Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
192 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
3 0 0 1 2
7 0 0 −1 3
−4 0 0 2 −1
3 0 0 3 3
21 0 0 −5 8
9.
Найти общее решение системы уравнений
13 3 −1 5 85
−3 −1 1 −1 −27
7 1 1 3 31
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−4 4
.
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
16
−8
32
.
4 2
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−2 −1 −1
−1 0 3
1 −1 −1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−5; −2; −1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
A(1; −1; 1),B(0; −2; 3),C(−2; 1; −1)
,−→b = {−5; β; −2}−→c = {−1; 4; 0}
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB − 2
A(2; −1; 3),B(1; −3; −1),C(−2; 3; −2),D(2; 0; 1)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, −2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, −2
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 193
~a = {1; −2; −1}
,~b = {−4; −4; 0},~c = {−5; 1; 5}
образуют базис
è найти êîîðдинаты вектора~d = {10; −20; −22}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−2; 2; −3}
(~x,~c) = −2
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 4~a − 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
6x2+ 6y2+ 6z2+ 6xy + 4xz + 4yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 2,|~b |= 5,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.6
.
−2x2− 2y2− z2− 8xy − 16xz − 8yz
относительно этого базиса.
~a = {2; 0; −4}
(~x,~a) = −18,(~x,~b) = −17
(−3~u + 1~v)(−2~u + 3~v)
, åñëè
,~b = {5; −2; 1}
~u = −4~a + 3~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−1 0 −1
0 −1 −3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
3 −2 4
è
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 1, β = 1, ~a = {3; −3; −3},~b = {−2; 2; −3}
22.
Определить сумму êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
−3 4
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
1 −4
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−1 −3
−4 −4
è
B =
2 t
перестановочно?
4 5
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
4x2+ 33x − 50
íà простейшие.
x4− 50x2+ 625
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (−2 + 6i)z + 1 − 6i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
5 − 2iè−4 + 3i
.
194 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 64
¯
¯
−1 3 3 9
¯
¯
¯
2 −9 −6 −18
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
2 −6 −3 −18
¯
¯
¯
−2 6 6 21
¯
¯
−2 −9 9 −3 1
¯
¯
¯
2 12 −9 3 −1
¯
¯
¯
6 27 −24 9 −3
¯
¯
¯
6 27 −27 8 −3
¯
¯
¯
−6 −27 27 −9 2
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A =
−2 0
,
4 3
A · A−1= E
B =
2 0
3 3
, найти
.
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
1 0 0
0 4 2
.
2 −3 −1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−2 −2 −1
2 −1 4
−1 −1 3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
4 −3
3 2
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
=
·
1 2
x
2
x
3
1 −1
−12
15
8
.
=
24 21
1 20
.
9 2 1 0 0 0
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−9 −2 −1 0 0 0
−6 −1 −1 0 0 1
3 −2 3 0 0 −8
.
−81 −9 −18 0 0 27
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 195
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
3 0 0 3 3
1 0 0 3 2
1 0 0 1 1
−3 0 0 1 −1
1 0 0 17 9
9.
Найти общее решение системы уравнений
−18 9 3 6 51
−6 3 1 2 17
−6 3 1 2 17
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
8 −6
A =
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
=
0
0
0
0
0
6
6
18
.
.
.
−6 −1
4 3 2
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−3 −3 −1
1 −2 0
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−3; −5; 5}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {1; β; 3}−→c = {−1; 1; 2}
A(−3; −3; 3),B(3; −1; 2),C(2; −2; 2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB − 2
A(1; 3; 2),B(−3; 1; 2),C(−1; −3; 2),D(3; −3; −1)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, −2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, −2
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
196 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {−3; 4; 1}
,~b = {3; 0; 0},~c = {1; −4; −2}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {27; −20; −5}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {0; −3; 5}
(~x,~c) = 6
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 3~a − 1~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 4,|~b |= 4,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.9
4x2+ 7y2+ 5z2+ 4xy + 6xz + 4yz
−2x2+ 2y2− z2− 16xy + 24xz − 4yz
относительно этого базиса.
~a = {−1; 1; −4}
(~x,~a) = −4,(~x,~b) = −17
(1~u + 2~v)(3~u + 1~v)
.
, åñëè
,~b = {4; 1; 0}
è
~u = −2~a + 3~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−3 −1 4
−1 4 1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
4 −1 2
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 1, β = −1, ~a = {3; 1; −3},~b = {−2; 2; 1}
22.
Определить произведение êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
5 3
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
−3 −4
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
3 3
3 1
è
B =
3 0
перестановочно?
t 3
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
2x2+ 10x − 108
íà простейшие.
x3− 12x2+ 36x
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (1 + 6i)z − 25 + 21i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
4 − 4iè−4 + 5i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 197
¯
¯
−1 −2 2 6
¯
¯
¯
3 7 −6 −18
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
−1 −2 4 6
¯
¯
¯
−3 −6 6 20
¯
¯
1 1 −6 −1 6
¯
¯
¯
3 2 −18 −3 18
¯
¯
¯
3 3 −16 −3 18
¯
¯
¯
1 1 −6 −2 6
¯
¯
¯
3 3 −18 −3 20
A =
3 −1 −2
3 −3 3
3 0
B =
2 3
,
−1 −1
Вариант A - 65
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
2 −3 −3
0 −3 2
.
A · A−1= E
, найти
−2 2 2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
3 4 2
0 4 2
1 1 4
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
2 2
3 2
·
·
x11x
x21x
x
1
=
x
2
x
3
12
·
22
−13
−10
−7
−2 0
3 −3
.
=
−12 0
−21 3
.
10 −2 0 0 −2 2
7.
Вычислить ðàíã матрицы
8 −1 0 0 −2 4
−4 −1 0 0 2 −8
−7 −1 0 0 3 −11
.
−7 −1 0 0 3 −11
198 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−1 0 −1 −1 1
−4 0 2 1 3
−5 0 1 −1 3
2 0 −1 2 1
−7 0 2 6 11
9.
Найти общее решение системы уравнений
16 −12 −8 −2 64
−3 3 2 1 −12
−7 3 2 −1 −28
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
8 0
.
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−1
1
−2
.
0 −3
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−2 4 −3
1 2 0
−1 −1 −1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−1; 2; −4}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {2; β; −3}−→c = {−1; 5; −3}
A(−3; 1; −3),B(0; 1; 1),C(−2; −1; −2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB − 4
A(3; −1; 1),B(2; −1; 1),C(2; −3; 1),D(3; −2; −3)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, −4
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, −4
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 199
~a = {4; 4; −1}
,~b = {2; 3; 3},~c = {4; −1; 1}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {26; 0; 0}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−4; 3; −2}
(~x,~c) = −27
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 2~a − 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−5x2+ 4y2− 4z2+ 6xy + 2xz + 0yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 3,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.7
относительно этого базиса.
~a = {4; 3; 1}
,~b = {−4; 4; 4}
(~x,~a) = 17,(~x,~b) = −4
(−4~u + 2~v)(−3~u + 3~v)
, åñëè
.
−2x2+ y2− z2− 8xy + 12xz − 12yz
è
~u = −4~a − 4~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
1 1 1
−2 −3 3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−2 3 −2
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 3, β = −3, ~a = {1; −3; 3},~b = {3; −3; 0}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− x + 2 = 0
A =
, åñëè
2 −2
?
2 p
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
1 −3
−2 4
è
B =
4 3
перестановочно?
2 t
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
9x2− x + 52
íà простейшие.
x3− 64
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (2 + i)z + 12 − 6i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−1 − 3iè2 − 5i
.
200 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 66
¯
¯
−3 1 −6 2
¯
¯
¯
3 −2 6 −2
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
−6 2 −9 4
¯
¯
¯
9 −3 18 −7
¯
¯
−2 2 1 6 2
¯
¯
¯
−4 5 2 12 4
¯
¯
¯
4 −4 −3 −12 −4
¯
¯
¯
−4 4 2 14 4
¯
¯
¯
6 −6 −3 −18 −8
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A =
4 4
2 −1
,
B =
A · A−1= E
−1 2
−1 0
, найти
.
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
4 4 −2
4 −2 0
.
−3 2 0
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
1 2 4
4 −2 0
1 4 0
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
2 −2
−1 −3
·
·
x
1
x
2
x
3
x11x
x21x
=
12
22
−15
−8
−11
·
.
3 3
−2 1
=
62 32
37 4
.
8 0 2 2 1 10
7.
Вычислить ðàíã матрицы
9 0 2 1 2 9
−2 0 2 −2 −2 −8
9 0 2 −1 3 5
.
−3 0 2 3 −5 1
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 201
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−1 0 −1 2 −1
9 0 1 −1 3
−7 0 −1 −1 −1
5 0 1 3 −1
−14 0 −2 7 −8
9.
Найти общее решение системы уравнений
−9 −1 −7 1 −9
5 1 3 −1 5
−1 −1 1 1 −1
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−6 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
.
0
0
0 −1
4 4 −1
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
2 2 −3
−2 1 2
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−2; 5; −1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {3; β; 0}−→c = {−5; 5; −2}
A(3; 2; 1),B(0; 2; −1),C(3; −2; 0)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB − 2
A(−3; −3; 3),B(3; 1; −1),C(−2; 3; 0),D(−2; 0; −3)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, −2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, −2
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]