Типовой расчет по скалярным функциям векторного аргумента. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
42 Типовой расчет по СФВА
|
|
|
|
Вариант 37 |
1. |
Нарисовать область определения функции |
|||
|
|
|
||
z = ¡3p6 cos(x2 + y2). |
|
|||
2. |
Нарисовать тело, ограниченное поверхностями |
|||
x = 2; x = 4; y = 4; y = 10; z = ¡2; x + y + z = 6. |
||||
3. |
Вычислить производную yx0 |
неявной функции |
||
sin(3x2 + 3x ¡ 1) + cos(3y2 + 2y + 1) + tg(6x + 2y ¡ 3xy) = C в точке (¡2; 4).
4. |
Вычислить сумму чàстных производных функции |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5. |
Вычислить полное¡ |
¼ |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||||||
z = ¡(3x + 4xy + 4y) sin |
6 (x ¡ y) |
в точке (0; 2). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приращение функции |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4x2 + 2y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z = |
|
|
, åñëè x = ¡2, y = ¡2, x = 0:1, |
|
|
y = 0:2. |
|
|
|
||||||||||||||||
2x + 2y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|
|||||||||||||||||||||||
z = |
3x2 |
¡ 3y2 |
|
|
|
|
x = 1, y = 2, |
x = 0:1, |
|
y = |
¡ |
0:2. |
|
|
|
||||||||||
3x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
¡ |
3y , åñëè |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|
|
||||||||||||||||||||
8. |
Вычислить |
¡ |
¼ |
|
|
¢ |
|
|
zxx00 (0; 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z = (3x + 3y) cos2 |
|
4 |
|
(x ¡ y) |
|
в точке (¡2; ¡1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
вторую производную |
|
|
|
|
функции |
|
|
|
|||||||||||
z = e¡5x+4y cos( 5x + 2y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
5x + 6y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z = |
|
в точке Mo(3; 3), åñëè dx=0.1, dy=-0.4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4x ¡ 2y |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
10. Коэффициент при |
x |
2 |
в разложении |
функции |
z = 2 sin |
(2x ¡ 3y) |
ïî |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|||||||
формуле Тейлора в окрестности точки (0; |
|
|
) равен |
|
|
|
|||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
11. Найти наименьшее значение функции z = 5x2 + 6y2 + 60x + 36y + 35 при условии fx2 + y2 · 64, 2x + 6y · 0g.
12. Найти координаты критической точки функции
u = 5x2 ¡ 5xy + 4y2 ¡ 2z2 ¡ 15x + 13y ¡ 4z + 35.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = 6x2 + 7xy + 5y2 ¡ 3x + 16y + 41.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
2x2 ¡ 5y2 ¡ z2 = ¡3 в точке (¡3; 2; ¡1) и определить аппликату точки ее пересечения с осью Oz.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 2z = 3x2 ¡ 5y2 ¡ 3
в точке (¡2; ¡1; 2) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOy.
Типовой расчет по СФВА |
43 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 38 |
|
|
|
1. |
Нарисовать |
область определения функции |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z = 3p2y ¡ x24 + 9p4x ¡ y2. |
|
|
|
|
||||||
2. |
Нарисовать тело, ограниченное поверхностями |
|
||||||||
x = 1; y = 5; x + y = 7; x + y + z = 8. |
|
|
|
|||||||
3. |
Вычислить производную yx0 |
неявной функции |
|
|||||||
(2x2 ¡ 2xy ¡ 2y2)(2x + 4y) = ¡4 в точке (¡1; 0). |
|
|
|
|||||||
4. |
Вычислить сумму чàñтных производных функции |
|
||||||||
|
¼ |
|
|
|
|
|
||||
z = (¡2x ¡ 2xy + 4y) cos 18(x ¡ y) в точке (0; ¡3). |
|
|||||||||
|
приращение функции |
z |
|
|||||||
5. |
Вычислить полное ¡xy |
¢ |
|
|
||||||
z = (2x2 + 5y2 + 3xy) ¢ sin |
|
, åñëè |
x = ¡2, y = 2, |
x = ¡0:2, |
y = ¡0:2. |
|||||
6 |
||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|||||||||
z = (3x2 ¡ 3y2 ¡ 3xy) ¢ cos xy, åñëè x = 0, y = ¡1, |
x = 0:2, |
y = ¡0:2. |
||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|||||||
z = 2xye4x+2y в точке (1; ¡2). |
|
|
|
|
||||||
8. Вычислить вторую производную zxy00 (0; 0) функции z = e4x¡5y cos(¡3x + 2y).
9. Вычислить значение второго дифференциала функции
6x + 3y
z = 5x ¡ 2y в точке Mo(¡1; ¡3), åñëè dx=0.2, dy=-0.3
10. |
Коэффициент при (y ¡ |
¼ |
)2 в разложении функции z = ¡3 sin2 (2x ¡ 2y) |
||
4 |
|||||
по формуле Тейлора в окрестности точки (0; |
¼ |
) равен |
|||
|
|||||
|
4 |
|
|||
11. |
Найти наименьшее значение функции z = 6x2 + 2y2 ¡ 60x ¡ 16y + 39 ïðè |
||||
условии fx2 + y2 · 49, 2x + 3y ¸ 0g.
12. Найти сумму всех координат всех критических точек функции
u = ¡13x3 ¡ 13y3 + x2 + y2 + 2z2 + 8x + 8y ¡ 12z + 35.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = ¡5x2 + 2xy ¡ 5y2 ¡ 24x ¡ 24y + 40.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
2x2 ¡ y2 ¡ 3z2 = ¡10 в точке (3; 1; ¡3) и определить ординату точки ее пересечения с осью Oy.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 2z = 4x2 ¡ y2 ¡ 9
в точке (2; 3; ¡1) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOz.
44 Типовой расчет по СФВА
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Нарисовать |
область определения функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z = 5p4y ¡ x22 + 9p2x ¡ y2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
Нарисовать тело, ограниченное поверхностями |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x = 4; y = 7; x + y = 3; x + y + z = 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
Вычислить производную yx0 |
неявной функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3x2 + 3xy + 3y2 ¡ 93 |
= 1 в точке ( 3; |
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
¡2x2 ¡ 3xy |
|
|
|
|
|
¡ |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Вычислить сумму ÷àстных производных функции |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
Вычислить полное¡ |
|
|
xy |
¢ |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||
z = (3x + 3xy + 4y) sin2 |
|
¼ |
(x ¡ y) |
в точке (2; ¡2). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
24 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
приращение функции |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z = (5x2 + 5y2 ¡ 3xy) ¢ cos |
|
, åñëè x = 2, y = 1, |
|
x = 0:2, |
y = ¡0:1. |
|
|
|||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
z = (3x2 + 3y2 + 4xy) ¢ cos xy, åñëè x = ¡1, y = 0, |
x = 0:1, |
y = 0:1. |
|
|
||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
z = (¡3x + 4y)e6x+3y в точке (1; ¡2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
8. Вычислить вторую производную z00 (0; 0) функции z = e2x¡3y cos( |
3x + 2y). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yy |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
||
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
6x + 2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z = |
|
в точке Mo(1; ¡3), åñëè dx=0.3, dy=0.4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3x + 3y |
|
|
|
|
|
ïî |
||||||||||||||||||
10. Коэффициент при |
y |
2 |
в разложении функции |
z = ¡3 cos |
2 |
(¡2x + 3y) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|||||||
формуле Тейлора в окрестности точки ( |
|
; 0) равен |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
11. Найти наибольшее значение функции z = 3(x2 + y2) + 36x ¡ 35 при условии fx2 + y2 · 64, p39x + 5y · 0g.
12. Найти координаты критической точки функции
u = 3x2 + 7xy + 6y2 + 2z2 ¡ 26x ¡ 38y + 4z + 31.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = 3x2 ¡ 4xy + 3y2 ¡ 2x ¡ 2y + 31.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
x2 ¡ 2y2 ¡ 3z2 = ¡28 в точке (1; ¡1; ¡3) и определить абсциссу точки ее пересечения с осью Ox.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 2z = x2 ¡ 5y2 + 2
в точке (¡3; ¡1; 3) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью yOz.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Типовой расчет по СФВА |
|
45 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
40 |
|
|
|
|
|||||
1. |
Нарисовать область |
определения функции |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
z = 2 ln(4y ¡ x2 ¡ y2) + p8x + 8y ¡ x2 ¡ y2 |
¡ 16. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2. |
Нарисовать тело, ограниченное поверхностями |
|||||||||||||||||||||||
z = 6(x2 + y2) + 2; z = 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. |
Вычислить производную yx0 |
неявной функции |
||||||||||||||||||||||
2x2 ¡ 3xy + 4y2 ¡ 32 |
= |
¡ |
2x |
¡ |
2y в точке (2; |
¡ |
1). |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2x |
¡ |
3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить сумму ч¼àстных производных функции |
|||||||||||||||||||||||
5. |
Вычислить полное¡ |
|
|
|
¢ |
в точке (1; ¡3). |
|
u |
||||||||||||||||
z = (2x ¡ 2xy ¡ 3y) cos2 |
8 (x ¡ y) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приращение функции |
|
|
|
||||||||||||
u = |
¡2xyz |
|
|
|
|
x = 1, y = 3, z = |
¡ |
1, |
|
|
x = |
¡ |
0:2, y = 0:3, z = 0:3. |
|||||||||||
2x + 2y + 2z , åñëè |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|||||||||||||||||||||||
z = (5x2 ¡ 2y2 ¡ 3xy) ¢ sin xy, åñëè x = 0, y = ¡2, |
|
x = ¡0:2, y = 0:1. |
||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
||||||||||||||||||||||
8. |
Вычислить |
¡ |
¼ |
|
|
|
¢ |
|
|
|
zxx00 (0; 0) функции |
|||||||||||||
z = (4x + 2y) sin2 |
|
8 |
(x ¡ y) |
в точке (1; ¡1). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
вторую производную
z = e¡3x+4y sin(¡2x + 4y).
9. Вычислить значение второго дифференциала функции
2x + 7y
z = 6x ¡ 2y в точке Mo(1; 1), åñëè dx=-0.2, dy=-0.1
10. |
Коэффициент при (x ¡ |
¼ |
)2 в разложении функции z = 2 cos2 (¡2x + 2y) |
|||||||||
4 |
||||||||||||
по формуле Тейлора в окрестности точки ( |
¼ |
; 0) равен |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|||||||
11. |
Найти наибольшее значение функции z = 6(x2 + y2) ¡ 36x ¡ 38 ïðè |
|||||||||||
условии fx2 + y2 · 25, p |
32 |
x + 2y ¸ 0g. |
||||||||||
12. |
Найти сумму всех координат всех критических точек функции |
|||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
u = |
|
|
x3 + |
|
|
y3 ¡ x2 ¡ y2 + 3z2 ¡ 8x ¡ 3y ¡ 18z + 32. |
||||||
|
3 |
3 |
||||||||||
13. |
Найти координаты критической точки и экстремальное значение |
|||||||||||
функции
z = ¡4x2 + 6xy ¡ 4y2 + 42x ¡ 42y + 30.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
2z = 4x2 + 2y2 + 18 в точке (¡1; ¡1; ¡2) и определить аппликату точки ее пересечения с осью Oz.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 5x2 + 4y2 + z2 = 45
в точке (¡1; ¡3; 2) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOy.
46 Типовой расчет по СФВА
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Нарисовать область определения функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
z = |
|
|
|
|
2 |
|
|
+ ln(y ¡ 6x2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
9 ¡ x2 ¡ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нарисовать тело, ограниченное |
поверхностями |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
p yx0 |
неявной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
z = 2(x2 |
+ y2) + 7; z = 13 ¡ x2 + y2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(2x2 ¡ 3x ¡ 1)(3y + 3) + (2x + 3)(4y2 + 4y + 4) = 36 в точке (¡1; 1). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Вычислить частные производные функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
z = |
4y2 + 4x + 2 |
|
|
|
|
|
|
(1; ¡2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
e¡3y¡6x |
, в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
Вычислить полное приращение функции z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
z = |
3x2 ¡ 2y2 |
|
|
|
x = 1, y = 2, |
x = 0:1, |
|
y = 0:2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3x ¡ 3y , åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
z = (5x2 |
¡ 2y2 ¡ 3xy) ¢ sin xy, åñëè x = 1, y = 0, |
x = 0:1, |
y = 0:1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
z = (¡2x + 2y) cos2 |
|
¼ |
(x ¡ y) в точке (1; ¡1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
8. Вычислить |
|
|
¡ |
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
z00 (0; 0) |
функции |
z = e |
2x |
¡ |
2y |
sin( 3x + 4y) |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вторую производную |
yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
7x + 6y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z = |
|
|
|
|
в точке Mo(¡1; 1), åñëè dx=0.4, dy=-0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5x |
¡ |
3y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
10. Коэффициент при |
y |
в разложении |
функции |
z = 6 sin |
(¡2x + 3y) ïî |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|||||||||||||
формуле Тейлора в окрестности точки ( |
|
; 0) равен |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
11. Найти наименьшее значение функции z = ¡30 + 16x ¡ 2(x2 + y2) при условии fx2 + y2 · 25, p16x + 3y ¸ 0g.
12. Найти координаты критической точки функции
u = 2x2 + 3xy + 4y2 ¡ 2z2 ¡ 14x ¡ 22y + 8z + 27.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = 4x2 ¡ 5xy + 4y2 ¡ 39x + 39y + 41.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
2z = 2x2 + y2 + 48 в точке (1; 1; 3) и определить ординату точки ее пересечения с осью Oy.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 3x2 + y2 + 2z2 = 39
в точке (¡3; 2; ¡2) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOz.
Типовой расчет по СФВА |
47 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 42 |
1. |
Нарисовать область определения функции |
|||||
|
|
|
|
|
||
z = ¡3p49 ¡ x2 ¡ y2 + py ¡ 3x2. |
|
|||||
2. |
Нарисовать тело, ограниченное поверхностями |
|||||
z = 1(x2 + y2) + 9; z = 12 ¡ 1(x2 + y2). |
||||||
3. |
Вычислить производную yx0 |
неявной функции |
||||
sin(¡3x2 + 4x + 3) + cos(4y2 + 3y + 4) + tg(6x ¡ 2y + 3xy) = C в точке (¡3; ¡2).
4. |
Вычислить частные производные функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
z = |
|
|
¡2x2 + 2y ¡ 2 |
|
|
(1; |
¡ |
1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
e¡2y¡2x , в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
Вычислить полное приращение функции |
z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
z = (5x2 + 4y2 + 4xy) ¢ sin |
xy |
, åñëè x = 2, y = ¡2, |
x = 0:3, y = 0:2. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z = |
|
|
|
|
, åñëè x = 1, y = ¡2, x = 0:2, |
y = 0:2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
¡2x ¡ 2y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
z = |
¡ |
2xye3x¡2y в точке ( |
|
2; |
¡ |
3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. Вычислить вторую производную z00 (0; 0) функции z = e5x+4y sin( |
¡ |
5x |
¡ |
3y). |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
6x + 5y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z = |
|
|
в точке Mo(1; ¡2), åñëè dx=-0.3, dy=0.3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
6x + 2y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
10. Коэффициент при |
x |
3 |
в разложении |
функции |
z = ¡6 sin |
2 |
(¡3x + 2y) |
ïî |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
||||||||||
формуле Тейлора в окрестности точки (0; |
|
|
) равен |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
11. Найти наименьшее значение функции z = ¡38 ¡ 32x ¡ 4(x2 + y2) при условии fx2 + y2 · 36, p91x + 3y · 0g.
12. Найти сумму всех координат всех критических точек функции
u = ¡13x3 + 13y3 + x2 ¡ y2 ¡ 3z2 + 8x ¡ 8y ¡ 18z + 32.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = 3x2 ¡ 5xy + 3y2 + 9x ¡ 13y + 40.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
2z = x2 + 3y2 + 31 в точке (1; ¡2; ¡3) и определить абсциссу точки ее пересечения с осью Oz.
15. Найти уравнение нормали к поверхности x2 + 3y2 + 4z2 = 48
в точке (3; ¡1; 3) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью yOz.
48 Типовой расчет по СФВА
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 43 |
|
|
||
1. |
Нарисовать область определения функции |
|
||||||||||||||||||||
z = |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
+ ln(x ¡ 8y2). |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x2 + y2 ¡ 49 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2. |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нарисовать |
|
тело, ограниченное поверхностями |
|||||||||||||||||||
3. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx0 неявной функции |
|||||||||
z = 6 x2 + y2 + 3; z = 12. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Вычислить производную |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(4x2 ¡ 3xy + 4y2)(4x ¡ 3y) = 34 в точке (¡2; ¡3). |
|
|||||||||||||||||||||
4. |
Вычислить частныå производные функции |
z |
||||||||||||||||||||
5. |
Вычислить |
|
|
¡ |
¼ |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|||||||||
z = (¡3x2 ¡ 3y + 3) sin |
|
6 |
(x ¡ y) в точке (5; ¡1). |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полное приращение функции |
|
|||||||||||
z = (2x2 + 3y2 + 2xy) ¢ cos |
|
xy |
|
x = ¡1, y = ¡2, x = ¡0:2, y = ¡0:1. |
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
10 , åñëè |
||||||||||||||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|||||||||||||||||||||
z = |
¡2x2 |
¡ 2y2 |
|
|
|
x = 2, y = 1, |
x = |
¡ |
0:2, |
y = 0:1. |
||||||||||||
|
|
¡ |
2x |
¡ |
3y , åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
||||||||||||||||||||
z = (¡3x ¡ 3y)e6x+3y в точке (¡1; 2). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
8. |
Вычислить вторую производную zxx00 (0; 0) функции |
|||||||||||||||||||||
z = e¡4x¡4y cos(¡4x ¡ 3y) sin(¡4x ¡ 3y).
9. Вычислить значение второго дифференциала функции
4x + 8y
z = 4x + 3y в точке Mo(1; 1), åñëè dx=-0.1, dy=-0.4
10. Коэффициент при x3 в разложении функции z = ¡6 tg (¡2x ¡ 2y) по формуле Маклорена равен
11. Найти наибольшее значение функции z = 5(x2 + y2) ¡ 40y ¡ 30 при условии fx2 + y2 · 25, 5x ¡ p39y ¸ 0g.
12. Найти координаты критической точки функции
u = 3x2 + 5xy + 3y2 ¡ 3z2 + 22x + 22y + 12z + 32.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = 2x2 + 2xy + 6y2 ¡ 4x + 20y + 40.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
2z = 2x2 ¡ 3y2 ¡ 9 в точке (3; 1; 3) и определить аппликату точки ее пересечения с осью Oz.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 3x2 + 4y2 ¡ z2 = 54
в точке (¡3; 3; ¡3) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOy.
Типовой расчет по СФВА |
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 44 |
|
|
|
1. |
Нарисовать область определения функции |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z = 3p25 ¡ x2 ¡ y2 + px ¡ 6y2. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2. |
Нарисовать |
тело, ограниченное поверхностями |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
z = ¡6 x2 + y2 |
+ 9; z = ¡12. |
yx0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
Вычислить производную |
неявной функции |
|||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
¡3x2 + 3xy + 3y2 + 25 |
= 2x + 3y в точке (1; 2). |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
¡3x + 4y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Вычислить частнûе производные функции |
|
|||||||||||||||||||
z = (4x2 + 3y ¡ 2) cos |
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 (x ¡ y) в точке (0; ¡2). |
|
|
|||||||||||||||||||
5. |
Вычислить |
полное приращение функции |
u |
||||||||||||||||||
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
||||||||||||
u = |
|
3xyz |
|
|
|
, åñëè x = 1, y = 2, z = ¡1, |
x = 0:3, y = 0:2, z = 0:3. |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
¡2x ¡ 3y ¡ 2z |
|||||||||||||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
||||||||||||||||||||
z = (4x2 + 5y2 + 4xy) ¢ cos xy, åñëè x = 0, y = ¡2, x = 0:1, y = ¡0:1. |
|||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|||||||||||||||||||
z = (4x + 2y) sin2 |
|
¼ |
(x ¡ y) |
в точке (¡2; 4). |
|
|
|||||||||||||||
|
|
24 |
|
|
|||||||||||||||||
8. |
Вычислить |
вторую производную |
zyy00 (0; 0) функции |
||||||||||||||||||
|
¡ |
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|||||||||||
z = e2x+5y cos(¡5x + 2y) sin(¡5x + 2y). |
|
|
|
||||||||||||||||||
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
||||||||||||||||||||
|
|
3x + 8y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z = |
|
в точке Mo(¡2; 1), åñëè dx=-0.2, dy=-0.3 |
|||||||||||||||||||
2x + 2y |
|||||||||||||||||||||
10. Коэффициент при y3 |
в разложении функции z = ¡6 tg (2x ¡ 3y) ïî |
||||||||||||||||||||
формуле Маклорена равен
11. Найти наибольшее значение функции z = 2(x2 + y2) ¡ 20y ¡ 26 при условии fx2 + y2 · 36, 6x ¡ p45y · 0g.
12. Найти сумму всех координат всех критических точек функции
u = 13x3 ¡ 13y3 ¡ 3x2 + y2 + 4z2 + 8x + 3y ¡ 16z + 37.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = ¡4x2 ¡ 4xy ¡ 3y2 ¡ 12x ¡ 10y + 33.
14.Найти уравнение касательной плоскости к поверхности 2z = 4x2 ¡ y2 ¡ 7 в точке (1; 1; ¡2) и определить ординату точки ее пересечения с осью Oy.
15.Найти уравнение нормали к поверхности 2x2 + y2 ¡ 4z2 = ¡33
в точке (¡1; ¡1; 3) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOz.
50 Типовой расчет по СФВА
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
45 |
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Нарисовать область |
определения функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
z = ¡2 arcsin (x2 |
+ y2) + p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4x ¡ 3y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2. |
Нарисовать |
тело, ограниченное поверхностями |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
pyx0 |
неявной функции |
|
|
|
|
||||||||||||
z = 8 x2 + y2 + 3; z = 13 ¡ 8 x2 |
+ y2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Вычислить производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(2x2 ¡ 3x ¡ 1)(2y) + (3x + 3)(4y2 + 3y ¡ 2) = 219 в точке (2; ¡3). |
|
|||||||||||||||||||||||||||
4. |
Вычислить сумму ÷астных производных функции |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5. |
Вычислить |
|
|
¡ |
¼ |
|
|
|
¢ |
|
в точке (2; 1). |
|
z |
|
|
|
|
|||||||||||
z = (4x ¡ 2xy ¡ 2y) sin |
4 |
(x ¡ y) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
полное приращение функции |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2x2 + 3y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z = |
|
|
, åñëè x = ¡2, y = 1, x = ¡0:1, |
|
y = 0:3. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
2x + 3y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|||||||||||||||||||||||||||
z = (5x2 + 3y2 + 2xy) ¢ cos xy, åñëè x = 1, y = 0, |
|
x = 0:1, |
y = ¡0:1. |
|||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
8. |
Вычислить |
|
¡ |
¼ |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
zxy00 (0; 0) функции |
|
|
|
||||||||||
z = (¡3x ¡ 2y) cos2 |
|
4 |
(x ¡ y) в точке (2; 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
вторую производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
z = e¡5x+5y cos(5x ¡ 5y) sin(5x ¡ 5y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
5x + 2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z = |
|
в точке Mo(1; 3), åñëè dx=0.3, dy=-0.4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2x ¡ 2y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
10. Коэффициент при |
y |
2 |
|
|
|
|
|
функции |
z = 2 cos |
2 |
(¡2x ¡ 2y) ïî |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в разложении |
¼ |
|
|
|
|
||||||||||
формуле Тейлора в окрестности точки ( |
|
; 0) равен |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
11. Найти наименьшее значение функции z = 4x2 + 2y2 + 24x ¡ 8y + 27 при условии fx2 + y2 · 25, 2x ¡ 2y · 0g.
12. Найти координаты критической точки функции
u = 2x2 + 4xy + 4y2 + 2z2 ¡ 24x ¡ 36y ¡ 8z + 34.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = ¡4x2 + 5xy ¡ 2y2 + 19x ¡ 11y + 33.
14.Найти уравнение касательной плоскости к поверхности 2z = x2 ¡ 3y2 + 0 в точке (¡1; 1; ¡1) и определить абсциссу точки ее пересечения с осью Oz.
15.Найти уравнение нормали к поверхности x2 + 4y2 ¡ 3z2 = 28
в точке (2; 3; 2) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью yOz.
|
|
|
|
|
|
|
|
Типовой расчет по СФВА |
|
51 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 46 |
|
|
|
|
|
|
1. |
Нарисовать область |
определения функции |
|
|
|||||||||||||||
z = 3 arccos (¡x2 ¡ y2) + p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6x + 3y. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
Нарисовать тело, ограниченное |
поверхностями |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x2 |
+ y2 + (z ¡ 11)2 = 16; |
z = 6 x2 |
+ y2 + 7. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
Вычислить |
производную |
неявной функции |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
pyx0 |
|
|
||||||||||||
sin(3x2 + 2x ¡ 2) + cos(2y2 + 4y + 4) + tg(4x + 3y + 3xy) = C в точке (2; 2). |
|
|
|||||||||||||||||
4. |
Вычислить сумму чàстных производных функции |
|
|
||||||||||||||||
z = (¡3x + 3xy ¡ 3y) cos |
|
¼ |
(x ¡ y) |
в точке (3; ¡1). |
|
|
|||||||||||||
|
8 |
|
|
||||||||||||||||
5. |
Вычислить полное |
приращение функции |
z |
|
|
||||||||||||||
¡ |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
z = (¡2x2 + 3y2 + 4xy) ¢ sin |
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
, åñëè x = ¡1, y = ¡1, x = 0:2, y = ¡0:2. |
|
|
||||||||||||||||
8 |
|
|
|||||||||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|
|
||||||||||||||||
z = (2x2 ¡ 3y2 ¡ 2xy) ¢ sin xy, åñëè x = 0, y = 1, |
|
x = ¡0:1, y = 0:1. |
|
|
|||||||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|
|||||||||||||||
z = (¡2x + 2y)e2x+2y в точке (3; ¡3). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
8. |
Вычислить вторую производную z00 (0; 0) функции z = e3x¡2y cos(2x |
¡ |
3y). |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
|
|
||||||||||||||||
|
|
4x + 2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
|
в точке Mo(¡3; 3), åñëè dx=0.3, dy=0.1 |
|
|
|||||||||||||||
5x + 2y |
|
|
|||||||||||||||||
10. Коэффициент при (x ¡ |
¼ |
)2 |
в разложении функции z = 3 cos2 (¡3x ¡ 3y) |
||||||||||||||||
6 |
|||||||||||||||||||
по формуле Тейлора в окрестности точки ( |
¼ |
; 0) равен |
|
|
|||||||||||||||
|
6 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. Найти наименьшее значение функции z = 5x2 + 3y2 + 40x + 24y + 46 при условии fx2 + y2 · 36, 3x + 7y · 0g.
12. Найти сумму всех координат всех критических точек функции
u = ¡13x3 ¡ 13y3 + 2x2 + y2 + z2 ¡ 3x + 8y + 4z + 39.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = 2x2 + 2xy + 5y2 + 14x + 34y + 37.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
2x2 + 4y2 + 4z2 = 48 в точке (¡2; 3; ¡1) и определить аппликату точки ее пересечения с осью Oz.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 3x2 ¡ 2y2 ¡ z2 = 8
в точке (¡3; 3; 1) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOy.