Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
102 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
3 1 1 3 0
0 3 2 −1 0
1 3 1 −1 0
−2 2 3 −1 0
11 18 8 1 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
14 5 7 8 104
2 1 3 2 2
6 2 2 3 51
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−5 0
x
x
x
x
x
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
1
2
3
4
5
=
=
15
4
34
0
0
.
0
0
0
.
.
0 0
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−1 −3 4
−1 0 2
2 0 2
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {3; −2; 1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {3; β; −3}−→c = {4; 2; 1}
A(1; −1; −3),B(3; 3; −3),C(2; −2; −1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB − 4
A(2; −1; 2),B(−2; −1; 1),C(3; −3; 2),D(−1; 1; −3)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, −4
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, −4
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 103
~a = {−1; −5; −3}
,~b = {0; −4; 5},~c = {−2; −2; 5}
образуют
базис è найти êîîðдинаты вектора~d = {7; 3; −23}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {2; 1; 4}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −3~a − 1~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
−5x2− 5y2− 4z2+ 0xy − 2xz + 8yz
| ~a |= 5,|~b |= 4,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.4
.
−x2+ y2+ z2− 8xy + 4xz + 8yz
относительно этого базиса.
~a = {5; −3; −4}
(~x,~a) = −26,(~x,~b) = 25è(~x,~c) = −7
(1~u − 2~v)(−1~u − 3~v)
, åñëè
,~b = {−5; 2; 2}
~u = −1~a + 2~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
4 3 4
−3 −3 1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−1 2 1
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 2, β = −3, ~a = {2; −1; 2},~b = {2; 2; 2}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2+ 7x − 14 = 0
A =
, åñëè
−5 6
?
4 p
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−3 −1
0 3
è
B =
5 2
перестановочно?
0 t
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
−2x2− 10x − 84
íà простейшие.
x3− 216
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (0 + 4i)z + 8 − 16i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
2 − 4iè5 + 4i
.
104 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 34
¯
¯
2 −4 2 −4
¯
¯
¯
2 −6 2 −4
−1 3
1 −1
¯
¯
¯
−6 12 −4 12
¯
¯
¯
−4 8 −4 6
¯
¯
−3 −1 −3 −3 1
¯
¯
¯
−6 −3 −6 −6 2
¯
¯
¯
6 2 9 6 −2
¯
¯
¯
−6 −2 −6 −7 2
¯
¯
¯
−9 −3 −9 −9 4
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−3 2 2
,
B =
2 3 1
.
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−2 −3
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−1 −1 0
4 3 0
.
A · A−1= E
, найти
3 2 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−3 0 1
−3 −2 −1
−1 −1 −3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
3 3
3 −1
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
x
2
x
3
=
·
−7
−5
−6
−1 3
−3 −3
.
=
−3 −63
.
−27 −39
5 −1 0 −1 2 2
7.
Вычислить ðàíã матрицы
4 3 0 1 −1 −9
−3 −1 0 3 2 −2
8 2 0 2 2 −10
.
2 −3 0 −13 −5 27
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 105
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−6 3 0 −1 0
−6 3 0 −1 0
8 1 0 3 0
10 −1 0 3 0
26 4 0 10 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
18 0 −9 0 0
3 2 2 −1 35
9 2 −1 −1 35
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
2 −4
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
=
0
0
0
0
0
13
10
9
.
.
.
−4 −4
3 1 1
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
1 3 0
−1 −2 3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−3; −5; −4}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
A(−1; 1; 2),B(1; −3; 3),C(−1; −2; −1)
,−→b = {4; β; −5}−→c = {1; −5; 1}
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 2−→AB − 3
A(2; 2; 0),B(0; −3; −2),C(−3; 3; 1),D(−3; 1; 2)
−−→
CD |
, á)
(2−→AB, −3
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[2−→AB, −3
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
106 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {5; −4; 1}
,~b = {2; −4; 4},~c = {−5; 2; 5}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−11; 18; −19}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
è
~c = {3; −3; 4}
(~x,~c) = 5
17.
.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 4~a − 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−4x2+ 1y2− 4z2− 2xy − 2xz − 2yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.3
x2+ y2− z2+ 4xy + 12xz − 4yz
относительно этого базиса.
~a = {−3; 3; −5}
(~x,~a) = −10,(~x,~b) = 1
(−2~u − 2~v)(−4~u + 1~v)
.
,~b = {−2; 3; −2}
è
, åñëè
~u = 1~a − 1~b
ê êаноническîìó âèäó
ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−3 1 2
−1 2 −2
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−2 4 0
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 2, β = 2, ~a = {−1; 3; −2},~b = {1; −2; −2}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 5x + 10 = 0
A =
, åñëè
p 2
?
−3 1
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
4 1
0 6
è
B =
t 2
перестановочно?
0 −4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
2x2+ 25x − 50
íà простейшие.
x3+ 125
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (5 + 2i)z + 18 − 30i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−2 + 2iè2 − 3i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 107
¯
¯
1 −4 −2 6
¯
¯
¯
−2 6 4 −12
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
2 0 0
−1 2 3
,
B =
−1 −1 3
¯
¯
¯
−1 4 3 −6
¯
¯
¯
3 −12 −6 15
¯
¯
2 9 2 3 −4
¯
¯
¯
−6 −24 −6 −9 12
¯
¯
¯
4 18 6 6 −8
¯
¯
¯
2 9 2 2 −4
¯
¯
¯
−2 −9 −2 −3 2
0 −1 −2
−1 2 0
1 0 −1
Вариант A - 35
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
1 4 −3
0 1 1
.
A · A−1= E
, найти
−1 1 −2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
3 2 −1
−1 3 −2
1 3 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−2 3
−2 0
·
·
x11x
x21x
x
1
=
·
x
2
x
3
12
22
−10
−10
−11
3 0
2 3
.
=
−30 −18
−18 0
.
−2 3 0 0 1 4
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−5 3 0 0 −2 1
0 −2 0 0 −2 −4
−1 3 0 0 2 5
.
−9 18 0 0 9 27
108 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
3 1 3 2 3
−1 1 2 −1 −1
2 −1 −1 −1 1
10 1 −1 −1 3
−7 3 10 5 1
9.
Найти общее решение системы уравнений
−11 9 1 3 63
−3 3 −1 −1 21
−4 3 1 2 21
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
5 −6
.
x
x
x
x
x
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
8
5
21
.
−6 −4
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
2 −1 1
−3 0 −3
−1 3 2
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−1; −4; 1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {3; β; −2}−→c = {0; −3; 1}
A(2; 2; 3),B(3; −2; −3),C(−2; −1; 2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB + 2
A(−2; 3; 1),B(−1; −1; 3),C(−3; −1; 2),D(−3; −2; 3)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, 2
ABC D
−−→
CD]
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 109
~a = {−2; −5; −5}
,~b = {1; 4; 3},~c = {−4; −5; −2}
образуют
базис è найти êîîðдинаты вектора~d = {−1; 2; −1}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {5; 5; −2}
(~x,~c) = −5
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 3~a + 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 4,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.3
−4x2− 4y2− 4z2− 4xy + 0xz + 6yz
−2x2− 2y2+ 3z2− 8xy − 24xz + 24yz
.
относительно этого базиса.
~a = {0; −4; −3}
(~x,~a) = 27,(~x,~b) = −5
(−4~u + 1~v)(−1~u + 3~v)
,~b = {2; −5; 4}
, åñëè
~u = 4~a + 3~b
ê
è
êаноническîìó âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−2 −2 2
1 3 −2
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
1 2 2
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 2, β = 1, ~a = {−2; 2; −1},~b = {−3; 0; 2}
22.
Определить сумму êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
−6 −3
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
6 −6
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−3 1
4 −4
è
B =
5 t
перестановочно?
−4 6
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
4x2− 19x + 0
íà простейшие.
x4− 625
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (4 + 12i)z − 32 + 26i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
4 − iè−3 − 5i
.
110 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 36
¯
¯
3 −6 4 −4
¯
¯
¯
−9 15 −12 12
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
9 −18 10 −12
¯
¯
¯
3 −6 4 −2
¯
¯
1 3 1 −2 3
¯
¯
¯
−2 −9 −2 4 −6
¯
¯
¯
−3 −9 −4 6 −9
¯
¯
¯
−2 −6 −2 5 −6
¯
¯
¯
2 6 2 −4 3
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A =
1 3
,
2 1
A · A−1= E
B =
−3 0
−3 −2
, найти
.
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−2 −2 −3
1 0 1
.
−1 −2 −1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
2 1 −1
0 3 1
4 −2 1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−2 −1
−1 −3
·
x
1
·
x
2
x
3
x11x
x21x
12
22
=
·
4
8
6
.
2 −1
−2 −4
=
−14 17
−22 −9
.
10 1 0 2 2 −5
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−3 −2 0 1 −2 −1
8 3 0 1 −1 11
4 −2 0 2 2 −14
.
15 1 0 6 −5 12
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 111
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
2 −1 2 −1 0
6 2 1 2 0
9 2 2 3 0
6 3 1 1 0
48 12 14 8 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
8 −7 −4 −3 −30
−6 3 2 3 −4
−5 1 1 3 −21
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
0 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
4
4
−4
.
0 8
0 −1 3
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−1 0 −1
2 2 −3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {5; 5; −4}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {0; β; 2}−→c = {1; 2; −1}
A(−1; −3; −3),B(0; −1; −2),C(−1; −1; 0)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(−1; −1; 1),B(3; 3; −1),C(−3; −1; 3),D(−3; 0; −3)
| −3−→AB − 4
−−→
CD |
ABC
, á)
(−3−→AB, −4
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−3−→AB, −4
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]