Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
12 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
1 −1 0 −1 1
−3 1 0 3 −1
−7 3 0 1 3
1 1 0 −1 −1
7 −1 0 −1 −5
9.
Найти общее решение системы уравнений
9 7 3 −3 73
5 −1 1 3 5
12 2 3 3 44
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
1 0
.
x
x
x
x
x
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
16
9
5
.
0 4
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
0 3 0
−2 4 1
4 −3 2
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {4; −4; −1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−1; β; −4}−→c = {1; −2; 0}
A(1; 3; −3),B(2; −2; −1),C(2;−3; −1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(3; −1; −3),B(1; −1; 1),C(3;−3; 3),D(3; 3; −1)
| −2−→AB − 4
−−→
CD |
ABC
, á)
(−2−→AB, −4
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−2−→AB, −4
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 13
~a = {−4; 0; −5}
,~b = {−5; 0; 0},~c = {4; −2; −1}
образуют базис
è найти êîîðдинаты вектора~d = {−16; −8; −19}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~
b = {−4; 0; −5}è~c = {−1; 0; 5}
(~x,~b) = 20è(~x,~c) = 5
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −4~a − 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−2x2− 2y2− 5z2− 2xy + 4xz + 2yz
Привести квадратичную форму
è известны
.
, åñëè известны ñêалярные произведения
| ~a |= 2,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.9
.
x2− 2y2− 2z2+ 8xy − 8xz − 8y z
относительно этого базиса.
~a = {−5; −3; −4}
(−3~u − 1~v)(2~u − 3~v)
, åñëè
ê êаноническîìó
,
(~x,~a) = 16
~u = −2~a − 3~b
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−1 4 0
4 −2 −1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−2 −3 2
,
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 3, β = 3, ~a = {2; 2;2},~b = {−1; −3; 1}
22.
Определить сумму êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
2 3
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
6 2
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−1 3
5 1
è
B =
−2 t
перестановочно?
20 6
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
10x2− 4x + 36
íà простейшие.
x4− 81
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (11 + 6i)z + 25 + 31i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−2 + 3iè−5 − 2i
.
14 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 4
¯
¯
−3 2 −6 −4
¯
¯
¯
−6 2 −12 −8
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−3 4
B =
,
2 −2
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
3 −2 4 4
¯
¯
¯
9 −6 18 10
¯
¯
1 −2 −4 9 1
¯
¯
¯
−1 4 4 −9 −1
¯
¯
¯
−3 6 14 −27 −3
¯
¯
¯
1 −2 −4 12 1
¯
¯
¯
1 −2 −4 9 2
−3 0
.
−1 2
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A · A−1= E
, найти
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
1 1 3
0 1 4
.
−2 0 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
1 −1 −3
2 1 −2
−2 −3 4
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
4 1
·
2 3
x11x
x21x
x
1
·
=
−2 3
−3 1
·
x
2
x
3
12
22
−15
−8
12
=
.
−52 22
−16 −4
.
0 −1 0 0 1 1
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−6 −1 0 0 −1 3
6 3 0 0 −1 −5
9 1 0 0 2 −4
.
−12 −6 0 0 2 10
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 15
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−3 −1 0 1 0
−3 −1 0 1 0
3 3 0 3 0
1 1 0 1 0
−11 1 0 13 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
20 −2 −2 7 −2
−8 2 2 −1 2
−2 2 2 2 2
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
0 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
x
x
x
x
0
0
=
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
2
−10
34
.
0 5
4 2 −2
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
4 3 3
3 −3 2
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {4; −5; 5}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {1; β; 3}−→c = {3; 5; 4}
A(−3; −2; 0),B(3; 2; −1),C(−2;2; 0)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 2−→AB + 2
A(2; −2; −2),B(3; 1; −2),C(−2;−2; −1),D(3; 0; 1)
−−→
CD |
, á)
(2−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[2−→AB, 2
ABC D
−−→
CD]
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
16 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {−5; −1; −5}
,~b = {1; 1; −4},~c = {5; −1; −4}
образуют
базис è найти êîîðдинаты вектора~d = {52; 2; −3}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−4; −4; 1}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −4~a − 3~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
3x2+ 5y2+ 7z2+ 6xy + 4xz + 4yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.7
.
−2x2− 2y2+ 2z2− 8xy − 8xz + 24yz
относительно этого базиса.
~a = {3; −3; 3}
(~x,~a) = 21,(~x,~b) = 20è(~x,~c) = 5
(−3~u + 3~v)(3~u − 1~v)
, åñëè
,~b = {4; 4; 4}
~u = 2~a − 1~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
4 1 1
4 −3 1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−2 2 3
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 3, β = 2, ~a = {−3; −3;2},~b = {0; 0; −3}
22.
Определить произведение êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
−2 −4
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
6 −4
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
3 −3
−1 −2
è
B =
−1 3
перестановочно?
t 4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
x2− 9x + 50
íà простейшие.
x4− 25x
25.
Ðешить квадратное уравнение
2
z2+ 4iz − 4 + 2i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
5 + 3iè3 − i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 17
¯
¯
−3 9 4 1
¯
¯
¯
−3 6 4 1
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
9 −27 −14 −3
¯
¯
¯
−9 27 12 4
¯
¯
1 3 −4 −2 1
¯
¯
¯
−2 −5 8 4 −2
¯
¯
¯
−3 −9 14 6 −3
¯
¯
¯
3 9 −12 −7 3
¯
¯
¯
3 9 −12 −6 4
A =
−3 −1 1
−3 2 2
0 2
B =
2 −3
,
−3 −3
Вариант A - 5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 1 1
4 0 1
.
A · A−1= E
, найти
0 0 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
4 1 2
4 3 1
4 3 0
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−3 −1
−1 −3
·
·
x
x
x
1
=
2
3
x11x
x21x
12
22
−11
−19
−21
·
.
1 −2
−1 −1
=
−2 25
−14 19
.
−5 −2 1 1 2 2
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−21 −1 −2 −2 3 −1
13 2 3 −1 −2 −10
−1 2 −1 2 3 −1
.
−100 −9 −11 0 20 20
18 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
0 0 2 3 1
−4 0 2 −1 1
−1 0 1 1 1
1 0 3 3 −1
−5 0 7 0 −2
9.
Найти общее решение системы уравнений
−8 −3 4 2 −81
1 −1 3 3 −12
9 2 −1 1 69
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
5 −3
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
x
x
x
x
0
0
=
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
13
5
−8
.
.
−3 −3
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
2 4 2
3 2 0
3 0 −1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−1; 4; 0}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−1; β; 2}−→c = {2; 0; 1}
A(2; 3; 2),B(−1; 3; 2),C(1;−2; 3)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(−1; −3; 3),B(3; 1; 1),C(3;2; −3),D(1; 2; −1)
| −2−→AB − 3
−−→
CD |
ABC
, á)
(−2−→AB, −3
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−2−→AB, −3
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 19
~a = {2; 3; −5}
,~b = {0; 2; 3},~c = {3; −3; 1}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−17; 10; −3}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
è
~c = {−1; −2; −3}
(~x,~c) = −12
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 1~a − 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
.
è известны
−3x2− 3y2− 5z2− 2xy + 6xz + 2yz
, åñëè известны ñêалярные произведения
| ~a |= 3,|~b |= 4,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.8
3x2+ 3y2− 2z2+ 12xy + 12xz − 16yz
относительно этого базиса.
~a = {−4; 2; −1}
(~x,~a) = −13,(~x,~b) = −18
(−1~u − 1~v)(−1~u + 2~v)
.
,~b = {5; −1; −5}
, åñëè
~u = −1~a − 2~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
2 −3 0
−3 3 3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−2 1 0
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 1, β = −1, ~a = {3; 1;−1},~b = {2; 0; 2}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 4x − 17 = 0
A =
, åñëè
5 4
?
3 p
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
0 −2
3 3
è
B =
1 2
перестановочно?
−3 t
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
4x2+ 5x + 72
íà простейшие.
x4+ 36x
25.
Ðешить квадратное уравнение
2
z2− (3 + 4i)z − 16 − 38i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−1 + 2iè−4 + i
.
20 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 6
¯
¯
2 −1 −3 9
¯
¯
¯
−2 2 3 −9
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
1 1 −2
1 −1 −1
,
B =
2 0 0
¯
¯
¯
−6 3 6 −27
¯
¯
¯
4 −2 −6 15
¯
¯
−1 2 6 −3 −4
¯
¯
¯
−3 7 18 −9 −12
¯
¯
¯
2 −4 −9 6 8
¯
¯
¯
−3 6 18 −12 −12
¯
¯
¯
−2 4 12 −6 −10
−2 −2 1
−1 2 0
2 1 3
AB
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−3 −1 0
−1 −2 2
.
A · A−1= E
, найти
0 −3 4
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
2 −2 −2
3 3 0
1 0 −2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
1 4
−1 4
·
·
x11x
x21x
x
1
x
2
x
3
12
22
=
·
12
−3
7
−4 3
0 1
.
=
−52 36
.
−44 28
−15 1 3 −1 2 −11
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−22 2 3 −2 3 −14
5 −2 3 3 1 2
−1 2 −2 −1 −1 −1
.
−74 11 5 −10 6 −51
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 21
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−1 1 0 −1 1
9 1 0 3 3
3 −1 0 3 3
10 1 0 2 −1
21 0 0 11 12
9.
Найти общее решение системы уравнений
0 1 −3 −1 −1
0 1 3 2 2
0 1 1 1 1
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
3 −6
.
x
x
x
x
x
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
1
.
0
3
−6 −6
1 3 −2
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
4 4 0
1 2 −1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−3; −5; −2}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
A(−2; 1; −1),B(0; −2; 1),C(−1; 3; −1)
,−→b = {1; β; −4}−→c = {4; 5; 3}
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(3; −3; 2),B(−3; −2; 2),C(2; −1; 3),D(3; 3; 3)
| −2−→AB − 4
−−→
CD |
ABC
, á)
(−2−→AB, −4
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−2−→AB, −4
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]