Типовой расчет по дифференциальным уравнениям. Часть 2. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

92

ТР-31 Дифференциальные уравнения

y00 ¡ y0 ¡ 12y = 5e¡3x sin 4x.

1)

e¡3x

Ax cos 4x + Bx sin 4x

2) Axe¡3x sin 4x

3)

e¡3x

¡A cos 4x + B sin 4x

¢

4) Ae¡3x sin 4x

90.2.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

y00 + 4y = 4 cos 2x

¡

2x sin 2x.

1)

Ax cos 2x + (Cx2 + Dx) sin 2x

2) A cos 2x + (Cx + D) sin 2x

3)

(Ax2 + Bx) cos 2x + (Cx2 + Dx) sin 2x

4) (Ax + B) cos 2x + (Cx + D) sin 2x

¢

90.3. Определить вид частного решения¢дифференциального уравнения

y00 + 4y0 + 20y = e¡2x(¡3x + 5):

1) e¡2x(Ax2 + Bx)

2) e¡2x(Ax + B)

90.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

90.8. Найти общее

¡решение

¢

.

y00

+ 4y0 + 8y = e¡2x

20 cos 2x + 12 sin 2x

дифференциального уравнения

y00

¡ 5y0 = ¡

100

1 + e¡5x .

224

90.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 16y =

cos2 4x.

90.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 3y1

¡ y2

¡

:

> y0

=

¡

5y

1

¡

y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) =

1

è

y2(0) = 31

.

>

ТР-31 Дифференциальные уравнения

93

Вариант

D - 91

91.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡

3x0

¡

2

¡

¡

2)

¢.

y00

3y

4y = e

3x

5x + 5

3)

e¡

2

¡Ax + Bx¢

4)

Ax3x+ B

¢

91.2.

Определить вид

e¡

¡

Ax + Bx

Ax + B

частного решения дифференциального уравнения

y00 + 25y = 4x2 ¡ 1x + 4.

1) Ax4 + Bx3 + Cx2

2) Ax3 + Bx2 + Cx + D

3) Ax2 + Bx + C

4) Ax3 + Bx2 + Cx

91.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

x

1) e

2x

Ax B

¡

x C

x 2) e

2¢x

Ax2

Bx

x Cx2

Dx

y00 + 4y0

+ 20y = e¡2x

¡ 2x cos 5x ¡ 2 sin 5x .

3)

¡2x

¡(

2

+

) cos 5

+

sin 5

¢

4)

¡2x

¡(

+

) cos 5

+ (

+

) sin 5 ¢

91.4.

¡

¢

e¡

¡

¢

e¡

Ax cos 5x + Bx sin 5x

(Ax + B) cos 5x + (Cx + D) sin 5x

Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 2y0

¡ 8y = ¡16x2 ¡ 32x + 30.

y00

¡ 8y0 + 52y = ¡112 cos 6x + 304 sin 6x.

4e4x

91.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 8y0

+ 16y =

p

64 ¡ x

2

.

91.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 36y = 288 tg 6x.

¡

91.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 8y1 ¡ 6y2

>

:

= 6y

+ 8y

> y0

1

2

<

2

Вариант

D - 92

92.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)

¡

¢

.

y00 + 3y0

+ 2y = e¡2x

5x + 2

+ Bx¢

3)

Ax2x

+ Bx

4)

e¡

¡Ax

2

2)

2x

2

92.2.

¡

¢

e¡

Ax + B

Ax + B

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y = 4e¡2x cos 3x.

¢

3)

¡2x

4)

2x

1)

e¡2x

A cos 3x + B sin 3x

2) Ae¡2x cos 3x

¢

92.3.

Определить вид частного

¡

Axe¡

cos 3x

e¡

Ax cos 3x + Bx sin 3x

e

2x0

решения дифференциального уравнения

1)

A cos 2x + (Cx¡ ¡+ D) sin 2x

¢.

2) e 2x

Ax cos 2x + (Bx2 + Cx) sin 2x

y00 + 4y + 20y = e¡2x

2 cos 2x + 5x sin 2x

3)

¡2x

¡

2

2

¢

¢

4)

¡2x

¡

¢

92.4.

¡

e¡

¡

¢

e¡

(Ax + Bx) cos 2x + (Cx + Dx) sin 2x

(Ax + B) cos 2x + (Cx + D) sin 2x

Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 8y0

+ 16y = 144x2 ¡ 208x + 146.

92.6. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ y0 ¡ 6y = e2x¡ ¡ 40x + 2¢.

92.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00

+ 6y0 + 9y =

Найти общее

¡решение

¢

.

y00

¡ 4y0 + 53y = e5x

186 cos 2x + 72 sin 2x

3e¡3x

92.8.

дифференциального уравнения

px2 + 16.

92.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 4y = 40 ctg 2x.

92.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 6y1 ¡ 5y2

:

= 8y

6y

> y0

1

¡

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 4

è

y2

(0) = 6

.

>

ТР-31 Дифференциальные уравнения

95

Вариант

D - 93

93.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 2y0 + y = e¡3x

6x + 4

1)

3x

¡Ax + B¢

¡2)

3x¢.

2

+ Bx¢

3)

e¡

4) e¡

2 ¡Ax

Ax + B

Ax + Bx

93.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 25y = ¡3e3x sin 5x.

3)

e3x

¡Ax cos 5x + Bx sin 5x¢

4)

3x

sin 5

1)

3x

2) Axe3x

x

e

A cos 5x + B sin 5x

Ae

sin 5x

93.3.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

y00

8y

+ 25y = e4x 2 cos 3x + 5 sin 3x

1)¡e4x

0A cos 3x + B¡sin 3x

2) e4x¢.Ax cos 3x + Bx sin 3x

3)

e

4x

¡

2

cos 3x + Bx

2

¢

4)

e

4x

¡

¢

¡Ax

sin 3x¢

¡(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x¢

93.6. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 7y0

+ 10y = e5x¡12x + 4¢.

93.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡

¢

.

y00 + 6y0 + 34y = e¡3x

90 cos 5x + 30 sin 5x

93.8.

решение дифференциального уравнения

y00

¡ 6y0

+ 9y = p

4e3x

.

2

93.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 36y =

216

x

¡ 81

cos2 6x.

93.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 9y1

¡ y2

¡

:

> y0

= 36y

1

¡

3y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 3

è

y2

(0) =

.

>

1

Вариант

D - 94

94.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡5x

0

3

2

¡2)

5x

¢. 3

2

y00

10y

+ 25y = e5x 5x + 4

3) e5x

¡Ax + Bx ¢

4)

e5x

¡Ax2

+ Bx + Cx + D¢

94.2.

¡

¢

e

¡

¢

e

Ax + B

Ax + Bx

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 36y = 4x cos 6x.

3)

(Ax2+ B) cos 6x + (Cx +2D) sin 6x¢

4)

(Ax

2

+ Bx + C) cos 6x

1)

2)

94.3.

Определить вид частного решения¢дифференциального уравнения

(Ax + Bx) cos 6x + (Cx + Dx) sin 6x

(Ax + B) cos 6x

y00 + 6y0 + 25y = 5xe¡3x cos 4x:

1)

e¡3x(Ax + B) cos 4x

2) e¡3x(Ax2 + Bx) cos 4x

94.4.

¡

¢

¡

¢

3)

e¡3x

(Ax2 + Bx) cos 4x + (Cx2 + Dx) sin 4x

4) e¡3x

(Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x

ТР-31 Дифференциальные уравнения

97

y00 ¡ 5y0 = ¡2x2 ¡ 1x ¡ 1.

1)

Ax3 + Bx2 + Cx + D

2) Ax3 + Bx2 + Cx

3)

Ax4 + Bx3 + Cx2

4) Ax2 + Bx + C

95.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 16y = 6x sin 4x.

+ Dx) sin 4x¢

3)

(Ax2

+ Bx) cos 4x + (Cx

4)

(Ax + B) sin 4x

1)

2

2

2)

¢

95.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

(Ax + Bx + C) sin 4x

(Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x

y00 ¡ 4y0 + 20y = ¡2xe2x sin 4x:

¢

¡(

¢

3)

e2x

¡(

2

+

) cos 4

+ (

+

) sin 4

4)

2x

+

) cos 4

+ (

+

) sin 4

1)

2x

Ax

B

x

Cx

D

x

2) e2x

Ax2

Bx

x

Cx2

Dx

x

e

(Ax + Bx) sin 4x

e

(Ax + B) sin 4x

95.4. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 8y0 + 16y =

¡

48x2 + 48x + 10.

95.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 5y0 =

100

1 + e5x .

95.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 49y = 392 ctg 7x.

95.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

> y0

= 4y

1

¡

3y

2

<

2

8 y10

= ¡3y1

¡ 4y2

:

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 8

è

y2

.

>

(0) = 8

96.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

Ax

Bx

¡

¢

.

y00 ¡ 4y0 = e4x 6x + 6

e

¡Ax + B¢

3)

4x

2

+

2

4)

4x

1)

¢

2)

96.2.

¡

вид частного решения дифференциального уравнения

e

Ax + Bx

Ax + B

Определить

y00 + 4y =

¡

4x cos 2x + 2 sin 2x.

1)

(Ax2+ B) cos 2x + (Cx +2D) sin 2x¢

2)

(Ax

2

+ Bx) cos 2x + Cx sin 2x

3)

4)

96.3.

Определить вид частного решения¢дифференциального уравнения

(Ax + Bx) cos 2x + (Cx + Dx) sin 2x

(Ax + B) cos 2x + C sin 2x

y00 ¡ 6y0 + 25y = e3x(6x + 5):

1) e3x(Ax2 + Bx)

2) e3x(Ax2 + Bx + C)

y00

+ 16y = 40 cos 4x + 32 sin 4x.

+ 20y = e3x¡12x ¡ 0¢.

96.6. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 9y0

96.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00

+ 8y0

+ 16y =

Найти общее

¡решение

¢

.

y00

¡ 8y0 + 65y = e4x

70 cos 7x + 56 sin 7x

2e¡4x

96.8.

дифференциального уравнения

400

¡p64 ¡ x2 .

96.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 25y =

cos2 5x.

96.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

> y0

= 8y

+

4y

8 y10

= ¡4y1

¡ 4y2

:

2

1

2

<

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 12

è

y2

.

>

(0) = 4

ТР-31 Дифференциальные уравнения

99

Вариант

D - 97

97.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 4y0

¡ 12y = 2 cos 6x.

1)

Ax cos 6x

2) A cos 6x + B sin 6x

3)

A cos 6x

4) Ax cos 6x + Bx sin 6x

97.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 25y = 5 cos 5x + 5x sin 5x.

(Ax2+ B) cos 5x + (Cx +2D) sin 5x¢

3)

Ax cos 5x + (Cx

2

+ Dx) sin 5x

4)

1)

2)

¢

97.3.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

A cos 5x + (Cx + D) sin 5x

(Ax + Bx) cos 5x + (Cx + Dx) sin 5x

1) e

3x0

¡

¡

¡

¢.

2) e 3x Ax B

x C

x

y00 + 6y

+ 34y = e

3x

4x cos 4x + 6 sin 4x

3)

¡3x

¡(Ax2+ B) cos 4x + (Cx +2D) sin 4x¢

4)

¡3x

¡( 2

+

) cos 4 +

sin 4 ¢

97.4.

¡

общее решение

¢

e¡

¡

¢

e¡

(Ax + Bx) cos 4x + (Cx + Dx) sin 4x

Ax cos 4x + Bx sin 4x

Найти

дифференциального уравнения

y00 ¡ 5y0

+ 6y = 18x2 ¡ 18x ¡ 22.

97.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 + 9y = 36 tg 3x.

¡

97.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 2y1

¡ y2

:

= 25y

8y

> y0

1

¡

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 8 è y2(0) = 9.

>

100

ТР-31 Дифференциальные уравнения

y00

¡ 7y0 + 12y = ¡2 sin 3x.

1) A cos 3x + B sin 3x

2) Ax sin 3x

3) Ax cos 3x + Bx sin 3x

4) A sin 3x

98.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 25y = ¡1x2 + 3x + 6.

1) Ax3 + Bx2 + Cx + D

2) Ax2 + Bx + C

3) Ax3 + Bx2 + Cx

4) Ax4 + Bx3 + Cx2

98.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 6y0 + 25y = e¡3x

3 cos 2x ¡ 2x sin 2x .

¡3x¡

¢

3)

¡3x¡

2

2 ¢

¢

4)