Типовой расчет по скалярным функциям векторного аргумента. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

Типовой расчет по СФВА

33

Вариант

28

1.

Нарисовать область определения функции

z = ¡3p49 ¡ x2

¡ y2 + 5px2 + y2

¡ 4.

2.

Нарисовать тело, ограниченное

поверхностями

3.

Вычислить

p

yx0

неявной функции

x2

+ y2

+ (z ¡ 9)2 = 9; z = 5 x2 + y2 + 6.

производную

(4x2 + 4xy + 2y2)(¡2x ¡ 2y) = ¡1080 в точке (3; 3).

4.

Вычислить частныå производные функции

u

¡

¼

¡

z = (¡2x2 ¡ 2y + 4) cos

8 (x ¡ y)

в точке (4; 0).

5.

Вычислить полное приращение функции

u =

2xyz

x = ¡2, y = 3, z = 3,

x = 0:1, y = 0:3,

z = 0:3.

3x

¡

2y

¡

2z , åñëè

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z = (4x2 + 3y2

+ 3xy) ¢ sin xy, åñëè x = 0, y = 2,

x = ¡0:1, y = ¡0:1.

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

8.

Вычислить

¡

¼

¢

zxx00 (0; 0)

z = (¡2x + 3y) sin2

4

(x ¡ y)

в точке (3; 2).

z = e¡5x+3y cos(

вторую производную

функции

4x + 3y).

¡

9.

Вычислить значение второго дифференциала функции

3x + 5y

z =

в точке Mo(1; ¡2), åñëè dx=-0.1, dy=0.1

4x + 3y

Вариант 29

1.

Нарисовать область определения функции

z = 4p(64 ¡ x2

¡ y2)(x2

+ y2 ¡ 9).

2.

Нарисовать тело, ограниченное

поверхностями

x2

x0 p

+ y2 + (z ¡ 4)2 = 36; z = 10 ¡ 7 x2 + y2.

3.

Вычислить производную y

неявной функции

¡2x2 + 2xy ¡ 3y2 + 92

= 1 в точке (

¡

2; 4).

¡3x2 + 2xy + 3y2

4.

Вычислить сумму ÷астных производных функции

5.

Вычислить

¡

¼

¢

z

z = (4x ¡ 2xy + 4y) sin

8

(x ¡ y)

в точке (¡1; ¡3).

полное приращение функции

z =

4x2 ¡ 2y2

x =

¡

2, y =

¡

2,

x =

¡

0:2,

y = 0:1.

¡

2x + 4y , åñëè

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z = (4x2

¡ 2y2 ¡ 3xy) ¢ sin xy, åñëè x = ¡1, y = 0, x = 0:1, y = ¡0:2.

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

8. Вычислить

¡

¼

¢

z = (2x ¡ 3y) cos2

8

(x ¡ y) в точке (3; 1).

вторую производную

z00

(0; 0)

функции

z = e

4x

¡

5y

cos( 5x

2y)

.

xy

¡

¡

9.

Вычислить значение второго дифференциала функции

5x + 7y

z =

в точке Mo(¡2; ¡2), åñëè dx=-0.4, dy=0.4

5x

¡

2y

Типовой расчет по СФВА

35

Вариант

30

1.

Нарисовать

область определения функции

z = 3

y ¡ x2 + 4x

s

.

y + x2 + 7x

2.

Нарисовать тело,

ограниченное

поверхностями

3.

p

ypx0 неявной функции

z = 9 + 64 ¡ x2 ¡ y2

; z = 1 + 4 x2

+ y2.

Вычислить производную

¡2x2 + 2xy ¡ 3y2 + 15

= 4x + 2y в точке (1; 1).

¡2x + 4y

4.

Вычислить сумму ÷àстных производных функции

5.

Вычислить

¡

¼

¢

z

z = (2x + 2xy ¡ 2y) cos

12(x ¡ y) в точке (0; ¡3).

полное приращение функции

z = (¡2x2 + 2y2 + 5xy) ¢ sin

xy

x = 1, y = 2,

x = 0:1,

y = ¡0:1.

9 , åñëè

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z =

3xy

, åñëè x = ¡1, y = ¡2,

x = ¡0:1,

y = ¡0:1.

¡3x + 3y

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z = 4xye3x¡2y в точке (2; 3).

8.

Вычислить вторую производную zyy00 (0; 0) функции

z = e¡5x¡4y cos(

5x

¡

2y).

¡

9.

Вычислить значение второго дифференциала функции

z =

2x ¡ 3y

M (

¡

1; 3), åñëè dx=0.2, dy=-0.1

4x + 3y в точке

o

10. Коэффициент при

x

2

в разложении

функции

z = ¡3 sin

2

(¡3x ¡ 3y)

ïî

¼

формуле Тейлора в окрестности точки (0;

) равен

6

11. Найти наибольшее значение функции z = 5(x2 + y2) + 20x ¡ 31 ïðè

условии fx2 + y2 · 16, p

x + 6y · 0g.

45

12. Найти сумму всех координат всех критических точек функции

1

1

u = ¡

x3 +

y3 + 2x2 + y2 ¡ 3z2 ¡ 3x ¡ 3y ¡ 6z + 37.

3

3

Вариант 31

1.

Нарисовать область определения функции

z = ¡3p(y ¡ x2 + 2x)(y + x2 + 6x).

2.

Нарисовать

òåëî,

ограниченное

поверхностями

p

x0

p

z = ¡12 ¡ 16 ¡ x2 ¡ y2; z = ¡8 ¡ 7 x2 + y2.

3.

Вычислить производную y

неявной функции

4.

Вычислить сумму чаñтных производных функции

z = ¡(3x ¡ 2xy + 1y) sin2

¡

¼

¢

z

8

(x ¡ y) в точке (¡2; 2).

5.

Вычислить полное приращение функции

z = (¡2x2 + 2y2 + 5xy) ¢ cos

xy

x = 1, y = 1,

x = ¡0:1, y = 0:1.

8 , åñëè

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z =

¡3x2 + 3y2

x = 1, y = 2,

x =

¡

0:2,

y = 0:2.

2x + 4y

, åñëè

¡

¡

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z = (¡3x ¡ 3y)e3x+3y в точке (¡1; 1).

8.

Вычислить вторую производную zxx00 (0; 0) функции

Типовой расчет по СФВА

37

Вариант 32

1.

Нарисовать область определения функции

z = ¡2p(x + y ¡ 2)(x ¡ y + 7).

2.

Нарисовать тело,

ограниченное поверхностями

3.

p

ypx0 неявной функции

z = 3 + 81 ¡ x2

¡ y2; z = 11 ¡ 4 ¡ x2 ¡ y2.

4.

Вычислить сумму чаñòных производных функции

5.

Вычислить полное

¡

¼

¢

u

z = (¡2x + 4xy ¡ 2y) cos2

12

(x ¡ y) в точке (5; ¡1).

приращение функции

u =

3xyz

x = 1, y = 3, z = 2,

x = 0:3, y = ¡0:2, z = ¡0:2.

2x + 3y

¡

3z , åñëè

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z = (2x2 + 3y2

¡ 3xy) ¢ cos xy, åñëè x = 0, y = ¡1, x = 0:1, y = 0:1.

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

8.

Вычислить

¡

¼

¢

zyy00

(0; 0) функции

z = (2x + 4y) sin2

16

(x ¡ y)

в точке (¡2; 2).

10. Коэффициент при (x ¡

¼

)2 в разложении функции z = ¡2 cos2 (¡3x + 3y)

6

по формуле Тейлора в окрестности точки (

¼

; 0) равен

6

11.

Найти наименьшее значение функции z = ¡35 + 8x ¡ 2(x2 + y2) ïðè

условии fx2 + y2 · 9, p

x + 6y ¸ 0g.

45

12.

Найти сумму всех координат всех критических точек функции

1

1

u =

x3 +

y3 ¡ x2 + y2 ¡ z2 ¡ 3x ¡ 3y + 4z + 41.

3

3

13.

Найти координаты критической точки и экстремальное значение

Вариант

33

1.

Нарисоватьp

областьp

определения.

функции

z = 4 x + y + 2 + x ¡ y ¡ 6

2.

Нарисовать тело,

ограниченное

поверхностями

p

x0

p

z = ¡3 ¡ 144 ¡ x2 ¡ y2;

z = ¡13 +

49 ¡ x2 ¡ y2.

3.

Вычислить производную y неявной функции

(¡2x2 ¡ 2xy ¡ 2y2)(¡2x ¡ 2y) = ¡192 в точке (¡2; ¡2).

4.

Вычислить частные производные функции

z =

3y2

+ 4x + 3

, в точке (¡2; ¡1).

e4y¡2x

5.

Вычислить полное приращение функции z

z =

2x2 ¡ 3y2

x =

¡

1, y = 2,

x = 0:1,

y = 0:3.

3x + 4y , åñëè

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z = (4x2 + 4y2 + 5xy) ¢ cos xy, åñëè x = 1, y = 0,

x = ¡0:1,

y = ¡0:2.

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z = (3x + 4y) cos2

¼

(x ¡ y)

в точке (3; ¡1).

16

8.

Вычислить

¡

¢

z00 (0; 0)

функции

z = e

5x

¡

5y

sin(5x 3y)

вторую производную

xy

¡

.

9.

Вычислить значение второго дифференциала функции

4x + 7y

z =

в точке Mo(¡3; ¡2), åñëè dx=0.1, dy=-0.2

5x

¡

2y

3

2

10. Коэффициент при y

функции

z = ¡3 sin

(¡2x + 2y)

ïî

в разложении

¼

формуле Тейлора в окрестности точки (

; 0) равен

8

11. Найти наименьшее значение функции z = ¡39 ¡ 24x ¡ 6(x2 + y2) ïðè

условии fx2 + y2 · 16, p

x + 2y · 0g.

60

12. Найти координаты критической точки

функции

u = 5x2

¡ 7xy + 4y2 + 2z2

¡ 41x + 38y + 12z + 37.

Типовой расчет по СФВА

39

Вариант 34

1.

Нарисовать область определения функции

z = 2 ln

x2 + y2

¡ 8x

16x ¡ x2 ¡ y2 .

2.

Нарисовать

òåëî,

ограниченное

поверхностями

z = ¡15 + 25 ¡ x2 ¡ y2; z = ¡4 ¡ 49 ¡ x2 ¡ y2.

3.

Вычислить производную y

x0

неявной функции

p

p

2x2 ¡ 3xy + 2y2

+ 112

= 1 в точке (4; 4).

4x2 + 4xy

4.

Вычислить частные производные функции

z =

4x2 ¡ 3y + 3

(

¡

2;

¡

3).

e4y¡6x

, в точке

5.

Вычислить полное приращение функции

z

z = (¡3x2 + 2y2

xy

¡ 3xy) ¢ sin

, åñëè x = ¡2, y = ¡1, x = 0:3, y = ¡0:1.

10

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z = (2x2 + 2y2 + 5xy) ¢ sin xy, åñëè x = 0, y = 1,

x = 0:1, y = 0:2.

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z = 4xye4x¡3y в точке (3; 4).

8.

Вычислить вторую производную zxx00 (0; 0) функции