Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
222 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
13 0 2 0 3
−5 0 −1 0 −1
3 0 3 0 −1
7 0 −1 0 3
45 0 6 0 11
9.
Найти общее решение системы уравнений
−15 1 2 −4 −40
−13 2 3 −1 −15
2 1 1 3 25
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
2 3
.
x
x
x
x
x
=
0
0
.
0
0
0
1
2
3
4
5
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
11
−17
−28
.
3 −6
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
0 −1 4
−3 4 −3
3 −2 −3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−2; −5; 3}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {5; β; 2}−→c = {1; 4; −1}
A(1; −1; 2),B(−1; 2; 2),C(−3; −2; −3)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(3; 3; −1),B(0; 3; 2),C(2; −1; 1),D(−2; 1; −3)
| −2−→AB − 4
−−→
CD |
ABC
, á)
(−2−→AB, −4
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−2−→AB, −4
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 223
~a = {1; 5; 5}
,~b = {2; 4; −2},~c = {5; 5; 5}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−15; −21; −27}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−3; 0; −5}
(~x,~c) = −4
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −4~a + 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−4x2+ 0y2− 3z2− 8xy − 2xz + 10y z
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 4,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.7
x2− y2+ 2z2+ 8xy − 4xz + 24yz
относительно этого базиса.
~a = {0; 1; −5}
(~x,~a) = −11,(~x,~b) = −5
(1~u − 4~v)(−1~u + 3~v)
.
,~b = {−1; 5; −1}
, åñëè
~u = 1~a + 3~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−2 −3 −1
0 −3 0
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−3 1 1
è
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 2, β = 1, ~a = {−3; 2; 2},~b = {0; −2; −1}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 6x + 13 = 0
A =
, åñëè
4 5
?
−1 p
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
4 5
6 0
è
B =
2 5
перестановочно?
6 t
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
2x2+ 50x + 168
íà простейшие.
x3− 216
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (8 − i)z + 9 + 5i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−4 + 2iè1 − 4i
.
224 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 74
¯
¯
−1 −3 −1 −4
¯
¯
¯
2 7 2 8
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−2 4
B =
,
4 −3
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
3 9 2 12
¯
¯
¯
2 6 2 10
¯
¯
−2 6 3 2 3
¯
¯
¯
2 −3 −3 −2 −3
¯
¯
¯
2 −6 −6 −2 −3
¯
¯
¯
−6 18 9 4 9
¯
¯
¯
−6 18 9 6 12
4 −1
.
−2 −1
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A · A−1= E
, найти
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−2 0 −1
−2 4 1
.
4 4 3
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−1 2 4
0 −2 3
2 2 0
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
0 −1
2 −1
·
·
x11x
x21x
x
1
=
·
x
2
x
3
12
22
−14
−2
0
−1 3
−3 2
.
=
13 −11
.
−11 5
9 3 −1 −2 −1 3
7.
Вычислить ðàíã матрицы
3 −1 3 −2 2 −6
−6 1 2 3 3 −27
0 −1 −1 1 1 0
.
−3 12 3 5 3 −69
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 225
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
8 1 0 3 2
3 1 0 1 1
13 3 0 3 −1
6 2 0 2 2
67 15 0 19 5
9.
Найти общее решение системы уравнений
9 4 −2 −1 42
−1 −1 1 1 −11
6 1 1 2 9
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−4 0
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
10
−1
13
.
.
0 −1
0 0 2
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
0 −2 −2
1 −1 4
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {3; −2; −2}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−1; β; −2}−→c = {−4; 1; 3}
A(−1; 2; 0),B(−2; −3; −2),C(−2; −3; 2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB − 4
A(1; −3; 3),B(−3; 3; −3),C(−3; −2; −1),D(2; 0; 1)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, −4
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, −4
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
226 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {−1; −5; −5}
,~b = {−4; 1; 0},~c = {−5; −5; −3}
образуют
базис è найти êîîðдинаты вектора~d = {−22; −8; −4}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
è
~c = {−3; 0; 5}
(~x,~c) = −14
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −2~a + 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
7x2+ 4y2+ 6z2+ 4xy + 12xz + 6yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
(−1~u − 3~v)(−4~u + 3~v)
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.4
.
3x2+ y2+ 2z2+ 36xy + 12xz + 24y z
относительно этого базиса.
~a = {−1; −4; −1}
,~b = {0; −5; 4}
(~x,~a) = −10,(~x,~b) = −36
, åñëè
~u = 4~a + 4~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−2 2 2
4 1 3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
4 −2 1
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 2, β = −1, ~a = {3; −2; 3},~b = {−1; 3; 3}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2+ x + 19 = 0
A =
, åñëè
p −5
?
5 2
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
0 2
3 3
è
B =
t −4
перестановочно?
−6 −2
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
−2x2+ 23x − 102
íà простейшие.
x3+ 216
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (9 + 4i)z + 17 + 17i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−4 + iè1 − 4i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 227
¯
¯
1 −3 −3 2
¯
¯
¯
1 0 −3 2
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−3 2 −2
,
B =
−3 0 −2
¯
¯
¯
2 −6 −9 4
¯
¯
¯
−3 9 9 −5
¯
¯
1 −6 −6 −3 2
¯
¯
¯
−3 16 18 9 −6
¯
¯
¯
3 −18 −16 −9 6
¯
¯
¯
1 −6 −6 0 2
¯
¯
¯
3 −18 −18 −9 8
1 1
3 −2
2 1
Вариант A - 75
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
4 0 0
−2 2 3
.
A · A−1= E
, найти
−1 1 2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−2 −3 −2
−2 0 −1
−3 −3 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−2 −3
3 0
·
·
x11x
x21x
x
1
x
2
x
3
12
22
=
·
8
3
11
−2 3
2 0
.
=
0 −36
.
18 0
1 0 −2 0 −1 3
7.
Вычислить ðàíã матрицы
4 0 −2 0 2 6
−3 0 2 0 −1 −5
1 0 −2 0 −1 3
.
−11 0 6 0 −5 −17
228 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
7 2 0 3 1
−2 1 0 −1 −1
−2 1 0 −1 −1
4 −1 0 3 1
10 7 0 5 −1
9.
Найти общее решение системы уравнений
21 7 −6 4 361
3 2 3 2 23
8 3 −1 2 128
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−2 2
.
x
x
x
x
x
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
20
16
44
.
2 1
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
3 4 −3
−2 0 1
−3 0 4
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−1; −5; 3}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−3; β; 1}−→c = {−1; 5; 2}
A(1; −1; 1),B(0; −2; −1),C(−3; −1; 2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(3; −3; −3),B(3; 2; −2),C(−3; −2; 1),D(2; −3; −3)
| −3−→AB − 4
−−→
CD |
ABC
, á)
(−3−→AB, −4
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−3−→AB, −4
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 229
~a = {−3; −5; 0}
,~b = {−3; 3; −4},~c = {4; −5; −3}
образуют
базис è найти êîîðдинаты вектора~d = {−17; 46; 7}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {1; −3; 4}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −3~a + 3~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 2,|~b |= 4,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.4
−1x2− 2y2− 1z2− 4xy − 10xz − 6yz
3x2+ 2y2+ 3z2+ 24xy + 8xz + 24y z
.
относительно этого базиса.
~a = {4; 5; 0}
(~x,~a) = 11,(~x,~b) = 20è(~x,~c) = 10
(−4~u + 3~v)(−2~u − 4~v)
,~b = {−5; 5; 0}
, åñëè
~u = 4~a + 4~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
1 −3 4
−1 3 −1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
1 −2 −3
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 2, β = −3, ~a = {3; −3; −3},~b = {3; −2; −1}
22.
Определить сумму êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
1 −4
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
−2 4
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
2 1
4 3
è
B =
4 t
перестановочно?
−32 −4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
5x2+ 19x + 9
íà простейшие.
x4− 81
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (1 + 8i)z − 18 + 14i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
5 + 2iè−3 − 5i
.
230 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 76
¯
¯
−3 2 2 −2
¯
¯
¯
6 −6 −4 4
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
1 3 3
−1 0 1
,
B =
0 −1 −2
¯
¯
¯
3 −2 0 2
¯
¯
¯
−3 2 2 −1
¯
¯
1 2 6 6 −6
¯
¯
¯
−2 −3 −12 −12 12
¯
¯
¯
2 4 15 12 −12
¯
¯
¯
2 4 12 9 −12
¯
¯
¯
1 2 6 6 −4
3 2 1
1 −1 −2
0 −2 −2
AB
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
1 4 −1
3 −2 −2
.
A · A−1= E
, найти
−2 2 2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−3 1 4
−1 2 −3
−3 0 4
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−3 1
0 4
·
·
x11x
x21x
x
1
x
2
x
3
12
22
=
·
20
3
17
2 −1
2 2
.
=
−34 2
.
8 8
−7 1 0 3 0 −8
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−10 −2 0 2 0 −8
−10 −2 0 2 0 −8
−8 −1 0 2 0 −7
.
−4 −5 0 −2 0 1
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 231
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
10 −1 3 −1 2
2 2 −1 −1 1
16 2 1 3 3
18 3 1 3 3
84 8 10 4 17
9.
Найти общее решение системы уравнений
−4 −4 0 −8 −36
9 3 3 3 9
7 1 3 −1 −9
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−1 −2
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
.
0
0
−2 −4
2 −3 1
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
2 3 −3
−1 −1 −3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−2; −4; −5}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
A(3; 1; 2),B(1; −3; 3),C(−2; 2; 2)
,−→b = {−5; β; −5}−→c = {−1; 3; −2}
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 2−→AB − 2
A(−3; −3; 2),B(2; 3; −3),C(3; 3; 0),D(−2; 1; −2)
−−→
CD |
, á)
(2−→AB, −2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[2−→AB, −2
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]