Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
152 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 50
¯
¯
3 −1 1 −3
¯
¯
¯
−6 1 −2 6
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
3 −1 0 −3
¯
¯
¯
−3 1 −1 6
¯
¯
2 2 2 1 −3
¯
¯
¯
−2 −3 −2 −1 3
¯
¯
¯
−6 −6 −5 −3 9
¯
¯
¯
6 6 6 2 −9
¯
¯
¯
−6 −6 −6 −3 6
A =
−2 −1 −1
3 0 0
2 −2
B =
3 3
,
.
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 2
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 2 2
3 −3 −1
.
A · A−1= E
, найти
1 0 −1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
0 4 1
0 1 −3
−2 −1 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−1 −3
−2 4
·
·
x11x
x21x
x
1
x
2
x
3
12
22
=
·
19
−5
−9
−3 0
−2 1
.
=
−25 5
.
70 −20
0 1 −2 0 0 −6
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−1 −1 3 0 0 8
−1 −1 3 0 0 8
−2 2 −2 0 0 −8
.
−5 10 −15 0 0 −50
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 153
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
15 1 3 2 2
6 −1 1 2 1
19 2 3 3 3
19 1 3 3 1
52 −2 9 11 4
9.
Найти общее решение системы уравнений
2 4 5 1 −14
6 2 −1 1 54
4 3 2 1 20
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−1 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
=
0
0
.
0
0
0
10
.
15
5
.
0 6
4 1 −3
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−2 3 1
3 0 0
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−1; −2; −5}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
A(1; −3; −3),B(0; −1; 1),C(−1; −1; −3)
,−→b = {0; β; −3}−→c = {1; 3; 4}
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 2−→AB − 2
A(−1; −3; 1),B(3; −3; 1),C(−2; −2; −3),D(−1; 0; −1)
−−→
CD |
, á)
(2−→AB, −2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[2−→AB, −2
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
154 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {0; 2; −4}
,~b = {4; −3; 2},~c = {4; 2; 4}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−16; 27; −26}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~
b = {−1; −4; −1}è~c = {−2; −5; −3}
(~x,~b) = −15è(~x,~c) = −19
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 2~a − 1~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
è известны
7x2+ 6y2+ 4z2+ 4xy + 8xz + 8yz
.
| ~a |= 3,|~b |= 5,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.5
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
3x2− y2− z2+ 36xy − 12xz − 8y z
относительно этого базиса.
~a = {−1; −4; 4}
(1~u + 3~v)(2~u − 2~v)
, åñëè
~u = −2~a + 2~b
ê êаноническîìó
,
(~x,~a) = −25
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
4 1 4
1 1 −3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
2 4 −2
,
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 1, β = −3, ~a = {1; −1; 1},~b = {2; 0; 1}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 4x − 23 = 0
A =
, åñëè
p 6
?
3 5
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
3 −2
1 −2
è
B =
t 2
перестановочно?
−1 6
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
−4x2+ 8x − 20
íà простейшие.
x3+ 8
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (1 + 4i)z − 15 + 9i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−4 − 4iè−1 + 4i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 155
¯
¯
1 −6 4 −2
¯
¯
¯
1 −4 4 −2
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
3 3 1
0 −1 −1
,
B =
0 −2 0
¯
¯
¯
−3 18 −14 6
¯
¯
¯
2 −12 8 −6
¯
¯
2 −9 2 2 −3
¯
¯
¯
−6 30 −6 −6 9
¯
¯
¯
2 −9 4 2 −3
¯
¯
¯
4 −18 4 2 −6
¯
¯
¯
−6 27 −6 −6 12
−2 1 0
3 3 1
0 −2 0
Вариант A - 51
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
3 2 0
−2 −1 −3
.
A · A−1= E
, найти
−2 −2 2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−1 2 4
3 1 −3
2 2 2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
4 −3
3 −2
·
·
x11x
x21x
x
1
x
2
x
3
12
22
=
·
−2
11
6
2 −3
−2 −1
.
=
12 10
.
8 8
−2 0 −1 1 2 −6
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−9 0 3 2 −1 8
−9 0 1 2 2 −1
−3 0 −1 2 2 −7
.
−14 0 −4 6 10 −28
156 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
9 −1 0 2 2
18 2 0 1 3
9 3 0 1 −1
12 1 0 1 2
−6 −5 0 1 2
9.
Найти общее решение системы уравнений
−20 −4 12 0 124
4 −1 3 3 19
−8 −1 3 −1 35
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
6 0
.
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−15
−7
−52
.
0 −7
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
3 3 4
4 0 2
−3 −3 4
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {1; 5; 1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−1; β; 3}−→c = {−2; 5; −1}
A(1; −1; −3),B(−3; −1; −3),C(2; 3; 0)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB + 2
A(−1; 2; 1),B(−3; 2; −3),C(−1; −2; 0),D(−3; −3; −2)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, 2
ABC D
−−→
CD]
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
.
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 157
~a = {1; 3; 2}
,~b = {−2; −2; −5},~c = {3; 0; 1}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {7; 1; 19}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
è
~c = {−1; −1; 0}
(~x,~c) = 3
17.
.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 4~a − 1~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−5x2− 5y2− 5z2+ 0xy − 6xz + 6yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 4,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.4
относительно этого базиса.
~a = {−4; 2; −5}
(~x,~a) = −9,(~x,~b) = 23
(3~u − 3~v)(3~u + 3~v)
, åñëè
.
3x2+ 2y2− z2+ 24xy + 24xz − 4yz
,~b = {−5; −4; 3}
~u = −2~a − 1~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
2 0 0
1 −3 −2
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
2 2 0
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 3, β = 3, ~a = {3; 2; 3},~b = {−1; 1; −3}
22.
Определить сумму êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
−5 −6
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
6 −1
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
1 −1
5 2
è
B =
3 t
перестановочно?
5 4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
3x2+ 28x + 16
íà простейшие.
x4− 256
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (4 − i)z + 6 − 2i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−5 + 2iè−1 − 5i
.
158 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 52
¯
¯
3 −1 −3 2
¯
¯
¯
−6 3 6 −4
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
−3 1 0 −2
¯
¯
¯
9 −3 −9 4
¯
¯
1 −3 −4 3 2
¯
¯
¯
2 −3 −8 6 4
¯
¯
¯
−3 9 14 −9 −6
¯
¯
¯
2 −6 −8 3 4
¯
¯
¯
−2 6 8 −6 −2
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A =
0 4
4 −2
,
B =
A · A−1= E
−3 2
2 0
, найти
.
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−1 0 −2
−2 −3 1
.
−3 −2 −3
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−2 −1 3
−2 2 −1
−2 −1 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
2 3
−3 0
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
x
2
x
3
·
=
−3 3
4
−1
8
3 −4
.
=
−9 7
.
0 12
−3 1 −2 0 0 0
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−3 −1 −1 0 0 3
5 3 1 0 0 −7
4 2 1 0 0 −5
.
19 13 3 0 0 −29
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 159
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−1 1 −1 0 0
10 2 2 0 0
8 1 2 0 0
12 3 2 0 0
56 13 10 0 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
−3 0 −3 0 54
8 3 −1 1 97
11 3 2 1 43
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
0 4
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
17
20
3
.
4 6
−1 3 2
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
1 4 4
0 0 0
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−1; −5; −1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
A(3; 1; −1),B(0; −1; 3),C(3; −1; 2)
,−→b = {−1; β; 0}−→c = {−3; −5; −4}
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB + 2
A(−3; 2; 2),B(0; −3; −3),C(−3; −2; −2),D(−3; −3; 3)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, 2
ABC D
−−→
CD]
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
.
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
160 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {3; 1; 5}
,~b = {3; −4; −5},~c = {−2; 0; 0}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−15; 5; −5}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {3; 0; 1}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −3~a − 1~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.4
6x2+ 7y2+ 2z2+ 6xy + 6xz + 4yz
3x2− y2+ z2+ 12xy − 8xz + 12yz
относительно этого базиса.
~a = {−4; 2; 2}
(~x,~a) = 4,(~x,~b) = −8è(~x,~c) = 9
(−3~u − 1~v)(−2~u − 2~v)
.
,~b = {2; −3; −1}
, åñëè
~u = −2~a + 4~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
0 4 −2
1 0 3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−2 −3 1
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 3, β = 3, ~a = {−3; −1; −3},~b = {−3; 2; 2}
22.
Определить произведение êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
−2 2
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
−3 −4
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
2 −2
−4 6
è
B =
1 −2
перестановочно?
t 4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
5x2− 16x − 216
íà простейшие.
x4− 36x
25.
Ðешить квадратное уравнение
2
z2+ z + 14 + 12i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−4 + 2iè5 + 4i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 161
¯
¯
−1 −6 −9 −9
¯
¯
¯
−1 −9 −9 −9
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
−3 −18 −30 −27
¯
¯
¯
2 12 18 15
¯
¯
−1 6 2 −6 4
¯
¯
¯
2 −14 −4 12 −8
¯
¯
¯
−1 6 1 −6 4
¯
¯
¯
1 −6 −2 3 −4
¯
¯
¯
1 −6 −2 6 −2
A =
3 −3 0
−1 −2 2
3 −3
B =
0 −2
,
−2 −3
Вариант A - 53
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
3 −2 0
−2 3 −1
.
A · A−1= E
, найти
0 −2 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−3 3 4
−2 4 −3
−1 1 0
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
1 −2
−2 −2
·
x
1
·
x
2
x
3
x11x
x21x
12
22
=
·
22
0
2
−2 1
−3 3
.
=
−11 7
.
−32 22
−3 1 1 0 −1 0
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−15 3 1 0 3 10
−17 2 3 0 2 2
5 −2 1 0 −2 −10
.
12 −4 4 0 −8 −28
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]