Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
122 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 40
¯
¯
−1 6 −6 −2
¯
¯
¯
−1 8 −6 −2
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
4 −1
B =
,
−2 1
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
−3 18 −21 −6
¯
¯
¯
−3 18 −18 −7
¯
¯
2 −3 6 2 3
¯
¯
¯
4 −7 12 4 6
¯
¯
¯
4 −6 10 4 6
¯
¯
¯
6 −9 18 4 9
¯
¯
¯
4 −6 12 4 9
3 0
.
−1 2
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
A · A−1= E
, найти
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−1 −2 2
4 0 −1
.
4 0 −2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
3 4 −3
−1 1 4
3 1 −3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−3 4
4 3
·
·
x11x
x21x
x
1
x
2
x
3
12
22
=
·
14
−3
0 2
−4 2
.
8
=
−8 −8
.
−56 44
2 −1 −1 −1 0 1
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−10 −2 3 2 0 −15
0 −1 −1 1 0 −5
−2 −1 1 −1 0 −1
.
16 11 −1 −3 0 43
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 123
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
3 0 2 0 −1
4 0 1 0 2
3 0 2 0 −1
3 0 2 0 −1
29 0 16 0 −3
9.
Найти общее решение системы уравнений
14 5 3 5 159
6 1 −1 1 43
10 3 1 3 101
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−6 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
=
0
0
.
0
0
0
27
.
13
41
.
0 5
−1 −2 1
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
0 1 −3
3 4 −3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {1; 5; 2}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {1; β; 1}−→c = {−2; −4; −5}
A(−3; 3; 1),B(3; 1; 1),C(3; 3; 2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(2; −2; 3),B(−1; 3; 3),C(2; −3; −2),D(−3; −1; −1)
| −3−→AB − 3
−−→
CD |
ABC
, á)
(−3−→AB, −3
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−3−→AB, −3
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
124 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {1; 1; −3}
,~b = {3; −5; −1},~c = {−2; 3; 0}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {5; −12; 7}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {4; −4; −3}
(~x,~c) = −7
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 2~a − 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
5x2+ 6y2+ 6z2+ 10xy + 4xz + 6yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 2,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.2
−x2− 2y2+ z2− 12xy − 8xz + 12yz
относительно этого базиса.
~a = {0; 4; 1}
(~x,~a) = 17,(~x,~b) = 15
(4~u − 4~v)(−3~u − 2~v)
.
,~b = {5; 1; −4}
, åñëè
~u = −3~a − 3~b
ê êаноническîìó
è
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−3 0 −1
1 2 3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−2 −3 −1
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 2, β = 3, ~a = {2; −3; 1},~b = {0; 2; 0}
22.
Определить произведение êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
2 2
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
−5 −1
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
5 2
−4 1
è
B =
5 4
перестановочно?
t −3
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
−5x2+ 49x − 108
íà простейшие.
x3− 12x2+ 36x
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (6 − 2i)z + 8 + 26i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−3 + 3iè3 − 3i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 125
¯
¯
−1 3 3 −2
¯
¯
¯
1 −6 −3 2
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
2 −6 −9 4
¯
¯
¯
2 −6 −6 2
¯
¯
2 −9 3 2 −1
¯
¯
¯
4 −15 6 4 −2
¯
¯
¯
−4 18 −3 −4 2
¯
¯
¯
6 −27 9 5 −3
¯
¯
¯
−4 18 −6 −4 1
A =
0 −1 −1
−2 −1 2
−1 −2
B =
−2 2
,
1 1
Вариант A - 41
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−1 2 −1
0 4 −3
.
A · A−1= E
, найти
2 −1 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
0 −1 2
0 2 2
−2 −2 −2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
0 2
·
4 1
x11x
x21x
x
1
·
x
2
x
3
12
·
22
=
1 3
−4 3
−9
0
−8
.
=
−26 12
11 18
.
−8 3 3 1 1 6
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−7 −2 1 −2 2 −5
2 3 −1 −2 −2 20
−5 −1 2 2 2 −13
.
−48 −10 14 4 16 −76
126 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−3 3 0 2 −1
−3 2 0 1 −1
3 2 0 3 1
0 1 0 3 −1
−6 15 0 17 −4
9.
Найти общее решение системы уравнений
−19 −3 5 0 −218
14 3 −1 1 117
9 3 3 2 16
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
7 0
.
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
13
28
−43
.
0 −6
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
2 0 1
−3 4 0
0 2 2
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {0; −5; 1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−3; β; 1}−→c = {−1; 1; −3}
A(−2; 3; 0),B(3; −3; 1),C(−1; −2; 1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB − 2
A(3; 2; −2),B(−2; 3; 1),C(−3; 3; 2),D(3; 2; −1)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, −2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, −2
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 127
~a = {0; 2; 2}
,~b = {−1; −3; 1},~c = {1; 2; 1}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−4; −18; −14}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−3; −2; 3}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 3~a − 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
5x2+ 5y2+ 6z2+ 4xy + 8xz + 4yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 2,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.3
.
x2+ 2y2− 2z2+ 8xy + 8xz − 8yz
относительно этого базиса.
~a = {−4; −1; 5}
(~x,~a) = 22,(~x,~b) = 35è(~x,~c) = 9
(4~u − 2~v)(4~u + 1~v)
, åñëè
~u = 1~a + 1~b
ê êаноническîìó
,~b = {−4; 5; 4}
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−3 4 2
0 2 −3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
3 1 1
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 1, β = 1, ~a = {3; −3; −3},~b = {−3; 2; 3}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 11x + 55 = 0
A =
, åñëè
5 −5
?
5 p
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
1 1
−4 6
è
B =
4 −1
перестановочно?
4 t
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
−2x2+ 27x + 18
íà простейшие.
x3− 216
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (0 + i)z + 8 + 14i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
2 + 5iè−2 − 3i
.
128 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 42
¯
¯
3 2 6 −9
¯
¯
¯
3 4 6 −9
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
−6 −4 −14 18
¯
¯
¯
9 6 18 −24
¯
¯
3 9 −9 6 4
¯
¯
¯
3 12 −9 6 4
¯
¯
¯
9 27 −24 18 12
¯
¯
¯
−6 −18 18 −15 −8
¯
¯
¯
−3 −9 9 −6 −6
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A =
1 0
,
4 4
A · A−1= E
B =
2 0
−2 4
, найти
.
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−3 −1 0
−2 1 1
.
0 3 2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−2 3 4
4 2 −3
2 −1 2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−1 0
−2 1
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
=
·
−3 3
x
2
x
3
−22
13
0
0 1
.
=
−9 9
−27 28
.
3 −2 3 −2 0 6
7.
Вычислить ðàíã матрицы
0 −2 −1 3 0 −1
−18 2 2 2 0 −16
6 2 −2 −2 0 4
.
69 −4 −18 −1 0 51
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 129
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−2 −1 1 1 0
1 1 2 1 0
6 3 2 2 0
0 2 3 −1 0
6 2 4 6 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
11 4 4 3 11
8 3 3 2 4
3 1 1 1 7
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
5 −6
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
x
2
=
x
3
x
4
x
5
=
4
10
14
0
0
.
0
0
0
.
.
−6 0
−1 −1 4
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−2 −2 2
2 3 −2
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−2; 4; −3}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {3; β; 5}−→c = {−3; 0; −4}
A(1; 2; 1),B(−2; −2; 3),C(−2; 2; 3)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB + 2
A(1; −2; −3),B(1; 3; 2),C(−3; −3; 3),D(2; 1; −2)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, 2
ABC D
−−→
CD]
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
130 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {−1; 5; −1}
,~b = {−4; 4; 1},~c = {−3; −5; 2}
образуют базис
è найти êîîðдинаты вектора~d = {19; 17; −11}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {1; −4; 3}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −4~a + 3~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 4,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.9
−2x2− 3y2− 5z2− 4xy − 2xz + 0yz
2x2+ y2+ 2z2+ 16xy + 4xz + 24yz
относительно этого базиса.
~a = {−4; 0; 3}
(~x,~a) = 20,(~x,~b) = 16è(~x,~c) = −2
(−4~u − 2~v)(1~u − 1~v)
.
,~b = {−1; 2; 2}
, åñëè
~u = 4~a − 3~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
1 1 1
−1 3 0
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
2 0 −2
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 1, β = 1, ~a = {3; 2; 1},~b = {0; −1; −3}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 8x + 10 = 0
A =
, åñëè
p −1
?
−6 4
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
3 −1
−2 0
è
B =
t 5
перестановочно?
10 6
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
4x2+ 29x − 30
íà простейшие.
x3+ 216
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (13 − 2i)z + 42 − 14i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−1 − iè1 + 2i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 131
¯
¯
2 6 9 −2
¯
¯
¯
2 9 9 −2
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
3 0 3
0 2 2
B =
,
¯
¯
¯
6 18 30 −6
¯
¯
¯
6 18 27 −7
¯
¯
−1 −2 6 6 6
¯
¯
¯
2 2 −12 −12 −12
¯
¯
¯
1 2 −9 −6 −6
¯
¯
¯
1 2 −6 −3 −6
¯
¯
¯
−1 −2 6 6 8
1 1
3 −1
−1 3
Вариант A - 43
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
4 1 −2
4 −1 −2
.
A · A−1= E
, найти
2 −3 −2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−3 −1 3
−2 −2 3
0 3 −2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
3 1
·
1 1
x11x
x21x
x
1
·
x
2
x
3
12
·
22
2
=
−1
5
−2 −2
−2 2
.
=
−14 2
.
−6 −6
7 −1 −2 0 0 4
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−8 2 1 0 0 −5
−7 3 −1 0 0 −5
2 −2 2 0 0 2
.
6 −2 0 0 0 4
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]