Типовой расчет по дифференциальным уравнениям. Часть 2. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

12

ТР-31 Дифференциальные уравнения

y00 ¡ 4y0 ¡ 12y = ¡2e¡2x sin 6x.

¡

2¡x

¢

3)

¡

¡2x

cos 6

+

sin 6

¢

4)

cos 6

+

sin 6

1) e

2x Ax

x

Bx

x 2) e

2x A

x

B

x

Axe¡

sin 6x

Ae¡

sin 6x

10.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 36y = 3x cos 6x.

(Ax2+ B) cos 6x

3)

(Ax2+ B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x¢

4)

2

1)

2)

¢

10.3.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

(Ax + Bx + C) cos 6x

(Ax + Bx) cos 6x + (Cx + Dx) sin 6x

y00 ¡ 8y0 + 20y = 2xe4x cos 2x:

¡

¢

3)

4x

(

2

2

4)

4x

2

1)

e4x

Ax + B) cos 2x

2) e4x

(Ax + B) cos 2x + (Cx + D) sin 2x

e

¡(Ax + Bx) cos 2x + (Cx + Dx) sin 2x¢

e

(Ax + Bx) cos 2x

y00

¡ 4y0 + 40y = ¡139 cos 7x + 48 sin 7x.

6e3x

10.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 6y0 + 9y =

p

.

2

10.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

x ¡ 16

+ 64y = 512 tg 8x.

10.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 3y1 ¡ 3y2

¡

:

> y0

= 6y

1

¡

3y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) =

3

è

.

>

y2(0) = 6

14

ТР-31 Дифференциальные уравнения

12.2.

¡

¢

¡

¢

3) e¡2x

Ax + B 4) e¡2x Ax2

+ Bx

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 4y = 5x cos 2x

¡

3 sin 2x.

1)

2

2

2)

2

3) (Ax

+ Bx) cos 2x + (Cx

+ Dx) sin 2x¢ 4)

(Ax

+ Bx) cos 2x + Cx sin 2x

¢

12.3.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

(Ax + B) cos 2x + C sin 2x

(Ax + B) cos 2x + (Cx + D) sin 2x

y00 + 4y0 + 20y = e¡2x(¡2x ¡ 4):

1) e¡2x(Ax2 + Bx + C) 2) e¡2x(Ax3 + Bx2 + Cx)

3) e¡2x(Ax2 + Bx)

4) e¡2x(Ax + B)

12.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 8y0 + 16y = e4x¡

¡ 12x ¡ 6¢.

12.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡

¢

.

y00 + 4y0 + 13y = e¡2x

¡ 12 cos 3x ¡ 12 sin 3x

18

y00

12.8.

решение дифференциального уравнения

¡ 3y0 = 1 + e¡3x .

72

12.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 9y =

.

cos2 3x

12.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

>

<

= 7y1 + y2

8 y10

:> y20

= ¡24y1 ¡ 3y2

ТР-31 Дифференциальные уравнения

15

13.2.

¡

¢

¡

¢

3) e¡3x

Ax2

+ Bx 4) e¡3x Ax + B

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 25y = 3 cos 5x + 2x sin 5x.

¢

3)

(

+

) cos 5

2

4)

2

2

1)

Ax

B

x + (Cx + D) sin 5x

2) A cos 5x + (Cx + D) sin 5x

¢

13.3.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

Ax cos 5x + (Cx + Dx) sin 5x

¢.

(Ax + Bx) cos 5x + (Cx + Dx) sin 5x

1)

2x

2

¡

¡

¡

2)

2x

y00 + 4y0

+ 40y = e

2x

2x cos 4x

2 sin 4x

3)

e¡2x

¡Ax

2cos 4x + Bx sin 4x¢

2

¢

4)

e¡2x

¡(Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x¢

13.4.

¡

e¡

¡

¢

e¡

(Ax + Bx) cos 4x + (Cx + Dx) sin 4x

(Ax + B) cos 4x + C sin 4x

Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 6y0

+ 8y = 24x2

+ 44x + 62.

¡

y00

¡ 4y0 + 29y = 165 cos 4x + 105 sin 4x.

4e3x

13.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 6y0 + 9y = ¡p

81 ¡ x

2

.

13.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 9y = 36 tg 3x.

13.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 6y1 ¡ 5y2

¡

:

> y0

= 5y

1

+ 6y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 15

è

y2

.

>

(0) = 10

Вариант

D - 14

14.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡

2x

0

2

¡

2) ¡2x

¢.

3

2

y00

4y

+ 4y = e2x

5x 4

3) e2x

¡Ax + Bx¢

4) e2x

¡Ax3 + Bx2 + Cx + D¢

14.2.

¡

¢

e

¡

¢

e

Ax + B

Ax + Bx

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 4y = 4x2 + 4x + 5.

1) Ax3 + Bx2 + Cx 2) Ax4 + Bx3 + Cx2

3) Ax2 + Bx + C

4) Ax3 + Bx2 + Cx + D

14.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡e3x

Ax2

Bx

¡ ¡ x

Cx2

Dx

¢

.

x

2) e3x

Ax

B

x + (Cx + D) sin 5x

y00

6y0

+ 45y = e3x

4 cos 5x ¡ 3x sin 5x

3)

e

3x

¡( +

) cos 5 + (

+

) sin 5

¢

4)

e

3x

¡(

+

) cos 5

2

¢

¡A cos 5x + (Cx + D) sin 5x¢

¡Ax cos 5x + (Bx

+ Cx) sin 5x¢

14.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 10y0 + 25y = ¡

14e5x

49 + x2 .

14.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 25y = 150 ctg 5x.

¡

14.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 4y1 ¡ 5y2

¡

:

> y0

= 4y

1

¡

4y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 2

è

y2(0) =

.

>

6

ТР-31 Дифференциальные уравнения

17

y00 ¡ 2y0 = 5x2 + 5x ¡ 3.

1) Ax3 + Bx2 + Cx + D

2) Ax3 + Bx2 + Cx

3) Ax2 + Bx + C

4) Ax4 + Bx3 + Cx2

15.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y = 5e2x cos 3x.

¢

3)

e

¡2x cos 3

+

sin 3

4)

2x

cos 3

1)

2x

A

x

B

x 2) Ae2x

x

¢

15.3.

Определить вид частного

¡

Axe

cos 3x

e Ax cos 3x + Bx sin 3x

1) e

A

x

¡B¡

x

¡

решения дифференциального уравнения

2x

¢.

2) e 2x

Ax

x

Bx sin 4x

y00 + 4y0

+ 20y = e

2x

2 cos 4x

4 sin 4x

3)

¡2x

¡

cos 4

+

sin 4

¢

4)

¡2x

¡

2cos 4

+

¡ 3

2

¢

¡ ¡

e¡

¡

¢

e¡

¡

00

0

= ¡

¢

(Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x

Ax cos 4x + Bx sin 4x

15.4. Найти общее решение дифференциального уравнения y

y

63x2

0x 12.

15.5. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 9y = 81 cos 6x + 54 sin 6x.

15.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 8y0 + 16y = e4x

¡384x + 352¢.

15.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00

+ 10y0 + 25y =

Найти общее

¡

¢

.

y00 + 6y0

+ 18y = e¡3x

12 cos 3x ¡ 54 sin 3x

4e¡5x

15.8.

решение дифференциального уравнения

¡px2 + 9.

15.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 36y =

360

¡cos2 6x.

15.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡3y1 ¡ y2

¡

:

> y0

=

9y

1

¡

9y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 8

è

y2(0) =

.

>

2

Вариант

D - 16

16.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡Ax B

¡ ¡

2) e¢2.x

Ax B

y00

2y0 = e2x

4x + 5

3)

2x

+

2

4)

¡2

+

¢

16.2.

¡

¢ вид частного решения дифференциального уравнения

e

Ax + Bx

Ax + Bx

Определить

y00 + 16y = ¡4e2x sin 4x.

¢

2¡x

¢

3)

e

¡2x cos 4

+

sin 4

4)

cos 4

+

sin 4

1)

2x

A

x

B

x 2) e2x Ax

x

Bx

x

Axe

sin 4x

Ae

sin 4x

16.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 8y0 + 25y = 2xe4x cos 3x:

1)

e4x(Ax + B) cos 3x

¢

2) e4x(Ax2 + Bx) cos 3x

16.4.

¡

¡

¢

3)

e4x

(Ax2 + Bx) cos 3x + (Cx2 + Dx) sin 3x

4) e4x

(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x

Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 7y0 + 12y = 84x2 + 206x + 125.

16.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 16y = 56 cos 4x

¡

56 sin 4x.

y00

+ 6y0 + 25y = 9 cos 6x

¡

357 sin 6x.

2e3x

16.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 6y0 + 9y = ¡p

.

2

16.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

x ¡ 64

+ 16y = 224 tg 4x.

16.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 2y1

+ y2

¡

:

> y0

= 18y

1

¡

y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 5

è

y2

(0) = 57

.

>

ТР-31 Дифференциальные уравнения

19

y00 ¡ y0 ¡ 2y = 5 cos 2x.

1)

A cos 2x + B sin 2x

2) Ax cos 2x

3)

A cos 2x

4) Ax cos 2x + Bx sin 2x

17.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 4y = 5x cos 2x.

+ Dx) sin 2x¢

1)

2

2

2)

2

3)

(Ax

+ Bx) cos 2x + (Cx

4) (Ax

+ Bx + C) cos 2x

¢

17.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

(Ax + B) cos 2x

(Ax + B) cos 2x + (Cx + D) sin 2x

y00 + 4y0

+ 13y = 5xe¡2x sin 3x:

¢

¡2x

¡(

¢

3)

¡2x

¡(

2

+

) cos 3

+ (

+

) sin 3

4)

+

) cos 3

+ (

+

) sin 3

1)

e

2x

Ax

B

x

Cx

D

x

2) e

2x

Ax2

Bx

x

Cx2

Dx

x

e¡

(Ax + Bx) sin 3x

e¡

(Ax + B) sin 3x

17.4. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 8y0

+ 16y = 64x2 + 112x + 144.

20

ТР-31 Дифференциальные уравнения

y00 ¡ 9y0 + 20y = 3 sin 5x.

1)

Ax cos 5x + Bx sin 5x

2) A cos 5x + B sin 5x

3)

A sin 5x

4) Ax sin 5x

18.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y = 3x sin 3x.

+ Dx) sin 3x¢

3)

(Ax2+ B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x¢

4)

(Ax

2

+ Bx) cos 3x + (Cx

2

1)

2)

(Ax + Bx + C) sin 3x

(Ax + B) sin 3x

18.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 4y0 + 40y = e¡2x(4x + 5):

1) e¡2x(Ax2 + Bx)

2) e¡2x(Ax2 + Bx + C)

18.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡решение

¢

.

y00

¡ 4y0 + 20y = e2x

56 cos 4x ¡ 32 sin 4x

54