Типовой расчет по дифференциальным уравнениям. Часть 2. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

22

ТР-31 Дифференциальные уравнения

y00 ¡ 8y0

+ 12y = 2e2x sin 6x.

¡2x

¢

3)

e

2¡xA cos 6x + B sin 6x¢

4)

cos 6

+

sin 6

1)

2x

2) e2x Ax

x

Bx

x

Ae

sin 6x

Axe

sin 6x

20.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 16y = 4 cos 4x

¡

3x sin 4x.

(Ax2+ B) cos 4x + (Cx +2D) sin 4x¢

3)

Ax cos 4x + (Cx

2

+ Dx) sin 4x

4)

1)

2)

¢

20.3.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

A cos 4x + (Cx + D) sin 4x

(Ax + Bx) cos 4x + (Cx + Dx) sin 4x

y00 + 4y0

+ 40y = e¡2x 6 cos 5x ¡ 4x sin 5x .

¡2x¡

¢

3)

¡2x

¡

2

2

¢

4)

1)

e

2x

¡

Ax cos 5x + (¡Bx2 + Cx) sin 5x

¢

¢

2) e

2x

(Ax + B) cos 5x + (Cx + D) sin 5x

20.4.

¡

¢

e¡

(Ax + Bx) cos 5x + (Cx + Dx) sin 5x

e¡

A cos 5x + (Cx + D) sin 5x

Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 4y0

+ 4y = 28x2 + 84x + 54.

20.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 64y = 144 cos 8x

¡

128 sin 8x.

20.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее ¡решение

¢

.

y00

¡ 6y0 + 25y = e9x

194 cos 3x + 57 sin 3x

40e2x

20.8.

дифференциального уравнения

y00

¡ 4y0 + 4y = ¡

64 + x2 .

20.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 81y = 648 ctg 9x.

¡

20.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 13y1

+ y2

¡

:

> y0

=

¡

63y

1

¡

3y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 4

è

y2

(0) = 42

.

>

ТР-31 Дифференциальные уравнения

23

Вариант

D - 21

21.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 6y0

¡

¢

.

+ 8y = e¡3x

4x ¡ 4

+ Bx¢

3)

e¡

¡Ax + B¢

4)

e¡

2

¡Ax

1)

3x

2)

3x

2

Ax + B

Ax + Bx

21.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 16y = 5x2 + 3x

¡

4.

1)

Ax2 + Bx + C

2) Ax3 + Bx2 + Cx + D

3)

Ax3 + Bx2 + Cx

4) Ax4 + Bx3 + Cx2

21.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)

e

3x0

Ax

x¡

Bx¡ sin 5x

2) e ¢3.x

A cos 5x + B sin 5x

y00 + 6y + 34y = e

3x

5 cos 5x + 3 sin 5x

3)

¡3x

¡

2cos 5

+

2

¢

4)

¡3x

¡

¢

e¡

¡Ax

cos 5x + Bx

sin 5x¢

e¡

¡(Ax + B) cos 5x + (Cx + D) sin 5x¢

21.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 6y0 + 9y =

p

5e3x

.

x2 + 49

21.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 81y =

1134

cos2 9x.

21.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 10y1

+ 6y2

:

=

6y

+ 10y

> y0

¡

1

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 6

è

.

>

y2(0) = 18

22.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡2x

0

2

¡

2)

2¢.

y00

3y

+ 2y = e2x

4x + 5

3)

e2x

¡Ax + Bx¢

4)

Ax + Bx

22.2.

¡

¢

Ax + B

e

Ax + B

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 4y = 2e3x cos 2x.

¢ 4)

3)

e

¡3x cos 2

+

sin 2

3x

cos 2

1)

3x

A

x

B

x 2) Ae3x

x

¢

22.3.

Определить вид частного

¡

Axe

cos 2x

e Ax cos 2x + Bx sin 2x

решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 8y0

+ 52y = 3xe4x cos 6x:

1)

e4x(Ax + B) cos 6x

¢

2) e4x(Ax2 + Bx) cos 6x

¢

22.4.

¡

¡

3)

e4x

(Ax + B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x

4) e4x (Ax2 + Bx) cos 6x + (Cx2

+ Dx) sin 6x

y00 + 6y0 + 45y =

¡

38 cos 4x

¡

164 sin 4x.

3e

2x

22.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 4y0 + 4y = ¡p

.

2

¡ 9

22.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

x

+ 81y = 648 tg 9x.

¡

22.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡2y1 ¡ 4y2

y1(0) = 6 è y2(0) =

12.

>

¡

:

> y0

= 10y

1

+ 2y

2

< 2

ТР-31 Дифференциальные уравнения

25

y00 + 36y = 6e¡2x sin 6x.

2x¡

3)

e¡

2¡xA cos 6x + B sin 6x¢

4)

sin 6

1)

2x

2) Axe

2x

x

23.3.

Определить вид частного

¡

¢

Ae¡

sin 6x

e¡

Ax cos 6x + Bx sin 6x

решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 8y0

+ 52y = ¡2xe4x sin 6x:

3)

e4x

(Ax2+ B) sin 6x

4)

e4x¡(Ax2+ B) cos 6x + (Cx +2D) sin 6x¢

1)

4x

2)

4x

e

(Ax + Bx) sin 6x

e ¡(Ax + Bx) cos 6x + (Cx + Dx) sin 6x¢

23.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 9y1

+ y2

>

¡

¡

:

= 64y

7y

> y0

1

2

< 2

24.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡5x

0

¡2) 5x

¢. 3

2

y00

10y

+ 25y = e5x 2x + 4

3) e5x

¡Ax3+ B¢ 2

¢

4) e5x

¡Ax2 + Bx + Cx + D¢

24.2.

¡

e

¡

¢

e

Ax + Bx

Ax + Bx

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y = 3x cos 3x.

+ Dx) sin 3x¢

(Ax2+ B) cos 3x

3)

(Ax

2

+ Bx) cos 3x + (Cx

2

4)

1)

¢

2)

24.3.

Определить вид частного

(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x

(Ax + Bx + C) cos 3x

решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 4y0 + 13y = e2x(6x + 5):

1) e2x(Ax + B)

2) e2x(Ax3 + Bx2 + Cx)

3) e2x(Ax2 + Bx) 4) e2x(Ax2 + Bx + C)

24.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡решение

¢

.

y00

¡ 8y0 + 52y = e4x

48 cos 6x + 36 sin 6x

54

24.8.

дифференциального уравнения

y00

+ 3y0 =

1 + e3x .

432

24.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 36y =

cos2 6x.

24.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

> y0

= 6y

1

¡

4y

2

<

2

8 y10

= ¡3y1

+ y2

:

¡

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 0

è

y2

(0) = 10

.

>

ТР-31 Дифференциальные уравнения

27

Вариант

D - 25

25.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 3y0 = 3x2 ¡ 1x ¡ 1.

1)

Ax3 + Bx2 + Cx

2) Ax4 + Bx3 + Cx2

3)

Ax3 + Bx2 + Cx + D

4) Ax2 + Bx + C

25.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 16y =

2x sin 4x.

1)

2

¡

2)

2

2

+ Dx) sin 4x¢

(Ax

+ Bx + C) sin 4x

(Ax

+ Bx) cos 4x + (Cx

3)

4)

(Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x

(Ax + B) sin 4x

25.3. Определить вид частного

решения дифференциального уравнения

¢

y00 + 6y0 + 25y = e¡3x

6x cos 2x + 4 sin 2x

1) e

3x

Ax

B

¡

x

Cx

D

¢x.

¢

2) e

3x

¡(

Ax

B

x

C

x

3)

¡3x

¡(

2+

) cos 2

+ (

+2

) sin 2

4)

¡3x

2 +

) cos 2 +

sin 2

¢

e¡

(Ax

+ Bx) cos 2x + (Cx

+ Dx) sin 2x

e¡

Ax cos 2x + Bx sin 2x

25.4.

Найти

общее решение

дифференциального уравнения

¢

¡

¢

¡

y00 + y0 ¡ 12y = ¡60x2 ¡ 50x + 63.

25.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 16y = 56 cos 3x

¡

14 sin 3x.

y00

+ 6y0 + 45y = 68 cos 4x

¡

154 sin 4x.

2e3x

25.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 6y0 + 9y = ¡p

9 ¡ x

2

.

25.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 64y = 896 tg 8x.

25.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 8y1 ¡ 3y2

y1

(0) = 9

y2

(0) = 9

>

:

¡

¡

> y0

= 3y

1

+ 8y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

è

.

Вариант

D - 26

26.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00

3y0 = e3x 3x ¡ 4 .

1)¡Ax2

Bx¡

2) e¢3x

Ax2

Bx

¢

3)

3x

+

4)

¡

+

e

Ax + B

Ax + B

26.2.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

y00 + 36y = 4x cos 6x + 5 sin 6x.

1)

¡

2)

2

2

+ Dx) sin 6x¢

3)

(Ax2+ B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x¢ 4)

(Ax

+ Bx) cos 6x + (Cx

(Ax + Bx) cos 6x + Cx sin 6x

(Ax + B) cos 6x + C sin 6x

26.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 6y0 + 25y = e¡3x

¡ 2 cos 5x ¡ 3x sin 5x

.

1) e

3x

(Ax + B) cos¡5x + (Cx + D) sin 5x

¢

2) e

3x

¡

A cos 5x + (Cx + D) sin 5x

3)

¡3x

¡

2

+ Cx) sin 5x

¢

4)

¡3x

(Ax

2

+ Bx) cos 5x + (Cx

2 ¢

e¡

Ax cos 5x + (Bx

e¡

+ Dx) sin 5x

26.4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

¢

¡

¢

¡

y00 + 4y0 + 4y = ¡16x2 ¡ 44x ¡ 0.

26.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 64y = 64 cos 8x

¡

64 sin 8x.

26.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 7y0 + 12y = e3x

¡

¡ 16x + 8¢.

26.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 4y0

+ 13y = e6x

816 cos 7x ¡ 528 sin 7x .

6e¡5x

дифференциального уравнения

26.8. Найти общее ¡решение

¢

y00 + 10y0 + 25y =

¡4 + x2 .

26.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 36y = 288 ctg 6x.

26.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 2y1 ¡ 4y2

> y0

= 5y

1 ¡

2y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) =

12

è

.

>

y2(0) = 12

:

¡

ТР-31 Дифференциальные уравнения

29

y00 ¡ 4y0

¡ 5y = 4 cos 5x.

1)

Ax cos 5x + Bx sin 5x

2) A cos 5x

3)

Ax cos 5x

4) A cos 5x + B sin 5x

27.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y = 2 cos 3x

¡

4x sin 3x.

+ Dx) sin 3x¢

3)

(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x¢

4)

(Ax

2

+ Bx) cos 32x + (Cx

2

1)

2)

A cos 3x + (Cx + D) sin 3x

Ax cos 3x + (Cx + Dx) sin 3x

27.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)

3x

2

¡

¡

2

¢.

2)

3x

y00 + 6y0

+ 45y = e

3x 5 cos 6x + 2 sin 6x

3)

e¡3x

¡Ax cos 6x + Bx sin 6x¢

4)

e¡3x

¡A cos 6x + B sin 6x¢

e¡

¡(Ax + B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x¢

e¡

¡Ax cos 6x + Bx sin 6x¢

y00

+ 16y = 28 cos 3x + 42 sin 3x.

27.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 6y0 + 9y = e8x¡

¡ 100x + 185¢.

27.7. Найти общее решение дифференциального уравнения