Типовой расчет по скалярным функциям векторного аргумента. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
102 Типовой расчет по СФВА
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 97 |
|
|||||
1. |
Нарисовать область определения функции |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
z = 4p6 cos(x2 + y2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
Нарисовать |
|
тело, ограниченное поверхностями |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3. |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx0 |
неявной функции |
|||||||||||
z = 5 x2 + y2 + 2; z = 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Вычислить производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3x2 ¡ 2xy + 4y2 ¡ 47 |
|
= 1 в точке (3; |
¡ |
1). |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
¡2x2 ¡ 2xy + 2y2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. |
Вычислить частные производные функции |
||||||||||||||||||||||||
z = |
3y2 + 2x + 2 |
, в точке (1; ¡1). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
e¡3y¡3x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
Вычислить полное приращение функции z |
||||||||||||||||||||||||
z = |
¡3x2 ¡ 3y2 |
|
|
|
|
|
|
x = |
¡ |
2, y = 1, |
|
x = |
¡ |
0:1, |
y = 0:3. |
||||||||||
3x + 2y , åñëè |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x2 + 3y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z = |
|
, åñëè x = ¡1, y = 2, |
x = ¡0:2, |
y = 0:1. |
|||||||||||||||||||||
¡2x ¡ 3y |
|||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|||||||||||||||||||||||
8. |
Вычислить |
|
¡ |
¼ |
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
zxx00 (0; 0) функции |
||||||||||
z = (2x ¡ 2y) sin2 |
|
4 |
(x ¡ y) |
|
в точке (¡2; ¡3). |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вторую производную |
|
|
|
|
|||||||||||||
z = e¡4x¡2y cos(2x ¡ 2y) sin(2x ¡ 2y). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
||||||||||||||||||||||||
z = |
6x ¡ 2y |
|
|
|
|
|
|
M |
(3; |
|
1), åñëè dx=0.2, dy=-0.1 |
||||||||||||||
2x + 3y в точке |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
o |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10. Коэффициент при y3 в разложении функции z = ¡6 sin2 (¡3x ¡ 3y) по формуле Тейлора в окрестности точки (12¼ ; 0) равен
11. Найти наибольшее значение функции z = 5(x2 + y2) + 20x ¡ 27 при условии fx2 + y2 · 16, p32x + 2y · 0g.
12. Найти координаты критической точки функции
u = 3x2 + 6xy + 6y2 + 2z2 ¡ 30x ¡ 42y + 4z + 33.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = 6x2 ¡ 4xy + 5y2 ¡ 32x + 2y + 41.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
4x2 ¡ 3y2 ¡ z2 = 3 в точке (¡2; 2; 1) и определить аппликату точки ее пересечения с осью Oz.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 2z = 2x2 ¡ 3y2 ¡ 3
в точке (2; ¡1; 1) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOy.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Типовой расчет по СФВА |
|
|
|
|
|
103 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Нарисовать |
область определения функции |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
z = 4p6y ¡ x2 |
36 + 6p36x ¡ y2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2. |
Нарисовать |
тело, ограниченное поверхностями |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yx0 неявной функции |
|
|
|
|
|
||||||||||
z = ¡9 x2 + y2 + 6; z = ¡8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Вычислить производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4x2 ¡ 3xy ¡ 2y2 ¡ 80 |
|
= 2x + 4y в точке (4; |
¡ |
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x + 4y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
Вычислить частные производные функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = |
¡2x2 |
+ 3y ¡ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4; 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
e4y¡3x |
|
|
|
, в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
Вычислить полное приращение функции |
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = (¡3x2 + 4y2 + 4xy) ¢ sin |
|
xy |
|
|
x = ¡2, y = 2, |
x = 0:2, |
y = ¡0:1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6 , åñëè |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = (5x2 + 3y2 |
+ 2xy) ¢ cos xy, åñëè x = 0, y = ¡2, |
x = 0:2, |
y = 0:2. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
Вычислить |
¡ |
¼ |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
zyy00 (0; 0) функции |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
z = (2x + 2y) cos2 |
|
24 |
(x ¡ y) |
в точке (3; ¡3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вторую производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
z = e¡5x+2y cos(4x + 3y) sin(4x + 3y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = |
7x + 7y |
|
|
|
|
|
|
|
Mo(3; ¡3), åñëè dx=0.3, dy=0.4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
5x |
¡ |
|
2y в точке |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
10. Коэффициент при |
x |
в разложении |
функции |
z = ¡6 sin |
(3x + 3y) |
ïî |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|||||||||||||||
формуле Тейлора в окрестности точки (0; |
|
) равен |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. Найти наименьшее значение функции z = ¡30 ¡ 24x ¡ 4(x2 + y2) ïðè |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условии fx2 + y2 · 16, p |
|
x + 4y · 0g. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
12. Найти сумму всех координат всех критических точек функции |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u = |
|
x3 ¡ |
|
y3 ¡ 3x2 ¡ y2 ¡ z2 + 8x + 3y + 4z + 39. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z = ¡3x2 |
+ 2xy ¡ 2y2 ¡ 8x + 6y + 39. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
5x2 ¡ y2 ¡ 3z2 = 14 в точке (¡3; ¡2; ¡3) и определить ординату точки ее пересечения с осью Oy.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 2z = 3x2 ¡ y2 ¡ 14
в точке (3; ¡3; 2) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOz.
104 Типовой расчет по СФВА
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 99 |
|
1. |
Нарисовать |
область |
определения функции |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z = 3p4y ¡ x2 |
2 + 5p2x ¡ y2. |
|
|
|||||||
2. |
Нарисовать |
тело, ограниченное поверхностями |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
3. |
p |
|
|
|
p yx0 |
неявной функции |
||||
z = 8 x2 + y2 + 2; z = 4 ¡ 8 x2 + y2.
Вычислить производную
(3x2 + 2x + 2)(¡3y ¡ 3) + (4x + 1)(¡3y2 + 2y + 3) = ¡24 в точке (¡1; 1).
4. |
Вычислить частнûе производные функции |
z |
|
||||||
5. |
Вычислить |
¡ |
¼ |
¢ |
|
|
|||
z = (2x2 |
¡ 2y ¡ 3) sin |
4 (x ¡ y) в точке (1; ¡3). |
|
|
|
||||
|
|
|
полное приращение функции |
|
|
||||
z = (3x2 |
+ 5y2 + 5xy) ¢ cos |
xy |
|
|
|
||||
|
, åñëè x = ¡2, y = ¡1, |
x = ¡0:1, |
y = 0:2. |
||||||
8 |
|||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
||||||||
z = (3x2 |
+ 3y2 + 5xy) ¢ cos xy, åñëè x = ¡1, y = 0, |
x = ¡0:1, |
y = 0:2. |
||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
||||||
z = ¡3xye2x+2y |
в точке (3; ¡3). |
|
|
|
|||||
8. |
Вычислить вторую производную zxy00 (0; 0) функции |
|
|||||||
z = e4x+5y cos(¡2x + 3y) sin(¡2x + 3y). |
|
|
|
||||||
9. Вычислить значение второго дифференциала функции
4x ¡ 2y
z = 4x + 2y в точке Mo(1; 1), åñëè dx=0.4, dy=-0.3
10. Коэффициент при x3 в разложении функции z = 3 tg (3x ¡ 2y) формуле Маклорена равен
11. Найти наибольшее значение функции z = 5(x2 + y2) + 30y ¡ 31 условии fx2 + y2 · 16, 4x ¡ p20y ¸ 0g.
12. Найти координаты критической точки функции
u = 6x2 ¡ 6xy + 5y2 ¡ 2z2 ¡ 30x + 22y ¡ 8z + 41.
ïî
ïðè
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = 6x2 + 5xy + 3y2 + 21x ¡ 3y + 39.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
x2 ¡ 4y2 ¡ 2z2 = ¡40 в точке (¡2; ¡3; ¡2) и определить абсциссу точки ее пересечения с осью Ox.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 2z = x2 ¡ 3y2 + 22
в точке (3; 3; 2) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью yOz.
|
|
Типовой расчет по СФВА |
105 |
|||||
|
|
|
|
|
Вариант 100 |
|
||
1. |
Нарисовать область |
определения функции |
|
|
||||
z = 4 ln(8y ¡ x2 ¡ y2) + p16x + 16y ¡ x2 ¡ y2 ¡ 64. |
|
|||||||
2. |
Нарисовать тело, ограниченное |
поверхностями |
|
|||||
|
|
|
||||||
3. |
Вычислить |
|
pyx0 |
неявной функции |
|
|||
x2 |
+ y2 + (z ¡ 10)2 = 49; |
z = 2 x2 |
+ y2 + 3. |
|
||||
производную
sin(2x2 + 3x ¡ 3) + cos(¡3y2 + 4y + 1) + tg(4x ¡ 2y ¡ 2xy) = C в точке (¡3; ¡1).
4. |
Вычислить частнûе производные функции |
u |
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
Вычислить |
|
¡ |
¼ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z = (4x2 ¡ 2y ¡ 2) cos |
|
2 |
(x ¡ y) |
в точке (¡1; ¡2). |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
полное приращение функции |
|
|
|
|
|||||||||||
u = |
|
|
¡3xyz |
|
|
|
x = |
¡ |
1, |
y = |
¡ |
2, z = 0, |
x = 0:2, |
y = 0:1, z = 0:1. |
|
||||||||
3x + 4y + 2z , åñëè |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|
|
||||||||||||||||||||
z = (4x2 + 2y2 + 5xy) ¢ sin xy, åñëè x = 0, y = 1, |
x = 0:2, |
y = ¡0:2. |
|
|
|||||||||||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|
|
||||||||||||||||||
z = (¡2x + 4y)e2x+2y |
в точке (¡1; 1). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8. Вычислить вторую производную z00 (0; 0) функции z = e4x+3y cos( 5x |
¡ |
3y). |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
|
|
¡ |
|
|
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
|
|
||||||||||||||||||||
z = |
4x + 7y |
|
|
|
|
Mo(¡1; ¡1), åñëè dx=-0.4, dy=-0.1 |
|
|
|
||||||||||||||
3x + 3y в точке |
|
|
|
||||||||||||||||||||
10. Коэффициент при y3 |
в разложении функции z = 6 tg (2x + 3y) ïî |
|
|
||||||||||||||||||||
формуле Маклорена равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
11. Найти наибольшее значение функции z = 2(x2 + y2) ¡ 12y ¡ 39 ïðè |
|
|
|||||||||||||||||||||
условии fx2 + y2 · 25, 2x ¡ p |
32 |
y ¸ 0g. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
12. Найти сумму всех координат всех критических точек функции |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u = ¡ |
|
x3 ¡ |
|
y3 + 3x2 + y2 ¡ z2 ¡ 8x + 8y ¡ 6z + 27. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = ¡5x2 + 2xy ¡ 3y2 ¡ 36x + 24y + 33.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
2z = 2x2 + 4y2 + 74 в точке (¡3; ¡3; ¡2) и определить аппликату точки ее пересечения с осью Oz.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 5x2 + 4y2 + z2 = 30
в точке (1; 2; 3) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOy.
106 Типовой расчет по СФВА
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 101 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Нарисовать область определения функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
z = |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
+ ln(y ¡ 3x2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
49 ¡ x2 ¡ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Нарисовать тело, ограниченное |
|
поверхностями |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y2 + (z ¡ 7)2 = 81; z = 16 ¡ 4 x2 + y2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3. |
Вычислить производную y |
неявной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(¡2x2 + 3xy ¡ 2y2)(3x + 4y) = 80 в точке (1; ¡2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Вычислить сумму ÷астных производных функции |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
¡ |
¼ |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z = (2x ¡ 3xy ¡ 3y) sin |
|
12(x ¡ y) |
в точке (1; ¡1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
полное приращение функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3x2 + 4y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z = |
|
, åñëè x = 1, y = ¡2, x = ¡0:2, |
y = ¡0:1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
¡2x ¡ 2y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
z = (2x2 |
+ 5y2 + 5xy) ¢ sin xy, åñëè x = ¡2, y = 0, |
|
x = 0:2, |
y = ¡0:1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|
|
|
|
cos(3x 3y). |
|||||||||||||||||||||||||||||
8. Вычислить |
|
¡ |
¼ |
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
z00 (0; 0) функции z = e¡ ¡ |
|
||||||||||||||||||||||
z = (3x + 2y) sin2 |
|
|
8 |
(x ¡ y) |
|
|
в точке (¡1; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вторую производную |
xy |
|
|
|
|
|
|
3x |
5y |
|
¡ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
z = |
5x ¡ 2y |
|
|
|
|
|
|
M ( |
¡ |
2; |
¡ |
1), åñëè dx=0.3, dy=0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
3x |
¡ |
3y в точке |
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
в разложении функции |
|
|
2 |
|
|
|
|
ïî |
|||||||||||||
10. Коэффициент при |
y |
z = 6 sin |
(¡2x ¡ 3y) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|||||||||
формуле Тейлора в окрестности точки ( |
|
; 0) равен |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
11. Найти наибольшее значение функции z = 2(x2 + y2) + 8y ¡ 36 при условии fx2 + y2 · 9, 3x ¡ p27y · 0g.
12. Найти координаты критической точки функции
u = 5x2 ¡ 7xy + 4y2 + 3z2 ¡ 44x + 37y + 6z + 31.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = 3x2 + 5xy + 5y2 ¡ 3x + 15y + 40.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
2z = 2x2 + y2 + 29 в точке (2; ¡1; 2) и определить ординату точки ее пересечения с осью Oy.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 3x2 + y2 + 2z2 = 14
в точке (¡1; ¡3; 1) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOz.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Типовой расчет по СФВА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. Нарисовать |
область определения функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
z = 4p4 ¡ x2 |
|
¡ y2 + py ¡ 5x2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2. Нарисовать тело, |
ограниченное |
поверхностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ypx0 неявной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
z = 6 + 25 ¡ x2 ¡ y2; z = 1 + 7 x2 |
+ y2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вычислить производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
¡3x2 ¡ 2xy + 3y2 ¡ 12 |
= 4x + 3y в точке (0; |
¡ |
1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¡ |
3x |
¡ |
3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Вычислить сумму ÷астных производных функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Вычислить |
|
|
|
|
¡ |
¼ |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
z = (2x + 2xy ¡ 3y) cos |
2 |
(x ¡ y) в точке (¡2; ¡3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полное приращение функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
z = (5x2 + 5y2 ¡ 3xy) ¢ sin |
|
xy |
, åñëè x = ¡2, y = ¡1, x = ¡0:1, |
|
|
y = 0:2. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Вычислить значение полного дифференциала функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = |
|
¡2xy |
|
|
|
|
|
|
x = 2, y = 2, |
x = 0:2, |
|
y = |
¡ |
0:1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
¡ |
3x |
¡ |
2y , åñëè |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. Вычислить смешанную производную zxy00 |
|
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. Вычислить |
|
¡ |
¼ |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
z = (2x ¡ 3y) cos2 |
|
|
4 |
(x ¡ y) |
|
в точке (3; 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вторую производную |
z00 (0; 0) |
функции |
z = e |
2x |
¡ |
4y |
cos( 3x + 4y) |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. Вычислить значение второго дифференциала функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5x + 5y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z = |
|
|
|
|
в точке Mo(1; 3), åñëè dx=-0.3, dy=0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
6x + 2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. Коэффициент при |
|
x |
3 |
в разложении |
функции |
z = 6 sin |
2 |
(¡3x + 3y) |
ïî |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
формуле Тейлора в окрестности точки (0; |
|
) равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. Найти наименьшее значение функции z = 3(x2 + y2) + 18y ¡ 17 ïðè |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условии fx2 + y2 · 25, 2x ¡ p |
|
y ¸ 0g. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
12. Найти сумму всех координат всех критических точек функции |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u = ¡ |
|
x3 + |
|
y3 + 2x2 + y2 + 3z2 ¡ 3x ¡ 3y + 18z + 29. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = ¡5x2 + 3xy ¡ 5y2 + 29x ¡ 36y + 33.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
2z = x2 + 2y2 + 30 в точке (1; 1; ¡3) и определить абсциссу точки ее пересечения с осью Oz.
15. Найти уравнение нормали к поверхности x2 + 3y2 + 2z2 = 22
в точке (1; ¡1; ¡3) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью yOz.
108 Типовой расчет по СФВА
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 103 |
||
1. |
Нарисовать область определения функции |
||||||||||
z = |
|
|
3 |
|
+ ln(x ¡ 9y2). |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x2 |
+ y2 ¡ 25 |
|
|
|
|
|||||
2. |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нарисовать |
òåëî, |
ограниченное |
поверхностями |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
p |
x0 |
p |
|||||
z = ¡12 ¡ 49 ¡ x2 ¡ y2; z = ¡5 ¡ 4 x2 + y2. |
|||||||||||
3. |
Вычислить производную y |
|
неявной функции |
||||||||
sin(4x2 ¡ 2x + 2) + cos(3y2 ¡ 2y ¡ 1) + tg(2x ¡ 2y + 3xy) = C в точке (¡3; 2).
4. |
Вычислить сумму часòных производных функции |
|||||||||||
5. |
Вычислить полное |
|
|
¡ |
¼ |
¢ |
|
|
z |
|||
z = ¡(¡3x + 4xy ¡ 2y) sin2 |
|
4 (x ¡ y) |
в точке (1; 2). |
|||||||||
|
|
|
|
приращение функции |
|
|||||||
z = (3x2 + 5y2 ¡ 3xy) ¢ cos |
xy |
x = ¡2, y = 1, x = 0:1, y = 0:3. |
||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
7 , åñëè |
|||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|||||||||||
|
2x2 + 3y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z = |
|
, åñëè x = ¡2, y = ¡1, |
x = 0:2, |
|
y = ¡0:2. |
|||||||
2x + 2y |
|
|||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
||||||||||
z = 2xye3x¡2y в точке (2; 3). |
|
|
|
|
||||||||
8. Вычислить вторую производную zxx00 (0; 0) функции
z = e¡4x+5y sin(¡2x ¡ 3y).
9. Вычислить значение второго дифференциала функции
5x ¡ 3y
z = 3x + 3y в точке Mo(¡1; 3), åñëè dx=-0.2, dy=0.1
10.Коэффициент при x3 в разложении функции z = 6 tg (¡3x + 2y) по формуле Маклорена равен
11.Найти наименьшее значение функции z = 4x2 + 3y2 + 32x ¡ 30y + 34 ïðè
условии fx2 + y2 · 36, 5x ¡ 3y · 0g.
12. Найти координаты критической точки функции
u = 6x2 + 2xy + 3y2 + 2z2 + 18x ¡ 14y + 4z + 30.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = 4x2 + 5xy + 5y2 + 34x + 35y + 34.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
2z = 2x2 ¡ 3y2 + 15 в точке (2; 3; ¡2) и определить аппликату точки ее пересечения с осью Oz.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 4x2 + 5y2 ¡ z2 = 55
в точке (¡3; 2; ¡1) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOy.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Типовой расчет по СФВА |
|
|
109 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
104 |
|
|
|
|
|
|||
1. |
Нарисовать область определения функции |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
z = ¡2p36 ¡ x2 ¡ y2 |
+ px ¡ 9y2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. |
Нарисовать тело, |
ограниченное поверхностями |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
ypx0 |
неявной функции |
|
|
|||||||||
z = 6 + 25 ¡ x2 ¡ y2; z = 13 ¡ 16 ¡ x2 ¡ y2. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Вычислить производную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(4x2 + 3xy + 3y2)(¡3x + 2y) = ¡300 в точке (2; ¡3). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4. |
Вычислить сумму чàстных производных функции |
|
|
|||||||||||||||||||||
5. |
Вычислить полное¡ |
¼ |
|
¢ |
|
|
|
|
u |
|
|
|||||||||||||
z = (2x + 2xy + 4y) cos2 |
|
12(x ¡ y) |
в точке (3; ¡1). |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приращение функции |
|
|
|
|
||||||||
u = |
|
|
¡3xyz |
|
|
|
x = 3, y = |
1, z = 2, |
|
x = |
¡ |
0:1, y = 0:1, z = |
|
0:1. |
||||||||||
3x + 4y + 4z , åñëè |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
¡ |
|||||||||||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|
|
|||||||||||||||||||||
z = (2x2 + 4y2 + 4xy) ¢ cos xy, åñëè x = 0, y = ¡1, |
x = 0:1, y = ¡0:1. |
|
|
|||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|
||||||||||||||||||||
z = ( |
¡ |
3x |
¡ |
2y)e6x¡2y |
в точке ( |
¡ |
1; |
¡ |
3). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. Вычислить вторую производную z00 (0; 0) функции z = e5x¡5y sin( |
¡ |
3x + 3y). |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yy |
|
|
|
|
|
|
|
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
|
|
|||||||||||||||||||||
z = |
3x + 8y |
|
|
|
Mo(¡1; 1), åñëè dx=-0.2, dy=-0.3 |
|
|
|||||||||||||||||
6x |
¡ |
2y в точке |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.Коэффициент при y3 в разложении функции z = ¡3 tg (3x ¡ 3y) по формуле Маклорена равен
11.Найти наименьшее значение функции z = 4x2 + 3y2 + 32x + 18y + 58 ïðè
условии fx2 + y2 · 36, 3x + 3y · 0g.
12. Найти сумму всех координат всех критических точек функции
u = 13x3 ¡ 13y3 + x2 + y2 ¡ 2z2 ¡ 3x + 3y + 4z + 32.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = ¡2x2 ¡ 2xy ¡ 6y2 + 2x ¡ 32y + 33.
14.Найти уравнение касательной плоскости к поверхности 2z = 4x2 ¡ y2 ¡ 4 в точке (1; 2; ¡2) и определить ординату точки ее пересечения с осью Oy.
15.Найти уравнение нормали к поверхности 3x2 + y2 ¡ 5z2 = ¡8
в точке (¡1; ¡3; ¡2) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOz.
110 Типовой расчет по СФВА
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
Нарисовать область |
определения функции |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
z = ¡2 arcsin (x2 |
+ y2) + p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5x ¡ 6y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2. |
Нарисовать тело, |
ограниченное |
поверхностями |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z = ¡4 ¡ 36 ¡ x2 ¡ y2; z = ¡9 + 9 ¡ x2 ¡ y2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
Вычислить производную y |
|
|
неявной функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
¡2x2 ¡ 2xy ¡ 3y2 + 69 |
= 1 в точке ( |
2; |
¡ |
3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
4x2 + 4xy ¡ 2y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
Вычислить частные производные функции |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
z = |
4y2 + 3x ¡ 2 |
, в точке |
( |
¡ |
3; |
¡ |
3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
e4y¡4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
Вычислить полное приращение функции |
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
z = |
2x2 ¡ 2y2 |
|
|
|
|
x = |
¡ |
2, y = 2, |
x = |
¡ |
0:1, |
|
|
y = 0:3. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
¡ |
3x + 2y , åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
Вычислить значение полного дифференциала функции |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z = (3x2 + 5y2 + 4xy) ¢ cos xy, åñëè x = ¡2, y = 0, |
x = 0:1, y = 0:2. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
Вычислить |
|
¡ |
¼ |
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
|
|
|
|
|
|||||||
z = (3x ¡ 2y) sin2 |
|
12 |
(x ¡ y) |
в точке (2; ¡1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
вторую производную |
z00 (0; 0) |
|
|
z = e |
2x |
¡ |
5y |
sin(4x 5y) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. |
Вычислить значение второго дифференциала функции |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z = |
7x + 6y |
|
|
|
|
Mo(¡2; 3), åñëè dx=-0.1, dy=0.2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
5x + 3y |
в точке |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
10. Коэффициент при (y ¡ |
¼ |
)2 |
в разложении функции z = 2 sin2 (3x + 2y) ïî |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле Тейлора в окрестности точки (0; |
¼ |
) равен |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. Найти наименьшее значение функции z = 5x2 + 6y2 ¡ 60x ¡ 36y + 37 при условии fx2 + y2 · 64, 5x + 6y ¸ 0g.
12. Найти координаты критической точки функции
u = 3x2 ¡ 3xy + 5y2 ¡ 2z2 + 6x + 14y + 12z + 31.
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = 5x2 + 7xy + 3y2 ¡ 41x ¡ 32y + 28.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
2z = x2 ¡ 4y2 + 30 в точке (¡2; ¡3; ¡1) и определить абсциссу точки ее пересечения с осью Oz.
15. Найти уравнение нормали к поверхности x2 + 4y2 ¡ 2z2 = 2
в точке (2; ¡2; ¡3) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью yOz.
Типовой расчет по СФВА |
111 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 106 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Нарисовать область |
определения функции |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
z = 4 arccos (¡x2 |
¡ y2) + p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
8x + 5y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2. Нарисовать |
òåëî, |
ограниченное |
поверхностями |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
z = ¡15 + 49 ¡ x2 ¡ y2; z = ¡7 ¡ 16 ¡ x2 ¡ y2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Вычислить производную y |
x0 |
неявной функции |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
¡3x2 + 2xy ¡ 2y2 ¡ 4 |
= 2x |
¡ |
3y в точке (0; 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x + 2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4. Вычислить частные производные функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
z = |
¡3x2 + 4y + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1; |
¡ |
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
e¡3y¡6x |
|
, в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. Вычислить полное приращение функции |
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
z = (¡2x2 + 3y2 ¡ 2xy) ¢ sin |
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
, åñëè x = 1, y = ¡2, |
x = 0:3, |
y = 0:3. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Вычислить значение полного дифференциала функции |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = (3x2 |
+ 3y2 ¡ 2xy) ¢ sin xy, åñëè x = 0, y = 1, |
|
x = ¡0:1, |
y = ¡0:1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
7. Вычислить смешанную производную zxy00 |
функции |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z = (4x ¡ 3y) cos2 |
|
¼ |
(x ¡ y) |
|
в точке (4; ¡2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
8. Вычислить |
вторую производную |
zxx00 (0; 0) функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
z = e4x+4y cos(¡4x + 5y) sin(¡4x + 5y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
9. Вычислить значение второго дифференциала функции |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = |
7x + 3y |
|
|
|
Mo(1; 3), åñëè dx=0.3, dy=-0.2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
6x ¡ 3y |
в точке |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
10. Коэффициент при |
y |
3 |
|
в разложении функции |
z = ¡3 sin |
(¡3x + 3y) |
ïî |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
формуле Тейлора в окрестности точки ( |
|
; 0) равен |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. Найти наибольшее значение функции z = 3(x2 + y2) + 12x ¡ 31 ïðè |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условии fx2 + y2 · 16, p |
|
x + 2y · 0g. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
12. Найти сумму всех координат всех критических точек функции |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u = |
|
x3 |
¡ |
|
y3 ¡ 2x2 + y2 ¡ 4z2 + 3x + 3y ¡ 8z + 41. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
13. Найти координаты критической точки и экстремальное значение функции
z = ¡5x2 ¡ 2xy ¡ 3y2 + 34x + 18y + 28.
14. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
2x2 + 5y2 + 3z2 = 10 в точке (¡1; ¡1; 1) и определить аппликату точки ее пересечения с осью Oz.
15. Найти уравнение нормали к поверхности 3x2 ¡ 5y2 ¡ z2 = ¡6
в точке (1; ¡1; ¡2) и определить координаты точки ее пересечения с плоскостью xOy.