Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
92 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 30
¯
¯
−2 −9 −3 −2
¯
¯
¯
−4 −15 −6 −4
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
2 9 4 2
¯
¯
¯
2 9 3 1
¯
¯
−2 6 −4 1 −9
¯
¯
¯
4 −15 8 −2 18
¯
¯
¯
6 −18 14 −3 27
¯
¯
¯
−4 12 −8 1 −18
¯
¯
¯
6 −18 12 −3 24
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A =
0 1
1 −3
,
B =
A · A−1= E
−3 1
4 1
, найти
.
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 0 −2
3 1 −3
.
2 2 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−3 4 −3
2 −3 2
−2 2 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
0 −1
1 0
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
x
2
x
3
=
·
−5
3
−5
2 −4
−3 0
.
=
3 −12
.
11 −4
15 0 0 3 3 −9
7.
Вычислить ðàíã матрицы
1 0 0 −1 2 −3
1 0 0 1 −1 1
13 0 0 3 2 −7
.
−28 0 0 −6 −5 16
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 93
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
3 2 1 0 2
2 2 1 0 3
10 3 3 0 −1
−1 −1 2 0 1
−11 −3 2 0 7
9.
Найти общее решение системы уравнений
2 0 −4 −3 6
−1 1 3 2 −4
0 2 2 1 −2
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−4 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
1
−3
7
.
0 7
−1 1 3
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−1 4 −2
−1 2 −1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {1; 5; −1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {5; β; 3}−→c = {−4; 4; 5}
A(−1; 1; 2),B(−1; 1; 2),C(3; −3; 1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(−1; −2; 2),B(2; −3; 2),C(2; 1; −3),D(3; −1; 2)
| −3−→AB − 2
−−→
CD |
ABC
, á)
(−3−→AB, −2
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−3−→AB, −2
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
94 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {2; 1; −3}
,~b = {1; 2; 5},~c = {1; 1; 2}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−5; −9; −26}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
è
~c = {−2; 0; −5}
(~x,~c) = −23
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 2~a + 1~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
6x2+ 7y2+ 6z2+ 6xy + 6xz + 12yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 3,|~b |= 5,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.5
3x2− 2y2− z2+ 24xy − 24xz − 4yz
относительно этого базиса.
~a = {−2; −3; −2}
(~x,~a) = −20,(~x,~b) = 20
(3~u − 2~v)(−3~u + 4~v)
.
,~b = {−3; 3; 1}
, åñëè
~u = 2~a + 3~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
0 −3 2
0 −1 −3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−1 1 −1
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 3, β = 1, ~a = {−2; −3; 2},~b = {2; −2; 3}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 6x − 19 = 0
A =
, åñëè
p 6
?
4 5
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−3 2
−3 1
è
B =
t 6
перестановочно?
−9 6
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
4x2− 31x + 10
íà простейшие.
x4− 5x
25.
Ðешить квадратное уравнение
3
z2− (2 + 9i)z − 55 + 3i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−1 − 5iè−2 + 5i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 95
¯
¯
−1 1 1 −6
¯
¯
¯
2 −3 −2 12
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
1 −1 −2 6
¯
¯
¯
−2 2 2 −15
¯
¯
−3 2 −3 6 −3
¯
¯
¯
−3 0 −3 6 −3
¯
¯
¯
−9 6 −8 18 −9
¯
¯
¯
−9 6 −9 16 −9
¯
¯
¯
−3 2 −3 6 −4
A =
−1 1 1
−2 −1 2
−3 −3
B =
−3 2
,
−1 −3
Вариант A - 31
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
2 4 1
3 −1 2
.
A · A−1= E
, найти
1 3 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−2 4 1
1 −3 −1
2 −3 −2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
4 −1
1 −2
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
=
·
−3 2
x
2
x
3
−17
13
17
0 −4
.
=
−39 38
6 20
.
−1 −1 2 0 0 4
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−13 3 2 0 0 12
−1 −1 2 0 0 4
−9 1 3 0 0 11
.
−4 2 −1 0 0 1
96 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
12 1 0 0 3
12 2 0 0 2
0 1 0 0 −1
6 3 0 0 −1
66 14 0 0 8
9.
Найти общее решение системы уравнений
−15 0 7 1 −21
3 3 1 1 −18
−3 2 3 1 −19
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
6 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
=
0
0
0
0
0
−7
−35
.
.
7
.
0 −7
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−3 4 −1
1 1 3
4 −3 0
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−5; −2; 2}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−4; β; −2}−→c = {2; 4; −1}
A(3; 3; −3),B(2; 3; −2),C(−3; 2; −3)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB + 2
A(−3; 1; 1),B(0; −3; −2),C(−1; −1; 1),D(2; −2; −1)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, 2
ABC D
−−→
CD]
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 97
~a = {3; −1; 1}
,~b = {1; 3; −2},~c = {0; −3; 2}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−15; 11; −9}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−5; −5; 3}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −3~a + 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−5x2+ 2y2+ 4z2+ 10xy + 2xz + 10yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 3,|~b |= 5,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.6
−x2− 2y2− z2− 8xy − 8xz − 4yz
относительно этого базиса.
~a = {0; 3; 1}
(~x,~a) = 3,(~x,~b) = −5è(~x,~c) = 0
(1~u − 1~v)(3~u − 2~v)
, åñëè
.
,~b = {1; −4; 5}
~u = 3~a − 4~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
2 4 0
1 2 −2
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−1 −3 0
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 1, β = 2, ~a = {−1; −3; 2},~b = {1; 0; 2}
22.
Определить сумму êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
6 −6
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
2 −1
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
2 6
3 −4
è
B =
1 t
перестановочно?
1 0
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
0x2− 7x − 42
íà простейшие.
x4− 18x2+ 81
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (−4 + 3i)z + 13 + i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−2 − 4iè−4 + 2i
.
98 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 32
¯
¯
1 −6 1 3
¯
¯
¯
−1 4 −1 −3
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−2 −1 2
−2 1 −1
,
B =
−1 −2 1
¯
¯
¯
−2 12 −1 −6
¯
¯
¯
−2 12 −2 −9
¯
¯
−1 2 9 −3 9
¯
¯
¯
−3 5 27 −9 27
¯
¯
¯
3 −6 −30 9 −27
¯
¯
¯
2 −4 −18 5 −18
¯
¯
¯
−3 6 27 −9 24
−1 −2 3
3 −1 −2
2 2 −2
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
3 2 2
0 −1 4
.
A · A−1= E
, найти
2 2 0
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
1 −2 0
−2 1 −1
1 2 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−3 1
−2 4
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
x
2
x
3
·
=
0 3
−1 −4
2
0
−8
.
=
5 −16
.
−10 −94
1 −1 0 −2 0 −3
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−12 −2 0 3 0 8
4 2 0 1 0 0
8 2 0 −1 0 −4
.
−10 −2 0 2 0 6
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 99
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
0 0 −1 0 −1
1 0 1 0 2
4 0 −1 0 3
1 0 1 0 2
16 0 −1 0 15
9.
Найти общее решение системы уравнений
−8 −4 −5 1 −18
1 1 3 −1 −9
6 2 −1 1 36
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
4 0
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
=
x
x
x
x
x
0
0
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
10
5
−20
.
.
0 −5
3 0 −2
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−1 1 −1
2 2 −3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {0; −2; 1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−2; β; 1}−→c = {−1; 2; −5}
A(1; −2; −3),B(−2; −3; 1),C(−3; −1; −3)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB − 3
A(−1; −3; −2),B(3; 3; 2),C(−3; −1; −1),D(−1; 2; 1)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, −3
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, −3
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
100 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {5; 3; 0}
,~b = {4; −4; −1},~c = {−1; 4; −4}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−12; 0; 20}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−1; −3; 1}
(~x,~c) = 4
17.
.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 3~a + 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
4x2+ 2y2+ 5z2+ 4xy + 6xz + 4yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 5,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.8
2x2+ y2− z2+ 16xy + 12xz − 4yz
относительно этого базиса.
~a = {−4; −4; 1}
(~x,~a) = 16,(~x,~b) = −16
(2~u − 1~v)(−3~u − 1~v)
.
,~b = {4; 0; −3}
, åñëè
~u = 4~a + 4~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−3 4 4
−2 1 3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−3 1 0
è
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 2, β = −1, ~a = {3; −1; −3},~b = {3; 0; 3}
22.
Определить произведение êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
−6 −5
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
−2 −4
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−4 −1
0 −3
è
B =
5 2
перестановочно?
t 3
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
5x2− 37x + 50
íà простейшие.
x3− 10x2+ 25x
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (−5 + i)z + 36 − 8i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
1 − 2iè5 + i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 101
Вариант A - 33
¯
¯
3 −2 −6 −6
¯
¯
¯
3 −4 −6 −6
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
−9 6 15 18
¯
¯
¯
−3 2 6 8
¯
¯
3 −1 1 2 4
¯
¯
¯
6 −3 2 4 8
¯
¯
¯
−6 2 −3 −4 −8
¯
¯
¯
−3 1 −1 −1 −4
¯
¯
¯
−9 3 −3 −6 −10
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A =
2 4
,
3 1
A · A−1= E
B =
0 2
−3 −1
, найти
.
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−1 2 0
1 −3 0
.
−1 −1 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
2 −1 2
4 2 3
4 1 3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−2 3
−3 −2
·
·
x
1
x
2
x
3
x11x
x21x
=
12
22
−12
−5
−9
·
.
−4 −2
3 2
=
7 2
−61 −36
.
−2 −2 2 0 0 −12
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−3 1 1 0 0 0
4 −2 −1 0 0 −3
−4 −2 3 0 0 −15
.
−1 −5 3 0 0 −24
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]