Типовой расчет по дифференциальным уравнениям. Часть 2. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

ТР-31 Дифференциальные уравнения

73

Вариант

D - 71

71.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 2y0 ¡ 8y = e3x ¡ 4x ¡ 4 .

1)

3x

2)

3x

2

¢

¡Ax + B¢

¡

3)

e

4)

e

¡2Ax + Bx¢

Ax + B

Ax + Bx

71.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y = 6e¡3x cos 3x.

1) Ae¡3x cos 3x

2) Axe¡3x cos 3x

3) e¡3x

Ax cos 3x + Bx sin 3x

4) e¡3x A cos 3x + B sin 3x

71.3.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

¡

¢

y00 ¡ 6y0

+ 34y = ¡3xe3x sin 5x:

1)

3x

¡(Ax2+ B) cos 5x + (Cx +2D) sin 5x¢

2)

3x

2

3)

e3x

4)

e3x

(Ax

+ Bx) sin 5x

e

(Ax + Bx) cos 5x + (Cx + Dx) sin 5x

e

(Ax + B) sin 5x

71.4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

¡

¢

y00 + 8y0 + 16y = 144x2 + 224x + 170.

71.5. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 9y = 10 cos 2x + 45 sin 2x.

71.6. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 8y0 + 16y = e4x¡24x + 4¢.

71.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 4y0

+ 20y = e5x

86 cos 3x + 12 sin 3x .

6e4x

дифференциального уравнения

71.8. Найти общее ¡решение

¢

y00 ¡ 8y0 + 16y = p

49 ¡ x

2 .

71.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 16y = 96 ctg 4x.

¡

71.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡3y1 + y2

> y0

= 24y

1

+

2y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) =

8

è

.

>

¡

y2(0) = 2

:

74

ТР-31 Дифференциальные уравнения

72.2.

¡

¢

¡

¢

3) e¡3x

Ax + B 4) e¡3x Ax2

+ Bx

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 16y = 4e¡2x sin 4x.

¢

¡

3)

¡2x¡

cos 4

+

sin 4

4)

2x

1) e

2x

¡

Ax

x

Bx

¢

x

2) Ae

2x sin 4x

72.3.

e¡

A cos 4x + B sin 4x

Axe¡

sin 4x

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 8y0

+ 52y = e4x(4x ¡ 4):

1) e4x(Ax2 + Bx) 2) e4x(Ax3 + Bx2 + Cx)

3) e4x(Ax + B)

4) e4x(Ax2 + Bx + C)

72.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡решение

¢

.

y00 ¡ 8y0 + 25y = e4x

36 cos 3x ¡ 36 sin 3x

6e6x

72.8.

дифференциального уравнения

y00

¡ 12y0 + 36y =

9 + x2 .

72.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

36

+ 9y =

.

cos2 3x

ТР-31 Дифференциальные уравнения

75

Вариант

D - 73

73.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡Ax2

Bx

2)¡e2x

Ax2

¢Bx

y00

8y0

+ 16y = e2x

¡ 3x + 6 .

3)

2x

¡

+

¢

4)

¡

+

¢

73.2.

Ax + B

e

Ax + B

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y =

¡

3x cos 3x.

(Ax2+ B) cos 3x + (Cx +2D) sin 3x¢

2

3)

(Ax

+ Bx + C) cos 3x

4)

1)

2)

¢

73.3. Определить вид частного решения дифференциального

(Ax + B) cos 3x

(Ax + Bx) cos 3x + (Cx + Dx) sin 3x

1) e

Ax B

¡

¡

x C

x 2) e¢. 3x

Ax2 Bx

уравнения

x

3x

x Cx2

Dx

y00 + 6y0

+ 13y = e

3x 2x cos 3x + 5 sin 3x

3)

¡3x

¡(

2 +

) cos 3

+

sin 3

¢

4)

¡3x

¡(

+

) cos 3

+ (

+ ) sin 3

¢

e¡

¡Ax

cos 3x + Bx sin 3x¢

e¡

¡(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x¢

73.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 2y0 ¡ 8y = e4x

¡ ¡ 48x ¡ 26¢.

73.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00

+ 6y0 + 18y =

¡

132 cos 5x

¡

159 sin 5x.

2e2x

73.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 4y0 + 4y = ¡p

.

x2 + 9

73.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 16y = 96 tg 4x.

¡

73.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 6y1

¡ 4y2

y1(0) = 4 è y2(0) =

4.

>

¡

:

> y0

= 10y

1

¡

6y

2

<

2

Вариант

D - 74

74.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡

4x

0

¡

2)

4x

¢.

2

y00

8y

+ 16y = e4x

6x + 6

3) e4x

¡Ax3+ B¢ 2

¢

4) e4x

¡Ax3 + Bx¢2

¢

74.2.

¡

e

¡

e

Ax + Bx

Ax + Bx + Cx + D

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 36y =

¡

4x sin 6x.

(Ax + B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x¢

(Ax2

3)

+ Bx + C) sin 6x

2

4)

1)

2

2)

74.3.

Определить вид частного решения¢дифференциального уравнения

(Ax + Bx) cos 6x + (Cx + Dx) sin 6x

(Ax + B) sin 6x

1) e

3x

Ax

B

¡

x + (Cx + D) sin 2¢x

2) e 3x

(Ax2 + Bx) cos 2x + (Cx2 + Dx) sin 2x

y00 + 6y0

+ 25y = e¡3x

6 cos 2x ¡ 2x sin 2x .

3)

¡3x

¡(

+ ) cos 2

2

¢

¢

4)

¡3x

¡

¢

74.4.

¡

e¡

¡

¢

e¡

Ax cos 2x + (Bx + Cx) sin 2x

A cos 2x + (Cx + D) sin 2x

Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 6y0

+ 9y = 54x2 + 162x + 45.

74.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 6y0 + 9y =

4e¡3x

74.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡px2 ¡ 81.

+ 16y = 160 ctg 4x.

74.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡3y1

+ y2

:

=

16y

+ 5y

> y0

¡

1

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 9

è

y2

.

>

(0) = 2

ТР-31 Дифференциальные уравнения

77

y00 ¡ 2y0 = 6x2 + 1x + 2.

1)

Ax4 + Bx3 + Cx2

2) Ax3 + Bx2 + Cx

3)

Ax2 + Bx + C

4) Ax3 + Bx2 + Cx + D

75.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 25y = 5x cos 5x

¡

2 sin 5x.

¢

3)

(

+

) cos 5

+ (

+

) sin 5

4)

(

2

+

) cos 5

+

2

1)

Ax

B

x

Cx

D

x

2)

Ax2

Bx

x

Cx sin 5x

¢

75.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

(Ax + B) cos 5x + C sin 5x

4x¢.

(Ax + Bx) cos 5x + (Cx + Dx) sin 5x

1)¡4x

0

2

¡

2

2)

y00

8y

+ 52y = e4x

4 cos 6x + 2 sin 6x

3)

e4x

¡Ax cos 6x + Bx sin 6x¢ 4)

e4x

¡A cos 6x + B sin 6x¢

e

¡Ax cos 6x + Bx sin 6x¢

e

¡(Ax + B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x¢

75.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 8y0 + 16y = e4x

¡

¡ 24x + 14¢.

75.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡решение

¢

.

y00 + 4y0 + 8y = e¡2x

8 cos 2x + 12 sin 2x

75.8.

дифференциального уравнения

y00

¡ 4y0 + 4y = ¡

2e2x

x .

490

75.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 49y =

¡cos2 7x.

75.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 15y1

+ y2

>

¡

¡

:

= 108y

6y

> y0

1

2

<

2

Вариант

D - 76

76.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)

2x

2

¡

¡

2)

¢

.

y00 + 2y0

= e¡2x

3x ¡ 1

3)

e¡

2

¡Ax + Bx¢

4)

Ax2x+ B

¢

76.2.

Определить вид

e¡

¡

Ax + Bx

Ax + B

y00 + 25y =

частного решения дифференциального уравнения

¡

4 cos 5x + 3x sin 5x.

1)

2

2

2)

+ Bx) cos 52x + (Cx

3)

(Ax

+ Dx) sin 5x¢ 4)

A cos 5x + (Cx + D) sin 5x

¢

76.3.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

Ax cos 5x + (Cx + Dx) sin 5x

(Ax + B) cos 5x + (Cx + D) sin 5x

y00 ¡ 6y0

+ 25y = 4xe3x cos 4x:

+ Dx) sin 4x¢

1)

e

(Ax

+ Bx) cos 4x

4)

e3x¡(Ax

+ Bx) cos 4x + (Cx

3x

2

2)

3x

2

2

16

76.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 2y0 =

.

1 + e2x

76.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 64y = 512 tg 8x.

76.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡4y1

+ 6y2

12.

>

y1(0) = 6 è y2(0) =

:

¡

¡

> y0

=

¡

6y

1

¡

4y

2

<

2

80

ТР-31 Дифференциальные уравнения

1)

A sin 6x

2)

Ax cos 6x + Bx sin 6x

3)

A cos 6x + B sin 6x

4)

Ax sin 6x

78.3.

¡

¢

¡

¢

3) e¡2x Ax cos 5x + Bx sin 5x

4) e¡2x

A cos 5x + B sin 5x

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 6y0 + 45y = e¡3x(¡3x + 3):

1) e¡3x(Ax2 + Bx) 2) e¡3x(Ax2 + Bx + C)

3) e¡3x(Ax + B)

4) e¡3x(Ax3 + Bx2 + Cx)

y00

+ 16y = 72 cos 4x

¡

40 sin 4x.

78.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 6y0 + 9y = e6x¡

¡ 162x + 288¢.

78.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00

+ 6y0 + 9y =

Найти общее

¡

¢

.

y00 + 4y0 + 53y = e¡2x

84 cos 7x ¡ 42 sin 7x

4e¡3x

78.8.

решение дифференциального уравнения

¡px2 + 4.

78.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 36y =

144

cos2 6x.

78.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

y0

=

4y

+

y2

> y10

=

361y

8y

y1(0) =

4 y2(0) =

3

>

¡

:

2

¡ 1

¡

2

¡

<

удовлетворяющее начальным условиям

è

.

ТР-31 Дифференциальные уравнения

81

y00 ¡ 7y0

+ 12y = 5e4x cos 3x.

3)

4x

¡

cos 3

+

sin 3

¢

4)

4x

1)

e4x

Ax

x

Bx

x

2) Ae4x cos 3x

e A cos 3x + B sin 3x

Axe

cos 3x

79.2.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

y00 + 25y = 4e3x sin 5x.