятие, возникшее при описании движения частицы». Когда говорится о скорости волны, то перемещения частиц в ней, как правило, нет, а если и есть, как,
например, на воде, то оно происходит по иным законам, чем движение самой поверхности воды. Однако, о скорости волны часто говорят, имея в виду
перемещение максимума (или минимума) при распространении волны.
Рассмотрим стандартное волновое уравнение
u
= c2uxx. (1.88)
tt
Введем новую функцию v(x, t) в соответствие с формулой
= cux. (1.89)
v
t
Тогда принимая во внимание (1.88), получаем
u
= cvx. (1.90)
t
Складывая и вычитая правые и левые части уравнений (1.89) и (1.90),
получаем систему уравнений:
1
− cfx=0,f=
f
t
(u + v); (1.91)
2
g
+ cgx=0,g=
t
1
(u − v) . (1.92)
2
Система уравнений (1.91) и (1.92) показывает, что исходное волновое
уравнение (1.88) может быть представлено в виде эквивалентной системы уравнений (1.91) и (1.92). Поэтому при анализе волновых движений
уравнения (1.91) и (1.92) часто рассматриваются раздельно. Именно это
обстоятельство использовано в п. 1.1 и в п. 1.3 при выводе одноволновых приближений, описываемых уравнениями Кортевега – де Вриза. Из системы уравнений (1.91), (1.92) находится решение задачи Коши исходного
волнового уравнения (1.88), впервые полученное Даламбером. Это решение
представляется в виде суммы двух функций
u(x, t)=f(x − ct)+g(x + ct). (1.93)
36 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Вид функций f и g определяется начальными условиями
u(x, t =0)=ϕ(x),u
(x, t =0)=ψ(x). (1.94)
t
Рассмотрим решение волнового уравнения (1.88) при начальных условиях
u (x, t =0)=a cos (kx) ,u
(x, t =0)=aω sin (kx) ,
t
где a,k и ω – постоянные. Оно выражается зависимостью:
u (x, t)=a cos (kx − ωt) , (1.95)
которая представляет собой монохроматическую волну, бегущую направо
со скоростью
ω
x
.
=
c =
t
k
Эта скорость называется фазовой скоростью волны,посколькуонахарактеризует скорость перемещения максимума одной волны (фазы).
Однако на практике реализовать распространение монохроматической
волны затруднительно и поэтому обычно имеют дело с группой (пакетом)
волн. В этом случае возникает естественный вопрос об определении скорости волн при распространении волнового пакета.
В качестве примера рассмотрим распространение двух волн, которые
являются решением волнового уравнения (1.88) [11]
u
(x, t)=a cos (kx −ωt) , (1.96)
1
(x, t)=a cos [(k +Δk) x − (ω +Δω) t] . (1.97)
u
2
Волновые числа и частоты этих двух волн отличаются соответственно
на небольшие величины Δk и Δω. Поскольку каждая из этих волн удовле-
творяет волновому уравнению (1.88), то в силу линейности уравнения ему
будет удовлетворять и их сумма [11]
=2a cos
u (x, t)=u
1
(xΔk − tΔω)cosk +
2
(x, t)+u2(x, t)=
1
Δk
x −ω +
2
t
Δω
2
Из последней формулы видно, что суммарная амплитуда волн
A(x, t)=2a cos
1
(xΔk − tΔω)
2
(1.98)
.
(1.99)
1.5. ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ ВОЛН 37
с течением времени меняется. Суммарная картина, которая получается при
сложении двух волн представлена на рис. 1.4.
Скорость распространения волн в этом случае может быть вычислена
как скорость распространения максимума суммарной амплитуды волн
Δω
x
=
=
V
g
t
Δk
.
Когда мы имеем дело с волновым пакетом из нескольких волн, то
групповая скорость равна производной от частоты по волновому вектору k
dω
V
g
Рис. 1.4. Распространение волнового «пакета» из двух волн, волновые числа которых
отличаются на величину
k.
= lim
=
dk
Δk→0
Δω
Δk
.
Решением волнового уравнения (1.88) является также зависимость от
x и t ввиде
u = ae
i(kx+ωt)
, (1.100)
где i — мнимая единица, ω — частота, k — волновое число, a —амплитуда. Для линейных уравнений множитель a сокращается и, вообще говоря,
может быть выбран произвольным.
Зависимость между ω и k называется дисперсионным соотношением
и ее задание позволяет восстановить уравнение, которым описывается волновой процесс.
Диспергирующие одномерные системы ограничиваются случаями, для
которых ω = ω(k) вещественная и ω
kk
=0.
Подставляя (1.100) в уравнение (1.88), находим
ω = ±ck.
38 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Откуда следует, что для волн, описываемых уравнением (1.88), фазовая
скорость
ω
= ±c
=
V
p
k
и групповая скорость
dω
V
g
= ±c
=
dk
совпадают. Никакой дисперсии (зависимости скорости волны от ее длины)
в данном случае нет.
Рассмотрим теперь уравнение
U
t
+ U
=0, (1.101)
xxx
являющееся линейной частью уравнения Кортевега – де Вриза, и найдем
зависимость ω (k). Подставляя (1.100) в (1.101), получаем
3
ω = k
.
Фазовая скорость для волны в этом случае зависит от волнового числа
ω
V
=
p
2
= k
.
k
Групповая скорость для волнового пакета, описываемого уравнением
(1.101), дается формулой
dω
=
V
g
dk
=3k
2
.
Мы получили, что групповая скорость волны, описываемая уравнением
(1.101), в три раза больше, чем фазовая скорость волнового пакета. Видно,
что в дисперсионной среде фазовая и групповая скорости волн не совпадают. Если в начальный момент времени волновой пакет был локализован,
то с течением времени он будет расплываться (диспергировать). Поэтому
выражение с третьей производной в уравнении Кортевега – де Вриза называют дисперсионным. Это слагаемое приводит к расплыванию волны. Однако мы знаем, что уравнение Кортевега – де Вриза имеет решения в виде
уединенной волны, переносимой с постоянной скоростью и без каких-либо
изменений. Тем не менее, противоречий со сказанным выше об уединенной
волне нет, поскольку в уравнении Кортевега – де Вриза, в отличие от его
линейного аналога (1.101), есть еще нелинейное слагаемое uu
, которое
x
«уравновешивает» влияние дисперсии.
1.6. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 39
1.6. Нелинейное уравнение Шредингера для
огибающей волнового пакета
Выше мы говорили, что на практике волны, как правило, распространяются группами. Подобные группы волн на воде люди могли наблюдать
с незапамятных времен. На вопрос о том, почему для волн на воде так
типичны «стаи» волн, удалось ответить Т. Бенджамену и Дж. Фейеру только в 1967 году. Путем теоретических расчетов они показали, что простая
периодическая волна на глубокой воде неустойчива (теперь это явление называется неустойчивостью Бенджамена – Фейера) и поэтому волны на воде
из-за неустойчивости разбиваются на группы. Уравнение, с помощью которого описывается распространение групп волн на воде, было получено
В.Е. Захаровым в 1968 году.
Естественно, что распространение волнового пакета в различных средах может описываться многими нелинейными уравнениями в частных производных, однако, здесь для простоты мы предположим, что распространение его описывается модифицированным уравнением Кортевега – де Вриза
(мКдВ) [78]
+ u2ux+ u
u
t
Предположим также, что x и t в (1.102) обычные пространственная и
временная переменные для несущей волны. Можно ввести набор «медленных» временной и пространственной переменных, в которых описывается
движение огибающей волнового пакета и рассматривать их как независимые переменные. При этом имеем
=0. (1.102)
xxx
= x, X1= εx, T0= t, T1= εt, T2= ε2t. (1.103)
X
0
Здесь ε – малый параметр, который соответствует характеристикам
(длине и времени) огибающей волнового пакета.
Многие уравнения, описывающие нелинейные волны, имеют решения
в виде гармонических волновых пакетов
u = a exp {i [kx −ω(k)t]}
в предположении, что их амплитуда является малой. Предположим, что
основное состояние системы описывается линейной гармоникой, хотя малой по амплитуде, но не пренебрежимо малой из-за эффекта нелинейности.
В силу (1.103) мы рассматриваем случай, когда огибающая волны медленно меняется, как по пространственной, так и по временн´ой переменной, по
сравнению с несущей волной.
40 ГЛАВА 1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Решение уравнения (1.102) будем искать в виде суммы нескольких волн
и u2в соответствии с методом многих масштабов [1, 78]
u
0,u1
u = ε(u
+ εu1+ ε2u2+ ...). (1.104)
0
Операторы дифференцирования по x и t при этом заменяются на следующие:
∂
∂t
→
∂
∂T
∂
+ ε
∂T
0
1
+ ε
∂
2
,
∂T
2
(1.105)
→
∂
∂X
∂
+ ε
0
∂X
.
1
∂
∂x
В соответствии с (1.104) имеем
u(x, t, ε)=u(T
0,T1,T2,X0,X1
) . (1.106)
Подставляя (1.104), (1.105) в (1.102) и учитывая (1.106), после приравнивания выражений при одинаковых степенях ε нулю, получаем цепочку
уравнений
3
∂
u
0
0
+
∂u
∂T
2
0
0
=0, (1.107)
3
∂X
0
3
∂
∂X1∂X
+3
u
0
2
0
3
∂
u
0
∂X0∂X
=0, (1.108)
∂
+3
2
∂X
1
0
1
∂u
∂X
+3
0
0
0
3
2
u
1
∂X
=0.
1
∂u
∂T
∂u
∂T
3
∂
∂u
∂T
∂u
2
+
∂T
0
∂u
1
1
0
+
∂T
2
u
1
0
+
1
+
∂X
3
∂
∂X
+
3
0
u
2
+ u
3
0
(1.109)
Решением уравнения (1.107) является функция
u
= a(X1,T1,T2)eiθ+ a∗(X1,T1,T2)e
0
−iθ
, (1.110)
где
θ = kX
∗
— комплексно-сопряженное от a.
a
Учитывая (1.110), из (1.108) получаем
∂u
∂T
3
∂
u
1
+
∂X
0
1
3
0
= −
+ ωT0,ω= k3, (1.111)
0
∂a
∂T
− 3k
1
2
∂a
∂X
−iθ
+.. (1.112)
e
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]