Типовой расчет по скалярным функциям векторного аргумента. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

12

Типовой расчет по СФВА

3.

Вычислить производную yx0

неявной функции

(¡3x2 ¡ 2xy + 4y2)(2x + 2y) = ¡64 в точке (0; ¡2).

4.

Вычислить сумму ÷àстных производных функции

5.

Вычислить полное¡

xy

¢

z

z = (4x + 4xy ¡ 2y) sin2

¼

(x ¡ y)

в точке (4; ¡2).

18

приращение функции

z = (4x2 + 4y2 + 4xy) ¢ cos

, åñëè x = 1, y = ¡2, x = 0:2,

y = 0:3.

7

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

2x2 + 4y2

z =

, åñëè x = 1, y = ¡2,

x = 0:2,

y = ¡0:2.

¡3x + 2y

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

8.

Вычислить

¡

¼

¢

zxx00 (0; 0) функции

z = (3x ¡ 2y) cos2

8

(x ¡ y)

в точке (2; 4).

вторую производную

z = e4x+3y cos(¡4x + 2y) sin(¡4x + 2y).

9.

Вычислить значение второго дифференциала функции

6x + 5y

z =

в точке Mo(3; ¡1), åñëè dx=-0.3, dy=0.4

2x + 2y

10. Коэффициент при

y

2

в разложении функции

z = ¡3 cos

2

(¡3x + 2y)

ïî

¼

формуле Тейлора в окрестности точки (

; 0) равен

6

Типовой расчет по СФВА

13

Вариант 8

1.

Нарисовать область определения функции

z = 3p49 ¡ x2 ¡ y2 + 9px2

+ y2

¡ 25.

2.

Нарисовать

тело, ограниченное поверхностями

3.

p

yx0

неявной функции

z = ¡9 x2 + y2 + 2; z = ¡6.

Вычислить производную

4x2 + 3xy + 3y2 ¡ 28

= 1 в точке (3; 4).

4x2 + 2xy + 2y2

4.

Вычислить сумму чàстных производных функции

5.

Вычислить полное¡

¼

¢

u

z = (3x ¡ 3xy ¡ 2y) cos2

12

(x ¡ y)

в точке (1; ¡3).

приращение функции

u =

¡3xyz

3z , åñëè

x = 2, y =

¡

2, z =

¡

2,

x = 0:3, y = 0:2, z = 0:2.

4x + 2y

¡

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z = (3x2 ¡ 2y2

+ 4xy) ¢ cos xy, åñëè x = 0, y = ¡2,

x = ¡0:2, y = 0:1.

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z = 3xye3x¡4y

в точке (4; 3).

10. Коэффициент при (x ¡

¼

)2 в разложении функции z = 2 cos2 (3x ¡ 3y) ïî

6

формуле Тейлора в окрестности точки (

¼

; 0) равен

6

11.

Найти наименьшее значение функции z = 3(x2 + y2) + 12y ¡ 14 ïðè

условии fx2 + y2 · 16, 2x ¡ p

y ¸ 0g.

21

12.

Найти сумму всех координат всех критических точек функции

1

1

u =

x3 +

y3 + x2 ¡ y2 ¡ 4z2 ¡ 3x ¡ 3y + 16z + 31.

3

3

13.

Найти координаты критической точки и экстремальное значение

Вариант

9

1.

Нарисовать область определения функции

z = 2p(64 ¡ x2

¡ y2)(x2

+ y2

¡ 4).

2.

Нарисовать

тело, ограниченное

поверхностями

3.

p

p yx0 неявной функции

z = 7 x2 + y2 + 3; z = 4 ¡ 7 x2 + y2.

Вычислить производную

2x2 ¡ 2xy + 2y2 + 36

=

¡

2x + 3y в точке (3; 0).

¡

3x + 2y

4.

Вычислить частные производные функции

z =

4y2

¡ 2x ¡ 1

( 3; 2).

e3y¡2x

, в точке

¡ ¡

5.

Вычислить полное приращение функции z

4x2 + 2y2

z =

, åñëè x = ¡1, y = ¡2,

x = 0:2,

y = 0:3.

2x

¡

2y

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z = (3x2 ¡ 2y2 + 4xy) ¢ cos xy, åñëè x = 2, y = 0,

x = 0:1,

y = ¡0:2.

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z = (4x + 2y)e6x+2y в точке (1; ¡3).

8.

Вычислить вторую производную zxy00 (0; 0) функции

z = e¡3x+5y cos(4x + 4y) sin(4x + 4y).

9.

Вычислить значение второго дифференциала функции

z =

7x + 6y

Mo(2; ¡2), åñëè dx=0.4, dy=-0.1

4x

¡

2y в точке

3

2

10. Коэффициент при

y

в разложении

функции

z = 3 sin

(¡2x ¡ 3y) ïî

¼

формуле Тейлора в окрестности точки (

; 0) равен

8

Типовой расчет по СФВА

15

Вариант

10

1.

Нарисовать область определения функции

z =

3

y ¡ x2 + 4x

¡

s

.

y + x2 + 9x

2.

Нарисовать тело, ограниченное

поверхностями

3.

Вычислить

p yx0 неявной функции

x2

+ y2 + (z ¡ 11)2 = 9; z = 7 x2 + y2 + 8.

производную

(¡3x2 ¡ 3x ¡ 3)(2y + 4) + (3x ¡ 2)(3y2 ¡ 3y + 2) = ¡358 в точке (4; 1).

4.

Вычислить частные производные функции

z =

2x2

+ 3y + 2

(2; 2).

e2y¡2x

, в точке

5.

Вычислить полное приращение функции

z

z = (3x2 + 3y2 + 5xy) ¢ sin

xy

, åñëè x = ¡2, y = ¡1,

x = ¡0:1,

y = ¡0:1.

10

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z = (5x2 ¡ 2y2 + 4xy) ¢ sin xy, åñëè x = 0, y = ¡1,

x = 0:2, y = ¡0:1.

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z = (4x ¡ 3y) sin2

¼

(x ¡ y)

в точке (4; ¡1).

20

8.

Вычислить

¡

¢

zxx00 (0; 0)

функции

z = e

4x

¡

5y

cos(5x + 3y)

.

вторую производную

9.

Вычислить значение второго дифференциала функции

z =

4x + 7y

Mo(3; 1), åñëè dx=-0.3, dy=0.1

3x ¡ 2y в точке

2

10. Коэффициент при x

3

в разложении

функции

z = ¡6 sin

(2x ¡ 2y)

ïî

¼

формуле Тейлора в окрестности точки (0;

) равен

8

Вариант 11

1.

Нарисовать область определения функции

z = ¡2p(y ¡ x2

+ 2x)(y + x2

+ 4x).

2.

Нарисовать тело, ограниченное

поверхностями

x2

x0 p

+ y2 + (z ¡ 5)2 = 81; z = 14 ¡ 2 x2 + y2.

3.

Вычислить производную y неявной функции

sin(4x2 + 2x + 4) + cos(¡3y2 ¡ 2y) + tg(3x + 4y ¡ 2xy) = C в точке (3; 3).

4.

Вычислить частнûе производные функции

z

5.

Вычислить

¡

¼

¢

z = (3x2 ¡ 2y ¡ 1) sin

4 (x ¡ y) в точке (1; ¡3).

полное приращение функции

z = (4x2 + 5y2 + 2xy) ¢ cos

xy

, åñëè x = ¡1, y = ¡2,

x = 0:3,

y = 0:2.

6

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z = (¡2x2 + 3y2

¡ 2xy) ¢ sin xy, åñëè x = ¡1, y = 0,

x = 0:1,

y = 0:2.

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

.

8.

Вычислить

¡

¼

¢

функции

z = (2x + 3y) cos2

4

(x ¡ y)

в точке (3; 4).

вторую производную

zxy00 (0; 0)

z = e

3x

¡

4y

cos(3x + 4y)

9.

Вычислить значение второго дифференциала функции

6x + 2y

z =

в точке Mo(2; ¡1), åñëè dx=0.4, dy=0.3

6x

¡

2y

Типовой расчет по СФВА

17

Вариант

12

1.

Нарисовать область определения функции

z = ¡3p(x + y ¡ 3)(x ¡ y + 4).

2.

Нарисовать тело,

ограниченное

поверхностями

3.

p

yx0pнеявной функции

z = 12 + 4 ¡ x2 ¡ y2; z = 10 + 7 x2 + y2.

Вычислить производную

(4x2 + 2xy + 3y2)(2x + 2y) = 550 в точке (2; 3).

4.

Вычислить частнûе производные функции

u

5.

Вычислить

¡

¼

¡

z = (3x2 ¡ 3y ¡ 3) cos

6 (x ¡ y)

в точке (0; ¡3).

полное приращение функции

u =

2xyz

, åñëè x = 2, y = 2, z = 1,

x = 0:2, y = 0:3,

z = ¡0:2.

2x + 3y + 4z

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

2xy

z =

, åñëè x = 1, y = 1, x = ¡0:1,

y = 0:2.

¡3x + 4y

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z = 3xye2x+3y в точке (3; ¡2).

8.

Вычислить вторую производную zyy00 (0; 0) функции z = e2x¡3y cos(5x + 3y).

9.

Вычислить значение второго дифференциала функции

z =

6x ¡ 2y

Mo(3; 2), åñëè dx=0.3, dy=0.4

3x + 3y в точке

Вариант

13

1.

Нарисоватьp

областьp

определения.

функции

z = 2 x + y + 3 + x ¡ y ¡ 7

2.

Нарисовать

òåëî,

ограниченное

поверхностями

p

x0

p

z = ¡13 ¡ 81 ¡ x2 ¡ y2; z = ¡4 ¡ 3 x2 + y2.

3.

Вычислить производную y

неявной функции

¡2x2 + 2xy + 2y2 ¡ 28

= 3x

¡

2y в точке (

¡

2; 0).

¡

3x

¡

2y

4.

Вычислить сумму чàñтных производных функции

5.

Вычислить полное¡

¼

¢

z

z = (¡3x + 2xy ¡ 3y) sin

30

(x ¡ y)

в точке (5; 0).

приращение функции

3x2 + 3y2

, åñëè x = 1, y = ¡1,

x = 0:2,

y = 0:2.

z =

2x

¡

2y

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z =

¡3x2

+ 3y2

x = 2, y = 2,

x = 0:1,

y = 0:2.

2y

, åñëè

2x

¡

¡

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z = (3x + 3y)e6x¡3y в точке (

1;

¡

2).

¡

8.

Вычислить вторую производную z00

(0; 0) функции z = e4x¡3y sin(5x

¡

2y).

xx

9.

Вычислить значение второго дифференциала функции

z =

3x ¡ 3y

M (

¡

1;

¡

1), åñëè dx=0.3, dy=-0.4

6x + 3y в точке

o

10. Коэффициент при xy2

в разложении функции z = 2 tg (¡3x + 3y) ïî

формуле Маклорена равен

Типовой расчет по СФВА

19

1.

Нарисовать область определения функции

z = 2 ln

x2

+ y2 ¡ 10x

20x ¡ x2 ¡ y2 .

2.

Нарисовать тело,

ограниченное поверхностями

z = 6 + 25 ¡ x2 ¡ y2; z = 11 ¡ 16 ¡ x2

¡ y2.

3.

Вычислить производную

ypx0

неявной функции

p

(¡2x2 ¡ 2x + 3)(¡3y + 1) + (3x ¡ 3)(2y2 ¡ 3y ¡ 1) = 368 в точке (4; 3).

4.

Вычислить сумму ÷àстных производных функции

¼

в точке (1; ¡2).

z = (2x + 3xy + 4y) cos

12(x ¡ y)

5.

Вычислить

полное приращение функции

z

¡

xy

¢

z = (4x2 + 5y2 + 4xy) ¢ sin

x = ¡1, y = ¡2,

x = ¡0:2,

y = 0:3.

, åñëè

5

6.

Вычислить значение полного дифференциала функции

z = (5x2 ¡ 3y2 + 3xy) ¢ cos xy, åñëè x = 0, y = ¡2,

x = ¡0:2, y = 0:2.

7.

Вычислить смешанную производную zxy00

функции

z = (¡2x + 3y) sin2

¼

(x ¡ y)