Типовой расчет по скалярным функциям векторного аргумента. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

Вариант

107

1.

Нарисовать область определения функции

¡x ¡ 2¢.

z = 2 arccos

y ¡ 8

2.

Нарисовать тело, ограниченное поверхностями

x = 7; x = 11; y = 4; y = 8; z = ¡5; z = ¡5.

3.

Вычислить производную yx0

неявной функции

sin(2x2 + 4x + 2) + cos(2y2 ¡ 3y ¡ 1) + tg(2x ¡ 3y ¡ 3xy) = C в точке (0; 4).

4.

Вычислить частнûе производные функции

z

5.

Вычислить

¡

¼

¢

z = (4x2 + 3y + 2) sin

8 (x ¡ y)

в точке (5; ¡3).

полное приращение функции

z = (4x2 + 4y2 + 4xy) ¢ cos

xy

, åñëè x = ¡1, y = ¡1,

x = ¡0:1,

y = ¡0:1.

6

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z = (¡3x2 ¡ 3y2

+ 5xy) ¢ sin xy, åñëè x = ¡1, y = 0,

x = 0:1,

y = 0:2.

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z =

¡

3xye6x¡3y

в точке ( 1;

¡

2).

¡

8.

Вычислить вторую производную zyy00 (0; 0) функции

z = e2x+2y cos(¡4x ¡ 3y) sin(¡4x ¡ 3y).

9.

Вычислить значение второго дифференциала функции

z =

4x + 4y

Mo(¡3; ¡3), åñëè dx=-0.2, dy=0.4

6x

¡

3y в точке

3

2

10. Коэффициент при x

в разложении

функции

z = 6 sin

(¡3x + 3y)

ïî

¼

формуле Тейлора в окрестности точки (0;

) равен

12

Вариант

109

1.

Нарисовать область определения функции

z = ¡3p(25 ¡ x2

¡ y2)(x2 + y2 ¡ 9).

2.

Нарисовать тело, ограниченное поверхностями

x = 2; x = 10; y = 3; y = 8; z = ¡6; x + y + z = 10.

3.

Вычислить производную yx0

неявной функции

3x2 + 3xy ¡ 3y2 + 62

= 1 в точке (

1; 3).

2x2 + 3xy + 4y2

¡ ¡

4.

Вычислить сумму ÷астных производных функции

z = (4x + 2xy ¡ 2y) sin

¼

6 (x ¡ y) в точке (4; 1).

5.

Вычислить

полное приращение функции

z

¡

¢

z =

¡2x2 + 3y2

x = 1, y = 2,

x = 0:3,

y = 0:2.

¡3x ¡ 2y , åñëè

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z =

2x2

¡ 2y2

x = 1, y = 2,

x = 0:1,

y =

¡

0:2.

¡

3x + 2y , åñëè

¡

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z = (2x + 3y) sin2

¼

(x ¡ y)

в точке (¡1; 2).

12

вторую производную

3x

3y

8. Вычислить

zxy00 (0; 0) функции z = e¡ ¡

cos(2x + 5y).

¡

¢

9.

Вычислить значение второго дифференциала функции

4x + 6y

z =

в точке Mo(¡3; 1), åñëè dx=0.1, dy=-0.3

3x

¡

2y

10. Коэффициент при y3

в разложении функции z = ¡6 tg (¡2x ¡ 2y) ïî

Типовой расчет по СФВА

115

z = 4

y ¡ x2 + 4x

s

.

y + x2 + 9x

2. Нарисовать тело, ограниченное поверхностями

x = 3; y = 3; x + y = 7; x + y + z = 10.

3. Вычислить производную yx0

неявной функции

¡3x2 + 3xy ¡ 3y2 + 216

=

¡

3x

¡

2y в точке (

¡

3;

¡

2).

3x

¡

3y

¡

4. Вычислить сумму чàстных производных функции

z = (¡2x ¡ 2xy ¡ 3y) cos

¼

(x ¡ y)

в точке (4; 1).

9

5. Вычислить полное

приращение функции

z

¡

xy

¢

z = (¡3x2 ¡ 2y2 + 4xy) ¢ sin

, åñëè x = 2, y = 1,

x = 0:2,

y = ¡0:1.

9

6. Вычислить значение полного дифференциала функции

z = (5x2 + 3y2

¡ 3xy) ¢ cos xy, åñëè x = 0, y = ¡1,

x = 0:1,

y = ¡0:1.

7. Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z = (4x + 2y) cos2

¼

(x ¡ y)

в точке (¡3; 2).

20

8. Вычислить

вторую производную

функции

4x+5y

.

¡

¢

z00 (0; 0)

z = e

cos( 3x

¡

4y)

yy

¡

9. Вычислить значение второго дифференциала функции

z =

4x + 3y

в точке Mo(2; 3), åñëè dx=-0.1, dy=-0.4

5x ¡ 2y

10. Коэффициент при y3

в разложении функции z = 3 sin2 (3x + 3y) ïî

формуле Тейлора в окрестности точки (

¼

; 0) равен

12

11. Найти наибольшее значение функции z = 3(x2 + y2) ¡ 36y ¡ 33 ïðè

условии fx2 + y2 · 49, 5x ¡ p

y ¸ 0g.

39

12. Найти сумму всех координат всех критических точек функции

1

1

u = ¡

x3

+

y3 + x2 + y2 + 4z2 + 3x ¡ 3y + 16z + 41.

3

3

13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение

функции

z = ¡3x2

+ 6xy ¡ 5y2 + 24x ¡ 36y + 35.

Вариант 111

1.

Нарисовать область определения функции

z = 2p(y ¡ x2 + 3x)(y + x2 + 5x).

2.

Нарисовать тело, ограниченное поверхностями

x = 3; y = 8; x + y = 9; x + y + z = 8.

3.

Вычислить производную yx0

неявной функции

(¡2x2 + 4x + 4)(¡3y ¡ 1) + (2x ¡ 1)(¡3y2 + 2y + 3) = 10 в точке (1; ¡1).

4.

Вычислить сумму ÷àстных производных функции

5.

Вычислить полное¡

xy

¢

z

z = (3x ¡ 2xy ¡ 2y) sin2

¼

в точке (3; ¡2).

20(x ¡ y)

приращение функции

z = (2x2 + 4y2 ¡ 2xy) ¢ cos

, åñëè x = 2, y = ¡1,

x = ¡0:1,

y = ¡0:1.

5

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z = (¡2x2 ¡ 2y2 + 4xy) ¢ cos xy, åñëè x = ¡2, y = 0,

x = 0:2,

y = ¡0:1.

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z = 4xye4x¡2y в точке (

1;

¡

2).

¡

8. Вычислить вторую производную z00 (0; 0) функции z = e4x+5y sin(

¡

2x

¡

2y).

xx

9.

Вычислить значение второго дифференциала функции

6x + 8y

z =

в точке Mo(¡2; 3), åñëè dx=-0.2, dy=0.4

5x + 3y

10. Коэффициент при x3

в разложении функции z = 6 sin2 (2x + 3y) ïî

формуле Тейлора в окрестности точки (0;

¼

) равен

12

Типовой расчет по СФВА

117

4.

Вычислить сумму чаñòных производных функции

5.

Вычислить полное

¡

¼

¢

u

z = (¡2x + 2xy + 4y) cos2

16(x ¡ y)

в точке (1; ¡3).

приращение функции

u =

3xyz

, åñëè x = 2, y = ¡1, z = ¡2,

x = 0:1, y = 0:3, z = 0:1.

4x

¡

2y

¡

3z

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z = (¡3x2 + 4y2 + 3xy) ¢ sin xy, åñëè x = 0, y = 1, x = 0:1, y = 0:2.

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z = (¡2x ¡ 2y)e2x+2y в точке (¡2; 2).

8.

Вычислить вторую производную zyy00 (0; 0) функции

Вариант 113

1.

Нарисоватьp

областьp

определения.

функции

z = 3 x + y + 3 + x ¡ y ¡ 6

2.

Нарисовать тело, ограниченное

поверхностями

3.

Вычислить

p yx0 неявной функции

z = 5(x2

+ y2) + 3; z = 11 ¡ x2

+ y2.

производную

¡2x2 + 3xy ¡ 3y2 ¡ 78

=

¡

3x + 3y в точке (3;

¡

1).

4x + 3y

4.

Вычислить частные производные функции

z =

3y2 ¡ 2x ¡ 2

( 2; 4).

e¡3y¡6x

, в точке

¡

5.

Вычислить полное приращение функции z

z =

¡3x2 ¡ 3y2

x = 2, y =

¡

1, x = 0:1,

y = 0:3.

2x

¡

3y , åñëè

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z = (5x2

+ 4y2 + 5xy) ¢ sin xy, åñëè x = 2, y = 0,

x = 0:1, y = 0:2.

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z = (¡3x + 4y) sin2

¼

(x ¡ y) в точке (¡2; ¡1).

4

8. Вычислить

¡

¢

z00 (0; 0)

функции

z = e

3x

¡

3y

sin( 5x

3y)

.

вторую производную

xy

¡

¡

9.

Вычислить значение второго дифференциала функции

6x + 5y

z =

в точке Mo(¡2; 2), åñëè dx=-0.3, dy=-0.1

3x + 2y

Типовой расчет по СФВА

119

Вариант 114

1.

Нарисовать область определения функции

z =

¡

2 ln

x2 + y2

¡ 10x

14x ¡ x2 ¡ y2 .

2.

Нарисовать тело, ограниченное поверхностями

z = 3(x2

+ y2) + 8; z = 10 ¡ 3(x2

+ y2).

3.

Вычислить производную yx0

неявной функции

(3x2 + 4x + 2)(¡3y + 2) + (2x + 3)(¡2y2 + 4y + 3) = 109 в точке (3; 0).

4.

Вычислить частные производные функции

z =

¡3x2 + 4y + 2

(

¡

3; 3).

e3y¡3x

, в точке

¡

5.

Вычислить полное приращение функции

z

z = (2x2 + 3y2 ¡ 3xy) ¢ sin

xy

, åñëè x = 1, y = 2,

x = 0:2,

y = ¡0:2.

5

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

2xy

z =

, åñëè x = ¡1, y = ¡2, x = 0:2,

y = 0:1.

¡3x + 4y

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z = (¡2x ¡ 2y) cos2

¼

(x ¡ y) в точке (1; 2).

4

8.

Вычислить

вторую производную

zxx00 (0; 0) функции

¡

¢

z = e¡4x¡2y cos(5x ¡ 4y) sin(5x ¡ 4y).

9.

Вычислить значение второго дифференциала функции

5x + 3y

z =

в точке Mo(3; ¡3), åñëè dx=0.1, dy=0.4

3x + 2y

10. Коэффициент при y

3

функции

z = 6 sin

2

(2x ¡ 3y)

ïî

в разложении

¼

формуле Тейлора в окрестности точки (

; 0) равен

8

Вариант 115

1.

Нарисовать область

определения функции

x2 + y2 ¡ 10x

z = 2 ln

¡x2 ¡ y2 + 28x.

s

2.

Нарисовать

тело, ограниченное поверхностями

3.

p

yx0

неявной функции

z = 4 x2

+ y2 + 4; z = 10.

4.

Вычислить частнûе производные функции

z = (2x2 + 4y ¡ 1) sin

¼

6 (x ¡ y) в точке (5; ¡1).