Типовой расчет по дифференциальным уравнениям. Часть 2. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

112

ТР-31 Дифференциальные уравнения

y00 ¡ 5y0 + 6y = 6e3x sin 2x.

3¡x

¢

3)

e

¡3x cos 2

+

sin 2

¢

4)

cos 2

+

sin 2

1)

3x

A

x

B

x 2) e3x

Ax

x

Bx

x

Axe

sin 2x

Ae

sin 2x

110.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y =

¡

2x cos 3x + 2 sin 3x.

1)

2) (Ax2 + Bx) cos 3x + Cx sin 3x

(Ax + B) cos 3x + C sin 3x

¢

110.3.

Определить вид частного

¢

3)

(Ax2 + Bx) cos 3x + (Cx2

+ Dx) sin 3x

4) (Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x

00 + 4

0 + 402

=

¡

¡2 cos 5

¡ 42

решения дифференциального уравнения

2x

sin 5

¢.

y

y

y

e

x

x

x

y00

¡ 6y0 + 25y = e6x

39 cos 6x ¡ 130 sin 6x .

6e7x

дифференциального уравнения

110.8. Найти общее¡

решение

¢

y00 ¡ 14y0 + 49y = p

.

x

2

¡ 16

110.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 + 25y = 100 ctg 5x.

¡

110.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 7y1

+ y2

> y0

=

¡

8y

1

+

y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 0

è

y2(0) =

4

.

>

¡

:

ТР-31 Дифференциальные уравнения

113

Вариант

D - 111

111.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡

¡

¡2)

2x

¢.

2

y00

y0

2y = e¡2x

6x + 5

3)

Ax2x+ B

¢

4)

e¡

2

¡Ax + Bx¢

111.2.

¡

Ax + Bx

e¡

Ax + B

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y = 6 cos 3x + 3x sin 3x.

¢

3)

cos 3

+ (

2

4)

(

Ax2

+

) cos 3

+ (

Cx2

+

) sin 3

1)

A

x

Cx + D) sin 3x

2)

Bx

x

Dx

¢

x

111.3.

Определить вид частного решения дифференциального

Ax cos 3x + (Cx + Dx) sin 3x

(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x

1)¡e2x

0A cos 3x + B¡sin 3x

¡

уравнения

2) e2x¢.(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x

y00

4y + 13y = e2x

3 cos 3x

2 sin 3x

3)

e

2x

¡

2

cos 3x + Bx

2

¢

4)

e

2x¡

¢

¡Ax

sin 3x¢

¡Ax cos 3x + Bx sin 3x¢

111.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 6y0 + 9y = e¡3x¡

¡ 18x + 20¢.

111.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡решение

¢

.

y00 + 8y0 + 41y = e¡4x

50 cos 5x ¡ 20 sin 5x

4e3x

111.8.

дифференциального уравнения

y00

¡ 6y0 + 9y = ¡

x .

111.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

96

+ 16y =

.

cos2 4x

111.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 6y1 ¡ 5y2

>

¡

:

= 9y

6y

> y0

1

2

<

2

Вариант

D - 112

112.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡4x

0

¡

¡ 2)

2¢.

y00

3y

4y = e4x

4x + 5

3)

e4x¡Ax2+ B¢

4)

Ax + Bx

112.2.¡

¢

Ax + B

e

Ax + Bx

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 4y = 6x2 + 2x

¡

4.

1)

Ax3 + Bx2 + Cx + D 2) Ax2 + Bx + C

3)

Ax3 + Bx2 + Cx

4) Ax4 + Bx3 + Cx2

112.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 6y0

+ 25y = 3xe3x cos 4x:

e3x

¡(

¢

3)

e3x¡(Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x¢

4)

2

+

) cos 4

+ (

+

) sin 4

1)

3x

2)

3x

Ax2

Bx

x

Cx2

Dx

x

e

(Ax + B) cos 4x

e

(Ax + Bx) cos 4x

112.4. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 6y0 + 8y = 32x2 + 24x

¡

34.

y00

¡ 6y0 + 25y = 114 cos 4x + 12 sin 4x.

27

112.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 ¡ 3y0 =

1 + e¡3x .

112.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 + 4y =

40 tg 2x.

¡

112.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 5y1

+ y2

y1(0) = 7

y2(0) = 3

>

:

=

64y

11y

> y0

¡

1

¡

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

è

.

ТР-31 Дифференциальные уравнения

115

Вариант

D - 113

113.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)

3x

2

¡ 2)

3x

¢

y00 + 6y0

+ 9y = e3x

¡ 4x + 6 .

3)

e ¡Ax + Bx¢

4)

e

¡2Ax + B¢

Ax + B

Ax + Bx

113.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 16y = 3e¡2x cos 4x.

¢

3)

¡2x

¡

4)

2x

1)

e

2x

Ax cos 4x + Bx sin 4x

2) Axe¡2x cos 4x

113.3.

¡

¢

e¡

A cos 4x + B sin 4x

Ae¡

cos 4x

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 6y0

+ 25y = 5xe¡3x sin 4x:

e¡3x

¡(

¢

3)

¡3x

¡(Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x¢

4)

2

+

) cos 4

+ (

+

) sin 4

1)

e

3x

2)

3x

Ax2

Bx

x

Cx2

Dx

x

e¡

(Ax + B) sin 4x

e¡

(Ax + Bx) sin 4x

113.6. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 ¡y0 ¡12y = e¡3x¡42x ¡2¢.

113.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 6y0 + 13y = e9x

¡1458 cos 5x + 18 sin 5x¢.

113.8. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 12y0 + 36y = ¡p

4e6x

2

.

64 ¡ x

113.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 + 81y = 1134 ctg 9x.

113.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 10y1 ¡ y2

:

= 42y

3y

> y0

1

¡

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 5 è y2(0) = 33.

>

y00

4y

+ 4y = e2x

¡ ¡

3x

4

1)¡

2x

0

3

2

¡ ¢.

2)

2x

¡Ax2+ B¢

3)

e2x

¡Ax3

+ Bx2

+ Cx + D¢

4)

e2x

e

Ax + Bx

e

Ax + Bx

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

114.2.¡

¢

¡

¢

y00 + 25y = ¡3e¡3x sin 5x.

1) e

3x

2) Axe

3x

x

3)

¡

3¡xA cos 5x + B sin 5x¢

4)

e¡

3x¡

sin 5

Ae¡

sin 5x

Ax cos 5x + Bx sin 5x

114.3. Определить вид частного

решения дифференциального уравнения

¡

¢

y00 ¡ 4y0 + 40y = e2x(3x + 2):

1) e2x(Ax2 + Bx + C) 2) e2x(Ax + B)

3) e2x(Ax2 + Bx)

4) e2x(Ax3 + Bx2 + Cx)

y00

+ 64y = 48 cos 8x

¡

96 sin 8x.

114.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 4y0 + 4y = e¡3x

¡10x ¡ 13¢.

114.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡решение

¢

.

y00 + 6y0 + 34y = e¡3x

70 cos 5x ¡ 70 sin 5x

21e3x

114.8.

дифференциального уравнения

y00

¡ 6y0 + 9y = ¡

49 + x2 .

114.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 16y =

192

cos2 4x.

114.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

> y0

=

¡

4y

1

¡

3y

2

<

2

8 y10

= ¡3y1

+ 4y2

:

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 4 è y2(0) = 8.

>

ТР-31 Дифференциальные уравнения

117

y00 + 4y0 = 6x2 ¡ 2x + 1.

1)

Ax2 + Bx + C

2) Ax3 + Bx2 + Cx

3)

Ax3 + Bx2 + Cx + D

4) Ax4 + Bx3 + Cx2

115.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 16y = 3x cos 4x.

(Ax2+ B) cos 4x

3)

(Ax2+ B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x¢

4)

2

1)

2)

¢

115.3.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

(Ax + Bx + C) cos 4x

¢.

(Ax + Bx) cos 4x + (Cx + Dx) sin 4x

1)¡3x

0

¡

2) e3x Ax B

x C

x

y00

6y

+ 34y = e3x 2x cos 2x + 3 sin 2x

3)

e3x¡(Ax2+ B) cos 2x + (Cx +2D) sin 2x¢

¢

4)

3x

¡( 2

+

) cos 2 + sin 2

¢

115.4.¡Найти общее решение

e

¡

¢

e

(Ax + Bx) cos 2x + (Cx + Dx) sin 2x

Ax cos 2x + Bx sin 2x

дифференциального уравнения

y00 ¡ 7y0

+ 12y = 72x2 + 36x ¡ 106.

y00

+ 6y0 + 25y = 268 cos 3x

¡

84 sin 3x.

2e2x

115.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 4y0 + 4y = ¡p

.

x2 + 4

115.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 81y = 810 tg 9x.

¡

115.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 3y1 ¡ 5y2

y1(0) =

4

y2(0) = 8

>

¡

:

> y0

= 5y

1

¡

3y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

è

.

Вариант

D - 116

116.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 2y0 = e

2x

¡ ¡

3x + 1

1)

2x

¡

2)

¢.

3)

e¡ 2

¡Ax + B¢

4) Ax2x+ B 2

+ Bx

Ax

+ Bx

e¡

Ax

116.2. Определить вид

частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

y00 + 36y = 3x sin 6x.

+ Dx) sin 6x¢

1)

2

2

2)

3)

(Ax2 + Bx) cos 6x + (Cx

4) (Ax + B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x¢

(Ax + Bx + C) sin 6x

(Ax + B) sin 6x

116.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 4y0 + 29y = e¡2x

¡ ¡

2 cos 3x

3x sin 3x

1)

2x

¡

¢. 2)

2x

¡(Ax

2

+ Bx) cos 32x + (Cx

2

+ Dx) sin 3x¢

3)

e¡2x

¡(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x¢

4)

e¡2x

e¡

A cos 3x + (Cx + D) sin 3x

e¡

Ax cos 3x + (Bx + Cx) sin 3x

Найти общее решение дифференциального уравнения

¢

116.4. ¡

¢

¡

116.6. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 2y0 ¡ 8y = e5x¡21x ¡ 4¢.

116.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее¡

решение

¢

.

y00

+ 4y0 + 53y = e5x

606 cos 6x + 58 sin 6x

116.8.

дифференциального уравнения

y00

¡ 12y0 + 36y = p

2e6x

.

2

116.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

x

¡ 64

+ 81y = 1296 ctg 9x.

116.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡6y1 ¡ y2

:

= y

4y

> y0

1

¡

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 6 è y2(0) = 9.

>

ТР-31 Дифференциальные уравнения

119

y00 ¡ 7y0 + 6y = 5 cos 6x.

1)

A cos 6x

2) A cos 6x + B sin 6x

3)

Ax cos 6x

4) Ax cos 6x + Bx sin 6x

117.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y = 2x cos 3x

¡

2 sin 3x.

1)

(Ax2 + Bx) cos 3x + Cx sin 3x

¢

2) (Ax + B) cos 3x + C sin 3x

117.3. Определить вид частного

¢

3)

(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x

4) (Ax2 + Bx) cos 3x + (Cx2 + Dx) sin 3x

1)¡3x

0

¡

¡

¡

решения дифференциального уравнения

¢.

2) 3x

2

2

y00

6y

+ 34y = e3x

3 cos 5x

4 sin 5x

3)

e3x

¡A cos 5x + B sin 5x¢

4) e3x

¡Ax cos 5x + Bx sin 5x¢

e

¡(Ax + B) cos 5x + (Cx + D) sin 5x¢

e

¡Ax cos 5x + Bx sin 5x¢

y00

+ 36y = 256 cos 2x + 64 sin 2x.

117.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 3y0 ¡ 10y = e5x¡112x + 92¢.

117.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡решение

¢

.

y00 + 6y0 + 58y = e¡3x

84 cos 7x ¡ 84 sin 7x

2e5x

117.8.

дифференциального уравнения

y00

¡ 10y0 + 25y =

x .

100

117.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 25y =

¡cos2 5x.

117.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡5y1

+ y2

>

¡