Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
182 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 60
¯
¯
−3 6 6 6
¯
¯
¯
3 −4 −6 −6
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
3 −1 3
−1 0 0
,
B =
0 0 −2
¯
¯
¯
3 −6 −3 −6
¯
¯
¯
−6 12 12 14
¯
¯
1 −9 9 −3 −4
¯
¯
¯
2 −21 18 −6 −8
¯
¯
¯
1 −9 12 −3 −4
¯
¯
¯
2 −18 18 −7 −8
¯
¯
¯
−1 9 −9 3 2
−2 0 2
3 1 1
2 −1 1
AB
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 2 2
4 3 −2
.
A · A−1= E
, найти
3 4 −1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
1 −2 0
−1 4 −2
−2 −2 2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
2 1
−2 3
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
x
2
x
3
=
·
−5
9
2
2 −1
−3 1
.
=
21 −10
.
−9 2
−8 0 2 0 3 2
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−9 0 3 0 3 0
−5 0 3 0 1 −4
−7 0 3 0 2 −2
.
−10 0 2 0 4 4
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 183
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
19 1 3 −1 3
19 1 3 −1 3
10 1 −1 2 2
11 3 1 1 −1
76 3 5 2 16
9.
Найти общее решение системы уравнений
−17 −5 3 −4 53
7 3 1 2 −19
−5 −1 2 −1 17
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−3 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
x
x
x
x
0
0
=
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
−7
0
−14
.
0 8
0 −1 −3
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
4 4 2
4 −2 −2
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {3; 5; −5}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−3; β; −2}−→c = {2; −5; −3}
A(−1; −2; 0),B(−2; −3; 1),C(3; 2; −1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(−3; −3; 2),B(−3; 3; 1),C(1; 3; 2),D(2; 3; 1)
| −2−→AB − 2
−−→
CD |
ABC
, á)
(−2−→AB, −2
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−2−→AB, −2
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
184 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {−2; 0; −1}
,~b = {4; 0; −5},~c = {−3; −2; 5}
образуют базис
è найти êîîðдинаты вектора~d = {−30; −8; 46}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~
b = {−5; −5; 3}è~c = {2; −5; 1}
(~x,~b) = 10è(~x,~c) = −4
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −3~a + 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−4x2+ 0y2+ 0z2− 10xy + 6xz − 4yz
Привести квадратичную форму
è известны
.
, åñëè известны ñêалярные произведения
| ~a |= 5,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.1
2x2− y2+ 2z2+ 8xy − 4xz + 16yz
относительно этого базиса.
~a = {−1; −4; −4}
(2~u − 1~v)(−4~u + 1~v)
.
,
(~x,~a) = 2
, åñëè
~u = 1~a + 2~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
4 0 2
−1 −3 −1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−1 4 −1
,
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 1, β = −3, ~a = {−2; −3; −2},~b = {−1; −3; 3}
22.
Определить произведение êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
5 −3
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
−6 0
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
6 −1
−3 0
è
B =
0 −1
перестановочно?
t −4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
3x2− 24x + 98
íà простейшие.
x4− 49x
25.
Ðешить квадратное уравнение
2
z2− (1 − 2i)z + 2 + 14i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−2 + 4iè1 + 3i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 185
Вариант A - 61
¯
¯
−2 −2 −4 −6
¯
¯
¯
−4 −6 −8 −12
3 −2
¯
¯
¯
−2 −2 −2 −6
¯
¯
¯
−4 −4 −8 −10
¯
¯
−3 −2 9 −6 3
¯
¯
¯
−9 −4 27 −18 9
¯
¯
¯
−9 −6 30 −18 9
¯
¯
¯
3 2 −9 4 −3
¯
¯
¯
3 2 −9 6 −2
AB
.
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
−2 1
A =
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
3 4
B =
,
−1 0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A · A−1= E
, найти
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−2 2 0
0 0 −1
.
−1 3 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
2 −2 4
4 2 1
−2 2 3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−3 3
−1 2
·
·
x11x
x21x
x
1
x
2
x
3
12
22
=
·
12
5
−5
−4 −3
−3 2
.
=
48 36
.
22 25
3 0 −1 −2 0 −3
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−3 0 1 2 0 3
4 0 2 −1 0 −9
3 0 −1 −2 0 −3
.
17 0 1 −8 0 −27
186 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
20 0 3 1 3
16 0 3 −1 3
−4 0 −1 1 −1
14 0 3 1 1
82 0 16 2 10
9.
Найти общее решение системы уравнений
39 5 0 8 100
0 1 3 1 41
13 2 1 3 47
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−7 8
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
25
2
73
.
8 5
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−3 3 3
1 2 −1
1 −2 −3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {3; −5; 2}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−4; β; −5}−→c = {−2; 4; −1}
A(2; −3; 1),B(−3; −3; 1),C(−3; −2; 1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB − 4
A(−1; −2; 1),B(−2; −1; 1),C(−1; −1; 1),D(3; 2; 3)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, −4
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, −4
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 187
~a = {2; −5; 1}
,~b = {0; −2; −2},~c = {−5; 0; −1}
образуют базис
è найти êîîðдинаты вектора~d = {15; 0; 3}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {4; 0; 5}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −3~a − 3~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 4,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.9
−3x2− 3y2− 2z2+ 4xy + 2xz + 0yz
x2+ 2y2+ 3z2+ 8xy + 16xz + 12yz
относительно этого базиса.
~a = {5; 3; −4}
(~x,~a) = 40,(~x,~b) = 30è(~x,~c) = −9
(−3~u + 3~v)(4~u + 1~v)
, åñëè
.
,~b = {5; 0; −2}
~u = −4~a + 3~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
1 −3 −2
1 −3 −3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
3 4 −3
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 1, β = −1, ~a = {−2; 3; −3},~b = {1; −3; 0}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 2x − 34 = 0
A =
, åñëè
−4 5
?
2 p
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−1 1
−2 6
è
B =
−2 1
перестановочно?
−2 t
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
−3x2− x − 6
íà простейшие.
x4+ 9x
25.
Ðешить квадратное уравнение
2
z2− (9 − 5i)z + 20 − 25i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−1 + 4iè5 − 2i
.
188 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 62
¯
¯
2 −3 −3 −2
¯
¯
¯
6 −12 −9 −6
−3 3
¯
¯
¯
−4 6 3 4
¯
¯
¯
−4 6 6 6
¯
¯
−3 −2 −3 −6 4
¯
¯
¯
−6 −3 −6 −12 8
¯
¯
¯
3 2 0 6 −4
¯
¯
¯
−3 −2 −3 −8 4
¯
¯
¯
−9 −6 −9 −18 10
1 1
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−2 2 0
,
B =
−2 1 2
AB
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−1 1
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 2 4
0 0 −2
.
A · A−1= E
, найти
−1 −3 0
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−2 −3 4
2 3 −1
1 2 1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
1 −3
2 3
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
x
2
x
3
·
=
−2 −4
−3 −2
5
−2
0
.
=
24 16
.
12 32
5 3 1 0 −1 4
7.
Вычислить ðàíã матрицы
14 3 3 0 2 9
10 2 2 0 2 8
1 3 −1 0 1 14
.
65 14 16 0 3 19
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 189
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
3 3 3 3 0
0 2 3 3 0
8 2 −1 −1 0
1 2 2 3 0
4 17 22 25 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
1 3 −1 1 −29
2 2 2 2 −10
1 −1 3 1 19
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−5 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
=
0
0
0
0
0
.
−6
−4
2
.
.
0 7
2 3 −1
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
1 −1 2
−2 −1 −3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−2; 4; 3}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {1; β; 4}−→c = {−1; 0; 2}
A(2; 1; 2),B(−2; −3; 2),C(−3; 2; −2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB − 2
A(1; −1; 1),B(−3; −2; 1),C(1; 1; 3),D(3; −2; −1)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, −2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, −2
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
190 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {−1; −5; 2}
,~b = {0; 0; −2},~c = {2; −5; −3}
образуют базис
è найти êîîðдинаты вектора~d = {−8; 20; 18}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−3; −5; −3}
(~x,~c) = −25
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 4~a − 1~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−3x2+ 4y2+ 2z2+ 10xy − 6xz + 0yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 4,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.2
−2x2− y2− z2− 24xy − 8xz − 8yz
относительно этого базиса.
~a = {1; −2; −3}
(~x,~a) = −26,(~x,~b) = 3
(4~u + 2~v)(−4~u − 4~v)
.
,~b = {1; −1; 3}
, åñëè
~u = 2~a + 4~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
2 2 −1
−3 −3 2
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−3 4 3
è
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 1, β = 2, ~a = {2; 1; 1},~b = {−3; 3; 2}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 3x − 25 = 0
A =
, åñëè
p 3
?
5 −2
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
6 1
6 −4
è
B =
t 3
перестановочно?
18 −4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
4x2− 8x + 9
íà простейшие.
x4− 7x
25.
3
Ðешить квадратное уравнение
z2− (−8 + i)z + 22 − 4i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−2 + 5iè−1 − 3i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 191
Вариант A - 63
¯
¯
1 −4 −1 6
¯
¯
¯
−2 6 2 −12
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
3 −12 −4 18
¯
¯
¯
2 −8 −2 10
¯
¯
−1 −6 −3 6 −3
¯
¯
¯
1 8 3 −6 3
¯
¯
¯
−3 −18 −6 18 −9
¯
¯
¯
1 6 3 −9 3
¯
¯
¯
−3 −18 −9 18 −12
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A =
2 4
,
3 1
A · A−1= E
B =
−3 4
−1 1
, найти
.
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 2 2
2 −1 −2
.
3 3 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−1 1 −1
−3 1 −2
−2 −1 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
2 −3
1 −1
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
x
2
x
3
·
=
14
1 3
3 3
6
7
.
=
38 36
14 12
.
3 −2 0 3 0 7
7.
Вычислить ðàíã матрицы
15 3 0 2 0 9
−9 −1 0 −2 0 −7
0 −2 0 2 0 4
.
−42 −5 0 −9 0 −32
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]