Типовой расчет по дифференциальным уравнениям. Часть 2. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

ТР-31 Дифференциальные уравнения

3

Вариант D - 1

1.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 3y

+ 2y = e3x

2x + 4

1)

20

2)

¡3x

¡Ax

2 ¢.

3)

Ax

+ Bx 4)

e3x

+ Bx¢

Ax + B

e

Ax + B

частного решения дифференциального уравнения

1.2. Определить вид¡

¢

y00 + 36y = 6e¡3x cos 6x.

1)

Ae¡3x cos 6x

2) Axe¡3x cos 6x

3)

e¡3x

Ax cos 6x + Bx sin 6x 4) e¡3x A cos 6x + B sin 6x

1.3.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

¡

¢

y00 + 6y0

+ 18y = e¡3x 6x cos 5x + 6 sin 5x

1) e

3x

Ax

2+

B

¡

x

Cx

D

¢x.

¢

2) e

3x

¡(

Ax

B

x

C

x

3)

¡3x

¡(

) cos 5

+ (

+2

) sin 5

4)

¡3x

2 +

) cos 5 +

sin 5

¢

1.4.e¡

¡(Ax

+ Bx) cos 5x + (Cx

+ Dx) sin 5x¢

e¡

¡Ax cos 5x + Bx sin 5x¢

y00

+ 8y0 + 25y =

¡

74 cos 6x + 118 sin 6x.

6e4x

1.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 8y0 + 16y =

p

4 ¡ x

2

.

1.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 9y =

¡

90 tg 3x.

1.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 8y1 ¡ 5y2

:

= 5y

+

8y

> y0

1

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 5

è

.

>

y2(0) = 10

4

ТР-31 Дифференциальные уравнения

3) e2x

Ax + B

4) e2x

Ax2 + Bx

2.2.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

¡

¢

y00 + 25y = ¡3e2x sin 5x.

1) e2x

A

x

B

x

2) Ae2x sin 5x

3)

e

2x

¡

cos 5

+

sin 5

¢

4)

Axe

2x

sin 5x

Ax cos 5x + Bx sin 5x

2.3.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

y00 + 6y0 + 34y = e¡3x ¡ 2 cos 6x ¡ 4x sin 6x

.

1) e

3x

Ax cos 6x + (¡Bx2 + Cx) sin 6x

¢

2) e

3x

¡

A cos 6x + (Cx + D) sin 6x

3)

¡3x¡

(Ax

2

+ Bx) cos 6x + (Cx

2

¢

4)

¡3x

¢

e¡

+ Dx) sin 6x

e¡

(Ax + B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x

2.4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

y00

2

.

¡

¢

¡

+ 4y0 + 4y = 20x + 28x + 10¢

2.5. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 16y = 40 cos 4x + 24 sin 4x.

2.6. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 5y0 + 6y = e3x¡14x + 32¢.

2.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 8y0 + 25y = e7x 122 cos 5x ¡ 155 sin 5x .

9e¡2x

решение дифференциального уравнения

2.8. Найти общее

¡

¢

y00

+ 4y0 + 4y =

2.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 81y =

¡9 + x2 .

¡

486 ctg 9x.

2.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 2y1 ¡ 5y2

> y0

=

4y

1

¡

2y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) =

12

è

.

>

y2(0) = 12

:

¡

ТР-31 Дифференциальные уравнения

5

Вариант

D - 3

3.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 6y0 + 9y = e¡2x

3x + 6

1)

2

2)

¡2x

¡Ax

2 ¢.

3)

Ax

+ Bx

4) e¡2x

+ Bx¢

Ax + B

e¡

Ax + B

частного решения дифференциального уравнения

3.2. Определить вид ¡

¢

y00 + 16y = 2x cos 4x.

1)

2

¡

2

+ Dx) sin 4x¢

2)

2

(Ax

+ Bx) cos 4x + (Cx

(Ax

+ Bx + C) cos 4x

3)

4)

(Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x

(Ax + B) cos 4x

3.3. Определить вид частного

решения дифференциального уравнения

¢

y00 + 6y0 + 13y = e¡3x

4 cos 2x

2 sin 2x

1) e

3x

¡

Ax cos 2x + Bx¡ sin 2x¡

2) e

3x¢.(Ax + B) cos 2x + (Cx + D) sin 2x

¢

3)

¡3x

A cos 2x + B sin 2x

¢

4)

¡3x¡

Ax

2

cos 2x + Bx

2

sin 2x

e¡

e¡

Найти общее решение дифференциального уравнения

2

.

3.4.

y00

¢+ 4y0 = 36x + 42x + 34

¡

¢

¡

3.5. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 16y = 70 cos 3x + 70 sin 3x.

3.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 4y0 + 4y = e¡4x

¡180x + 228¢.

3.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 6y0 + 58y = e¡3x

126 cos 7x + 42 sin 7x .

решение дифференциального уравнения

3e6x

3.8. Найти общее

¡

¢

y00 ¡ 12y0 + 36y = ¡px2 + 64.

3.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 64y =

896

cos2 8x.

3.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 7y1

¡ y2

> y0

=

25y

1

¡

3y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 4

è

.

>

y2(0) = 2

:

Вариант

D - 4

4.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)

2x0

3

¡

2

¡ ¡

¢.

2)

2x

y00 + 4y

+ 4y = e

2x

2x + 2

3) e¡2x

¡Ax3

+ Bx2

+ Cx + D¢

4)

e¡2x

¡Ax2+ B¢

4.2.

¡

Ax + Bx

¢

e¡

¡

¢

e¡

Ax + Bx

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y = 3x sin 3x.

+ Dx) sin 3x¢

(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x¢

3)

(Ax2

+ Bx) cos 3x + (Cx

4)

1)

2

2

2)

(Ax + Bx + C) sin 3x

(Ax + B) sin 3x

4.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 6y0

+ 13y = 4xe3x cos 2x:

1)

e3x(Ax2 + Bx) cos 2x

¢

2) e3x(Ax + B) cos 2x

¢

4.4.

¡

¡

3)

e3x (Ax + B) cos 2x + (Cx + D) sin 2x

4) e3x (Ax2 + Bx) cos 2x + (Cx2

+ Dx) sin 2x

Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 5y0

+ 6y = 60x2 + 142x + 91.

y00

¡ 4y0 + 29y = ¡411 cos 8x + 183 sin 8x.

2e¡4x

4.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 8y0 + 16y =

¡px2 ¡ 49.

4.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 81y =

¡

324 tg 9x.

4.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

> y0

=

¡

4y

1

+ 3y

2

<

2

+ y2

8 y10

= 7y1

:

¡

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 3 è y2(0) = 6.

>

ТР-31 Дифференциальные уравнения

7

y00 ¡ 2y0 = ¡4x2 + 5x ¡ 2.

1)

Ax3 + Bx2 + Cx + D 2) Ax3 + Bx2 + Cx

3)

Ax2 + Bx + C

4) Ax4 + Bx3 + Cx2

5.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 4y =

¡

4x cos 2x

¡

3 sin 2x.

+ Dx) sin 2x¢

3)

(Ax + B) cos 2x + (Cx + D) sin 2x¢

4)

(Ax2

+ Bx) cos 2x + (Cx

1)

2)

2

2

(Ax + B) cos 2x + C sin 2x

(Ax + Bx) cos 2x + Cx sin 2x

5.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 4y0 + 20y = 2xe¡2x sin 4x:

e¡2x

2+ Bx) sin 4x

3)

e¡2x¡(Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x¢

4)

(Ax

2

1)

2x

2)

2x

¡

2

+ 9y = 90x + 84x ¡ 13¢

Найти общее решение дифференциального

y00 + 6y0

e¡ (Ax + B) sin 4x

e¡

(Ax + Bx) cos 4x + (Cx + Dx) sin 4x

5.4.

уравнения

2

.

5.5. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 + 9y =

¡

20 cos 2x + 35 sin 2x.

5.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 3y1

¡ 4y2

>

:

= 9y

+ 3y

> y0

1

2

< 2

Вариант

D - 6

6.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 3y0 = e3x 4x ¡ 3 .

1)

3x

2

¡

2)

2

Bx

¢

Ax

3)

e

¡Ax + Bx¢

4)

e

3x

+

Ax + B

Ax + B

6.2. Определить вид

частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

y00 + 16y = 3 cos 4x

¡

2x sin 4x.

+ Dx) sin 4x¢

1)

Ax cos 4x + (Cx

2

+ Dx) sin 4x

2)

(Ax

2

+ Bx) cos 4x + (Cx

2

3)

4)

(Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x

A cos 4x + (Cx + D) sin 4x

6.3. Определить вид частного

решения дифференциального уравнения

¢

y00 + 6y0 + 25y = e¡3x(5x

¡

4):

1) e¡3x(Ax3 + Bx2 + Cx) 2) e¡3x(Ax + B)

3) e¡3x(Ax2 + Bx)

4) e¡3x(Ax2 + Bx + C)

6.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡

¢

.

y00

¡ 4y0 + 20y = e2x

24 cos 4x ¡ 80 sin 4x

50

6.8.

решение дифференциального уравнения

y00

¡ 5y0 = ¡

1 + e¡5x .

294

6.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 49y =

cos2 7x.

6.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

> y0

= 6y

+

3y

8 y10

= ¡3y1

¡ 3y2

>

:

2

1

2

<

ТР-31 Дифференциальные уравнения

9

y00 ¡ 3y0

¡ 4y = 6 cos 4x.

1)

Ax cos 4x + Bx sin 4x

2) A cos 4x

3)

A cos 4x + B sin 4x

4) Ax cos 4x

7.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 25y = ¡2x2 + 3x ¡ 4.

1)

Ax3 + Bx2 + Cx + D

2) Ax2 + Bx + C

3)

Ax4 + Bx3 + Cx2

4) Ax3 + Bx2 + Cx

7.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡2x

0

2

¡

¡

2¡

¢.

2) 2x

2

y00

4y

+ 29y = e2x

3x cos 6x

4 sin 6x

3)

e2x

¡(Ax + Bx) cos 6x + (Cx + Dx) sin 6x¢

4) e2x

¡Ax cos 6x + Bx sin 6x¢

e

¡(Ax + B) cos 6x + C sin 6x¢

e

¡(Ax + B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x¢

y00

+ 4y0 + 29y = 140 cos 6x

¡

145 sin 6x.

3e¡4x

7.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 8y0 + 16y =

7.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡p81 ¡ x2 .

+ 36y = 288 tg 6x.

7.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡4y1 ¡ y2

:

= 0y

4y

> y0

1

¡

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 9

è

.

>

y2(0) = 10

10

ТР-31 Дифференциальные уравнения

y00 ¡ 7y0

+ 6y = 3 sin 6x.

1)

Ax sin 6x

2) A sin 6x

3)

Ax cos 6x + Bx sin 6x

4) A cos 6x + B sin 6x

8.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 25y = 2e¡2x cos 5x.

1)

2x

2)

2x

Ax

x

Bx

x

3)

e¡

2¡xA cos 5x + B sin 5x¢ 4)

e¡

¡2x

cos 5

+

sin 5

¢

Ae¡