Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
342 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
11 0 2 3 0
5 0 −1 2 0
9 0 3 2 0
−4 0 −1 −1 0
38 0 5 11 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
23 −1 −9 8 18
−10 −1 3 −1 −15
1 −1 −1 2 −4
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
7 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
5
−8
31
.
0 −6
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−2 3 −1
0 −1 −2
0 2 4
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {2; 2; −1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {3; β; 2}−→c = {−3; 4; 2}
A(3; 3; 3),B(0; −3; 2),C(−3; 3; −3)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(−3; −1; −3),B(0; 2; −3),C(−2; −3; −3),D(1; −2; −3)
| −2−→AB − 3
−−→
CD |
ABC
, á)
(−2−→AB, −3
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−2−→AB, −3
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 343
~a = {4; −2; 3}
,~b = {5; −4; −2},~c = {0; 5; 5}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {27; 7; 28}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {0; −1; −4}
(~x,~c) = −15
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 2~a + 3~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
7x2+ 7y2+ 3z2+ 12xy + 8xz + 6yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 3,|~b |= 4,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.7
относительно этого базиса.
~a = {−5; 0; 4}
(~x,~a) = 30,(~x,~b) = 8
(1~u − 3~v)(3~u + 4~v)
, åñëè
.
x2+ 2y2+ z2+ 4xy + 8xz + 12yz
,~b = {−4; 2; 2}
è
~u = −4~a + 2~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
4 1 4
−2 −1 4
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
4 4 −1
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 1, β = −2, ~a = {3; −3; −2},~b = {0; 0; −1}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2+ 3x − 4 = 0
A =
, åñëè
−1 −3
?
−2 p
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−4 1
2 4
è
B =
3 −1
перестановочно?
−2 t
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
−x2+ 0x − 50
íà простейшие.
x3− 125
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (4 + i)z + 6 − 8i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−1 + 3iè1 + 5i
.
344 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 114
¯
¯
−1 4 6 −3
¯
¯
¯
2 −10 −12 6
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
−1 4 4 −3
¯
¯
¯
−2 8 12 −9
¯
¯
1 −2 4 −6 −4
¯
¯
¯
2 −5 8 −12 −8
¯
¯
¯
−1 2 −6 6 4
¯
¯
¯
−1 2 −4 3 4
¯
¯
¯
1 −2 4 −6 −2
A =
−2 −2 −1
2 3 0
−1 −3
B =
−2 −2
,
AB
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2 2
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
1 −1 1
0 0 4
.
A · A−1= E
, найти
−2 4 2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
4 0 4
2 −1 4
4 −1 0
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−1 4
3 −2
·
·
x
1
x
2
x
3
x11x
x21x
=
12
22
4
9
−1
·
.
−3 3
−2 −4
=
−17 −7
11 −59
.
8 −2 0 2 0 −4
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−5 −1 0 −2 0 −5
−6 3 0 −1 0 8
5 −2 0 1 0 −5
.
−14 11 0 −1 0 32
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 345
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−5 1 0 1 −1
8 −1 0 −1 2
3 2 0 1 2
9 1 0 −1 3
−13 7 0 6 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
78 9 −11 9 773
−14 −1 3 −1 −125
18 3 −1 3 199
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
1 −6
.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
0
0
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
35
−17
121
.
1
2
3
4
5
−6 6
2 3 −3
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
2 −2 3
4 −2 −1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {4; −5; 5}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−4; β; 2}−→c = {−3; −2; −4}
A(−3; −1; −1),B(3; −3; 2),C(−2; 1; 3)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 2−→AB − 4
A(−2; 3; 3),B(−3; 3; 1),C(−2; −1; 0),D(−1; 1; 1)
−−→
CD |
, á)
(2−→AB, −4
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[2−→AB, −4
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
346 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {3; −3; 3}
,~b = {−4; 3; 0},~c = {5; 3; −3}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−20; 9; 0}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
è
~c = {2; 2; −1}
(~x,~c) = 15
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −2~a − 1~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
3x2+ 6y2+ 5z2+ 4xy + 6xz + 6yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 4,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.4
−2x2− 2y2+ 3z2− 8xy − 16xz + 36yz
относительно этого базиса.
~a = {2; −4; −1}
(~x,~a) = −15,(~x,~b) = −30
(1~u + 4~v)(−2~u + 4~v)
.
, åñëè
,~b = {−5; −4; 2}
~u = −1~a − 3~b
ê
êаноническîìó âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−3 −3 2
2 −2 1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−1 −1 1
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 3, β = −1, ~a = {−1; −1; −3},~b = {0; 1; −1}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 10x + 22 = 0
A =
, åñëè
p 3
?
1 5
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
1 −2
2 −3
è
B =
t −1
перестановочно?
1 0
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
5x2− 11x + 42
íà простейшие.
x3+ 27
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (−7 − 4i)z + 9 + 13i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
4 + 5iè−3 + 3i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 347
Вариант A - 115
¯
¯
3 9 3 −2
¯
¯
¯
6 21 6 −4
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
6 18 3 −4
¯
¯
¯
−9 −27 −9 7
¯
¯
1 −4 −6 9 −4
¯
¯
¯
−2 10 12 −18 8
¯
¯
¯
−1 4 3 −9 4
¯
¯
¯
1 −4 −6 6 −4
¯
¯
¯
2 −8 −12 18 −10
A =
0 3 −2
−2 −1 −1
−1 1
B =
2 1
,
−3 0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
1 0 2
1 1 −1
.
A · A−1= E
, найти
−1 −3 −1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−3 4 −3
3 2 3
−2 1 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−2 1
2 4
·
·
x11x
x21x
x
1
x
2
x
3
12
22
=
·
8
4
0
1 2
2 −3
.
=
−6 −5
.
56 0
6 1 0 −2 0 4
7.
Вычислить ðàíã матрицы
0 2 0 2 0 2
0 3 0 3 0 3
−4 −1 0 1 0 −3
.
16 −2 0 −10 0 6
348 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
1 −1 0 0 2
9 1 0 0 3
7 3 0 0 −1
9 1 0 0 3
32 −2 0 0 19
9.
Найти общее решение системы уравнений
−14 0 1 −4 26
4 3 1 3 −24
−10 3 2 −1 2
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−6 0
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
x
x
x
x
x
0
0
=
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
−4
8
−12
.
.
0 5
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−3 4 4
−3 0 −3
−2 1 2
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−1; 4; 0}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−2; β; −5}−→c = {−4; −1; 1}
A(1; −2; −1),B(−1; 1; −1),C(−1; −2; 1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 2−→AB − 4
A(−2; 3; 1),B(−3; 2; −1),C(−2; 2; −3),D(−2; 1; −1)
−−→
CD |
, á)
(2−→AB, −4
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[2−→AB, −4
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 349
~a = {−5; −3; −5}
,~b = {−2; 3; −4},~c = {−5; 1; −2}
образуют
базис è найти êîîðдинаты вектора~d = {−8; 12; −16}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~
b = {−4; 3; −5}è~c = {1; −4; 2}
(~x,~b) = 24è(~x,~c) = −5
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −1~a + 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−2x2− 4y2+ 0z2+ 8xy + 10xz + 6yz
Привести квадратичную форму
è известны
.
, åñëè известны ñêалярные произведения
(2~u + 4~v)(−3~u + 2~v)
| ~a |= 4,|~b |= 4,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.5
.
−2x2− 2y2− 2z2− 24xy − 24xz − 16yz
относительно этого базиса.
~a = {−3; −1; −5}
,
(~x,~a) = 25
, åñëè
~u = 4~a − 4~b
ê
êаноническîìó âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
0 −3 2
2 4 2
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
4 2 4
,
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 2, β = −2, ~a = {3; 1; 1},~b = {2; 1; 0}
22.
Определить сумму êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
6 −5
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
−2 3
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−4 −1
5 −3
è
B =
−2 t
перестановочно?
−10 −4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
2x2+ 27x + 96
íà простейшие.
x4− 256
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (13 + 9i)z + 28 + 56i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−4 − 3iè1 + i
.
350 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 116
¯
¯
3 −4 3 −9
¯
¯
¯
−9 14 −9 27
2 4
¯
¯
¯
−6 8 −3 18
¯
¯
¯
−6 8 −6 15
¯
¯
−2 9 −2 2 −2
¯
¯
¯
−4 21 −4 4 −4
¯
¯
¯
−6 27 −4 6 −6
¯
¯
¯
−4 18 −4 6 −4
¯
¯
¯
−4 18 −4 4 −5
.
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
−2 0
A =
−1 1
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
B =
,
−2 −2
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
A · A−1= E
, найти
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
1 −1 −1
2 −2 2
.
4 −2 3
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
1 0 −3
3 1 2
−1 −3 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
0 2
−2 0
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
=
·
x
2
x
3
−1 0
−10
15
−9
3 2
.
=
−12 −4
12 12
.
−1 0 −1 0 −2 −5
7.
Вычислить ðàíã матрицы
3 0 2 0 3 8
3 0 2 0 3 8
−6 0 −1 0 3 5
.
7 0 2 0 −1 0
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 351
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−2 0 1 0 −1
1 0 2 0 3
−1 0 3 0 2
2 0 −1 0 1
8 0 −4 0 4
9.
Найти общее решение системы уравнений
3 −1 0 −4 37
2 2 3 3 −2
5 1 3 −1 35
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
2 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−2
−8
6
.
0 0
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
0 1 3
1 0 4
3 0 0
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−2; 5; −5}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {1; β; 5}−→c = {1; 4; 2}
A(1; 1; 0),B(3; −2; −1),C(−2; −2; −1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB − 4
A(2; 2; 0),B(−1; −2; 2),C(−3; −3; 1),D(2; −3; 3)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, −4
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, −4
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]