Типовой расчет по скалярным функциям векторного аргумента. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdfÓÄÊ 517.2(07) Å741
Типовой расчет по скалярным функциям векторного аргумента.
Рецензенты: кафедра естественнонаучных дисциплин ЛФ НОУ ВПО "Международный институт компьютерных технологий",
[Электронный ресурс]: сетевое обновляемое электрон. учеб. пособие/
Ю.Д.Ермолаев.-Электрон.дан.(0.58 Мб). Липецк:Издательство ЛГТУ, 2014. 126 с. Режим доступа:http://www.stu.lipetsk.ru/education/chair/kaf-vm/mu/
Систем. требования: Intel Pentium (или аналогичный процессор других производителей), 512 Мб оперативной памяти, Adobe Reader 9.0 (или аналогичный продукт для чтения файлов формата pdf).
Типовой расчет предназначен для студентов направлений 010800.62, 220100.62, 230100.62, 232000.62 и других, изучающих высшую математику по программе технического вуза. Представлены 120 вариантов типового расчета по скалярным функциям векторного аргумента. В типовом расчете 11 заданий, в которых отражены основные темы по дифференцированию СФВА и исследование на экстремум.
Ключевые слова: функция нескольких переменных; частное приращение функции; полное приращение функции; частная производная; частный дифференциал; полный дифференциал; частные производные высших порядков; дифференциалы высших порядков; экстремум функции нескольких переменных
°c Липецкий государственный
технический университет, 2014 °c Ермолаев Юрий Данилович, 2014
3
СОДЕРЖАНИЕ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
1.Область определения функции
2.Область в трехмерном пространстве
3.Производная неявной функции
4.Частные производные функции двух переменных
5.Полное приращение функции
6.Полный дифференциал функции двух переменных
7.Смешанные производные функции двух переменных
8.Вторая производная функции двух переменных
9.Второй дифференциал функции двух переменных
10.Разложение функции двух переменных по формуле Тейлора
11.Наименьшее (наибольшее) значения функции на компакте
12.Критические точки функции трех переменных
13.Исследование функции двух переменных на экстремум
14.Касательная плоскость к поверхности
15.Нормаль к поверхности
4
 à ð è à í ò 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5  à ð è à í ò 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15  à ð è à í ò 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  à ð è à í ò 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  à ð è à í ò 41. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  à ð è à í ò 51. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  à ð è à í ò 61. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65  à ð è à í ò 71. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75  à ð è à í ò 81. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85  à ð è à í ò 91. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95  à ð è à í ò 101. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105  à ð è à í ò 111. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115
Типовой расчет по СФВА |
5 |
1. (u®)0 = ®u®¡1 ¢ u0
2. (au)0 = au ¢ ln a ¢ u0
3. (eu)0 = eu ¢ u0 |
u0 |
|
||||||||||
4. |
(loga u)0 = |
|
|
|
|
|||||||
|
u ¢ ln a |
|||||||||||
5. |
(lna u)0 |
= |
|
u0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
(sin u)0 |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|||
6. |
= cos u ¢ u0 |
|||||||||||
7. |
(cos u)0 |
= ¡ sin u ¢ u0 |
||||||||||
8. |
(tg u)0 = |
|
|
|
u0 |
|
|
|
|
|||
cos2 u |
|
|
||||||||||
9. |
(ctg u)0 |
= ¡ |
|
u0 |
||||||||
sin2 u |
|
|||||||||||
Таблица производных
10. |
(arcsin u)0 |
= |
|
|
|
|
|
u0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
p1 ¡ u2 |
|
|||||||||||||
11. |
(arccos u)0 |
= ¡p |
u0 |
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
||||||||||||
12. |
(arctg u)0 = |
|
|
u0 1 ¡ u |
|
||||||||||
1 + u2 |
|
|
|||||||||||||
13. |
(arcctg u)0 |
= ¡ |
|
|
u0 |
|
|||||||||
1 + u2 |
|
|
|||||||||||||
14. |
(sh u)0 |
= ch u ¢ u0 |
|
||||||||||||
15. |
(ch u)0 |
= sh u ¢ u0 |
|
||||||||||||
16. |
(thu)0 = |
|
u0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ch2 u |
|
||||||||||||||
17. |
(cth u)0 = ¡ |
|
|
u0 |
|
||||||||||
sh2 u |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные формулы |
|
|
|||||||||||||||||||||||
1. F (x; y) = 0 ) |
|
dy |
= ¡ |
Fx0 (x; y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
|
Fy0(x; y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@z |
|
|
|
|
|
|
|
Fx0 (x; y) |
|
@z |
|
(x; y) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2. F (x; y; z) = 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
= ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
@x |
Fz0(x; y) |
@y |
Fz0(x; y) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. dz(x; y) = |
@z |
dx + |
@z |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
@x |
|
|
|
|
|
|
|
@y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. du(x; y; z) = |
@u |
dx + |
@u |
dy + |
|
|
@u |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x |
|
|
|
|
|
@y |
|
|
|
|
|
|
|
@z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5. dy(x1; x2; : : : ; xn) = |
|
|
@y |
dx1 + |
|
|
@y |
dx2 |
+ : : : + |
|
@y |
dxn |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@xn |
|
|
|
|
|||||||||||||
6. dy(x1; x2; : : : ; xn) = |
|
|
n |
|
|
|
|
|
@y |
|
dxi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
i=1 |
@x |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7. d2z(x; y) = |
@2z |
|
|
dx2 |
|
P |
|
@2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@2z |
dy2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
@x2 |
|
|
@x@y |
|
@y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8. d2u(x; y; z) = |
@ |
dx + |
@ |
dy + |
@ |
dz 2u = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡@x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@z |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
@2u |
|
|
@2u |
|
|
|
@2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@2u |
|
|
|
|
|
|
|
@2u |
|
|
@2u |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx2 |
+ |
|
|
|
|
dy2 + |
|
|
|
|
|
|
dz2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy + 2 |
|
|
|
|
dxdz + 2 |
|
dydz |
|||||||||||||||||||||||||
|
@x2 |
|
@y2 |
|
@z2 |
|
@x@y |
|
@x@z |
@y@z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
9. dny(x1; x2; : : : ; xm) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
dxj |
n |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
=1 |
|
@x |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡jP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6 Типовой расчет по СФВА
Вариант 1
1. Нарисовать область определения функции |
|
4 |
+ ln(y ¡ 5x2). |
z = p25 ¡ x2 ¡ y2 |
|
2. Нарисовать тело, ограниченное поверхностями
x = 3; x = 5; y = 2; y = 4; z = ¡3; x + y + z = 7.
3. Вычислить производную yx0 неявной функции
(3x2 + 2x ¡ 3)(¡2y + 3) + (4x ¡ 3)(¡3y2 + 4y + 1) = 732 в точке (¡3; ¡3).
4. |
Вычислить частные производные функции |
||||||||||||||
z = |
¡3y2 ¡ 2x ¡ 2 |
|
( 1; |
¡ |
1). |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
e2y¡2x |
, в точке ¡ |
|
|
|
|
|||||
5. |
Вычислить полное приращение функции z |
||||||||||||||
z = |
¡2x2 + 3y2 |
|
x = 1, y = 2, |
x = 0:1, |
y = 0:3. |
||||||||||
|
|
|
¡3x ¡ 3y , åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
||||||||||||||
|
|
3x2 |
+ 2y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z = |
|
|
|
|
, åñëè x = ¡2, y = 2, |
x = ¡0:2, |
|
y = ¡0:2. |
|||||||
|
3x |
¡ |
3y |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|||||||||||||
z = ( |
¡ |
3x + 3y)e2x¡4y в точке ( |
2; |
|
1). |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
|
||
8. Вычислить вторую производную zxx00 (0; 0) функции z = e¡5x+3y cos(3x + 4y).
9. Вычислить значение второго дифференциала функции
4x ¡ 2y
z = 3x + 2y в точке Mo(¡3; ¡3), åñëè dx=-0.4, dy=0.3
10.Коэффициент при x3 в разложении функции z = 6 tg (3x + 2y) по формуле Маклорена равен
11.Найти наименьшее значение функции z = 6x2 + 3y2 + 72x ¡ 12y + 43 ïðè
условии fx2 + y2 · 49, 3x ¡ 6y · 0g.
12. Найти координаты критической точки функции
u = 2x2 + 5xy + 5y2 ¡ 3z2 + 2x ¡ 5y ¡ 18z + 41.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = 6x2 + 2xy + 5y2 + 32x ¡ 14y + 38.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
5x2 + 3y2 + 3z2 = 44 в точке (1; ¡3; 2) и определить аппликату точки ее пересечения с осью Oz.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 4x2 ¡ 2y2 ¡ z2 = 33
в точке (3; ¡1; 1) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOy.
Типовой расчет по СФВА |
7 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
1. |
Нарисовать |
область определения функции |
||||
|
|
|
|
|
||
z = 2p4 ¡ x2 ¡ y2 + py ¡ 4x2. |
|
|||||
2. |
Нарисовать тело, ограниченное поверхностями |
|||||
x = 1; y = 2; x + y = 5; x + y + z = 9. |
||||||
3. |
Вычислить производную yx0 |
неявной функции |
||||
sin(4x2 + 3x + 3) + cos(2y2 + 3y ¡ 3) + tg(5x + 4y ¡ 2xy) = C в точке (0; ¡3).
4. |
Вычислить частные производные функции |
|
||||
z = |
¡2x2 ¡ 3y ¡ 2 |
( 3; 2). |
|
|||
e¡3y¡2x |
|
|||||
|
|
, в точке ¡ |
|
|||
5. |
Вычислить полное приращение функции |
z |
||||
z = (3x2 + 4y2 ¡ 2xy) ¢ sin |
xy |
|
||||
|
, åñëè x = ¡1, y = ¡1, |
x = 0:2, y = 0:1. |
||||
6 |
||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|||||
z = (3x2 + 5y2 + 3xy) ¢ cos xy, åñëè x = 0, y = 2, x = 0:1, y = 0:1.
7. Вычислить смешанную производную
z = (¡3x + 3y) sin2 ¡24¼ (x ¡ y)¢ в точке (¡2; 4).
8. Вычислить вторую производную zxy00 (0; 0)
z = e¡4x+3y cos(¡3x ¡ 4y).
функции
функции
9. Вычислить значение второго дифференциала функции
3x ¡ 3y
z = 5x + 3y в точке Mo(1; ¡3), åñëè dx=0.2, dy=-0.3
10.Коэффициент при y3 в разложении функции z = ¡3 tg (3x + 3y) по формуле Маклорена равен
11.Найти наименьшее значение функции z = 6x2 + 4y2 + 48x + 24y + 50 ïðè
условии fx2 + y2 · 36, 5x + 5y · 0g.
12. Найти сумму всех координат всех критических точек функции
u = ¡13x3 ¡ 13y3 + 3x2 ¡ y2 ¡ 3z2 ¡ 8x + 3y ¡ 12z + 31.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = ¡5x2 + 2xy ¡ 2y2 ¡ 28x + 2y + 27.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
2x2 + 5y2 + 2z2 = 15 в точке (1; ¡1; 2) и определить ординату точки ее пересечения с осью Oy.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 3x2 ¡ y2 ¡ 2z2 = 8
в точке (¡3; 1; ¡3) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOz.
8 Типовой расчет по СФВА
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
|
|
1. |
Нарисовать область определения функции |
|
|
|||||||||||||||||
z = |
|
|
4 |
|
|
+ ln(x ¡ 10y2). |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x2 |
+ y2 ¡ 9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нарисовать тело, ограниченное поверхностями |
|
||||||||||||||||||
x = 7; y = 8; x + y = 5; x + y + z = 5. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
Вычислить производную yx0 |
неявной функции |
|
|||||||||||||||||
(4x2 + 3xy ¡ 3y2)(¡2x ¡ 2y) = ¡730 в точке (4; 1). |
|
|
||||||||||||||||||
4. |
Вычислить частныå производные функции |
z |
|
|||||||||||||||||
5. |
Вычислить |
|
|
|
|
¡ |
¼ |
¢ |
|
|
|
|
||||||||
z = (¡2x2 ¡ 3y + 3) sin |
3 |
(x ¡ y) |
в точке (4; 1). |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
полное приращение функции |
|
|
||||||||||||
z = (4x2 + 2y2 + 2xy) ¢ cos |
|
xy |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
, åñëè x = ¡2, y = 2, |
x = 0:3, |
y = 0:2. |
||||||||||||||||
|
6 |
|||||||||||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|||||||||||||||||||
z = (3x2 |
+ 2y2 + 2xy) ¢ cos xy, åñëè x = ¡1, y = 0, |
x = ¡0:1, |
y = ¡0:2. |
|||||||||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|||||||||||||||||
8. |
Вычислить |
|
|
¡ |
¼ |
|
|
|
¢ |
|
zyy00 (0; 0) |
|
|
|
||||||
z = (¡2x ¡ 2y) cos2 |
|
4 |
(x ¡ y) в точке (3; 2). |
|
|
|
||||||||||||||
z = e¡2x+3y cos( |
|
вторую производную |
|
функции |
|
|||||||||||||||
|
4x + 2y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
|||||||||||||||||||
z = |
6x ¡ 2y |
|
|
|
|
|
M |
(3; 2), åñëè dx=0.1, dy=-0.3 |
|
|||||||||||
5x + 3y в точке |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
o |
|
¡ |
|
|
|
|
|
||||||||||
10.Коэффициент при x2y в разложении функции z = 3 tg (¡2x + 2y) по формуле Маклорена равен
11.Найти наименьшее значение функции z = 4x2 + 5y2 ¡ 32x ¡ 30y + 46 ïðè
условии fx2 + y2 · 36, 2x + 5y ¸ 0g.
12. Найти координаты критической точки функции
u = 4x2 + 3xy + 4y2 ¡ 3z2 + 10x ¡ 10y + 6z + 37.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = 4x2 + 2xy + 6y2 ¡ 12x + 20y + 38.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
5x2 + 2y2 + 3z2 = 59 в точке (¡3; ¡1; ¡2) и определить абсциссу точки ее пересечения с осью Ox.
15. Найти уравнение нормали к поверхности x2 ¡ 2y2 ¡ 5z2 = ¡29 в точке (3; ¡3; 2) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью yOz.
Типовой расчет по СФВА |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Нарисовать |
область определения функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
z = 3p9 ¡ x2 ¡ y2 + px ¡ 7y2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2. |
Нарисовать тело, ограниченное поверхностями |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
z = 6(x2 |
+ y2) + 8; z = 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
Вычислить производную yx0 |
неявной функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4x2 + 2xy ¡ 3y2 ¡ 11 |
= 1 в точке ( 3; 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
¡3x2 ¡ 2xy + 4y2 |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
Вычислить частныå производные функции |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
z = (¡3x2 ¡ 2y ¡ 1) cos |
¼ |
|
|
|
в точке (2; ¡1). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6 (x ¡ y) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5. |
Вычислить |
полное приращение функции |
u |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
¡ |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
u = |
2x |
¡2xyz |
2z , åñëè |
x = |
¡ |
2, |
y = 3, z = |
¡ |
2, |
x = |
¡ |
0:1, |
y = 0:1, z = |
¡ |
0:1. |
|||||||||||||
|
|
¡ |
3y |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
z = (2x2 |
¡ 3y2 |
+ 5xy) ¢ sin xy, åñëè x = 0, y = 2, |
x = ¡0:1, |
y = 0:1. |
|
|
||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
z = 2xye2x¡4y |
в точке (2; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8. |
Вычислить вторую производную zxx00 |
(0; 0) функции z = e¡2x¡5y sin(5x + 4y). |
||||||||||||||||||||||||||
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
z = |
3x + 8y |
|
|
|
|
|
Mo(¡3; ¡2), åñëè dx=0.2, dy=-0.1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
2x |
¡ |
2y в точке |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. Коэффициент при xy2 |
в разложении функции z = 3 tg (3x + 3y) ïî |
|||||||||||||||||||||||||||
формуле Маклорена равен
11. Найти наибольшее значение функции z = 6(x2 + y2) ¡ 36x ¡ 34 при условии fx2 + y2 · 16, p105x + 4y ¸ 0g.
12. Найти сумму всех координат всех критических точек функции
u = ¡13x3 + 13y3 ¡ 2x2 ¡ y2 ¡ 4z2 ¡ 3x ¡ 8y + 16z + 36.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = ¡4x2 + 6xy ¡ 4y2 + 20x ¡ 22y + 32.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
3x2 + 4y2 ¡ z2 = 27 в точке (¡3; 1; ¡2) и определить аппликату точки ее пересечения с осью Oz.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 2z = 3x2 + 5y2 ¡ 28 в точке (3; 1; 2) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOy.
10 Типовой расчет по СФВА
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Нарисовать область |
определения функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
z = 3 arcsin (x |
2 |
|
2 |
) + |
p |
7x ¡ 5y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
Нарисовать тело, ограниченное |
поверхностями |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3. |
Вычислить |
|
|
|
|
|
p |
yx0 неявной функции |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
z = 4(x2 |
+ y2) + 3; z = 4 ¡ x2 |
+ y2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(2x2 + 4x + 3)(¡3y) + (3x + 3)(3y2 ¡ 3y ¡ 1) = 156 в точке (1; ¡2). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4. |
Вычислить сумму ÷астных производных функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5. |
Вычислить |
|
|
¡ |
¼ |
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z = (3x ¡ 3xy + 4y) sin |
|
24(x ¡ y) в точке (2; ¡2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полное приращение функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4x2 + 3y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z = |
|
|
, åñëè x = ¡1, y = ¡2, x = ¡0:1, |
|
y = 0:1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4x + 4y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
z = (4x2 |
+ 4y2 |
+ 4xy) ¢ sin xy, åñëè x = 1, y = 0, |
|
x = ¡0:1, |
y = ¡0:2. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
z = (¡2x ¡ 2y)e6x+2y в точке (¡1; 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8. |
Вычислить вторую производную z00 (0; 0) функции z = e¡3x¡4y sin(2x |
¡ |
3y). |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
7x + 5y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z = |
|
|
|
|
в точке Mo(¡1; ¡2), åñëè dx=0.2, dy=-0.3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3x |
¡ |
3y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
10. Коэффициент при |
x |
в разложении |
функции |
z = ¡2 sin |
(3x + 3y) |
ïî |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
формуле Тейлора в окрестности точки (0; |
|
) равен |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
11. Найти наименьшее значение функции z = ¡38 + 48x ¡ 4(x2 + y2) при условии fx2 + y2 · 49, p55x + 3y ¸ 0g.
12. Найти координаты критической точки функции
u = 4x2 + 7xy + 6y2 ¡ 3z2 + 23x + 26y + 18z + 33.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = 6x2 ¡ 3xy + 4y2 ¡ 33x + 30y + 41.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
5x2 + y2 ¡ 3z2 = 34 в точке (3; ¡1; ¡2) и определить ординату точки ее пересечения с осью Oy.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 2z = 3x2 + y2 ¡ 32
в точке (3; 1; ¡2) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOz.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Типовой расчет по СФВА |
|
|
|
|
|
11 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Нарисовать2 |
область |
определения функции |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
) + |
p |
4x + 7y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
z = 4 arccos (¡x |
¡ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. |
Нарисовать тело, ограниченное поверхностями |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
z = 1(x2 + y2) + 5; z = 7 ¡ 1(x2 + y2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3. |
Вычислить производную yx0 |
неявной функции |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
sin(2x2 + 2x ¡ 2) + cos(3y2 ¡ 3y + 2) + tg(3x + 2y ¡ 2xy) = C в точке (2; 0). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Вычислить сумму ÷àстных производных функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Вычислить |
|
|
|
|
¡ |
|
¼ |
|
|
|
|
¢ |
в точке (2; ¡1). |
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
z = (4x + 2xy + 4y) cos |
|
18 |
(x ¡ y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
полное приращение функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
z = (3x2 + 3y2 + 2xy) ¢ sin |
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
, åñëè x = ¡2, y = ¡2, |
x = 0:3, y = ¡0:1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
z = |
¡3xy |
|
|
x = 1, y = 1, |
|
|
x = 0:2, |
y = |
¡ |
0:1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2x |
¡ |
3y , åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
8. |
Вычислить |
|
¡ |
¼ |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
|
|
|
|
|
||||||||||
z = (¡3x + 4y) sin2 |
|
20 |
(x ¡ y) |
в точке (3; ¡2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
вторую производную |
z00 (0; 0) |
|
|
|
z = e |
5x+4y |
sin(3x 3y) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4x + 8y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z = |
|
|
|
в точке Mo(1; ¡2), åñëè dx=-0.4, dy=-0.2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6x |
¡ |
3y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
10. Коэффициент при (y ¡ |
) |
в разложении функции z = 2 sin |
(3x ¡ 2y) ïî |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
формуле Тейлора в окрестности точки (0; |
¼ |
) равен |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. Найти наименьшее значение функции z = ¡30 ¡ 20x ¡ 5(x2 + y2) при условии fx2 + y2 · 16, p33x + 4y · 0g.
12. Найти сумму всех координат всех критических точек функции
u = ¡13x3 ¡ 13y3 + x2 + y2 + 2z2 + 8x + 3y ¡ 12z + 38.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = ¡5x2 + 2xy ¡ 6y2 + 34x ¡ 30y + 34.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
x2 + 2y2 ¡ 3z2 = 19 в точке (¡2; 3; 1) и определить абсциссу точки ее пересечения с осью Ox.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 2z = x2 + 6y2 ¡ 53
в точке (1; 3; 1) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью yOz.