Типовой расчет по дифференциальным уравнениям. Часть 2. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

ТР-31 Дифференциальные уравнения

103

101.2.¡

¢

¡

¢

3) e3x

Ax2 + Bx

4) e3x

Ax + B

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 16y = 3x cos 4x.

(Ax2+ B) cos 4x

3)

(Ax2+ B) cos 4x + (Cx +2D) sin 4x¢

4)

1)

¢

2)

101.3.

Определить вид частного

(Ax + Bx) cos 4x + (Cx + Dx) sin 4x

(Ax + Bx + C) cos 4x

решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 8y0 + 20y = 5xe4x sin 2x:

e4x

¡(

¢

3)

e4x(Ax + B) sin 2x

4)

2

+

) cos 2

+ (

+

) sin 2

1)

4x

¢

2)

4x

Ax2

Bx

x

Cx2

Dx

x

101.4.¡Найти общее решение

e (Ax + B) cos 2x + (Cx + D) sin 2x

e

(Ax + Bx) sin 2x

дифференциального уравнения

y00 ¡ 6y0 + 9y = 81x2 ¡ 45x ¡ 15.

101.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 25y = 84 cos 2x + 147 sin 2x.

101.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 8y0 + 15y = e5x¡40x + 109¢.

101.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее¡

решение

¢

.

y00 + 4y0 + 53y = e5x

¡ 522 cos 6x + 4 sin 6x

100

y00

101.8.

дифференциального уравнения

¡ 5y0 = 1 + e¡5x .

101.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 25y =

150 ctg 5x.

¡

101.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡3y1

+ y2

:

=

16y

11y

> y0

¡

1

¡

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 8

è

.

>

y2(0) = 5

Вариант

D - 102

102.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡Ax

¡ B

¡2)

2x

¢

.

2

y00

y0

2y = e2x 6x ¡ 4

3)

2x

+

4)

e

¡2Ax + Bx¢

102.2.¡

¢

Ax + Bx

e

Ax + B

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y = 4x sin 3x.

+ Dx) sin 3x¢

3)

(Ax2+ B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x¢

4)

(Ax

2

+ Bx) cos 3x + (Cx

2

1)

2)

(Ax + Bx + C) sin 3x

(Ax + B) sin 3x

102.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 6y0 + 25y = e¡3x(5x

¡

3):

1) e¡3x(Ax + B)

2) e¡3x(Ax2 + Bx + C)

3) e¡3x(Ax3 + Bx2 + Cx) 4) e¡3x(Ax2 + Bx)

y00

+ 25y = 60 cos 5x

¡

80 sin 5x.

102.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 8y0 + 16y = e7x

¡242x + 649¢.

102.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00

+ 4y0 + 4y =

Найти общее¡

решение

¢

.

y00

¡ 4y0 + 40y = e2x

60 cos 6x ¡ 72 sin 6x

2e¡2x

102.8.

дифференциального уравнения

¡p9 ¡ x2 .

102.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 16y =

192

cos2 4x.

102.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 3y1

¡ y2

¡

:

> y0

=

¡

12y

1

¡

y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 5

è

y2(0) =

.

>

50

ТР-31 Дифференциальные уравнения

105

Вариант

D - 103

103.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

Ax

B

¡

e

Ax

¢

Bx

y00 + 4y0

+ 4y = e3x

¡ 4x ¡ 4 .

¢

3)

3x

+

4)

3x

¡2

2

+

1)

2)

103.2.¡

¢

e

Ax + B

Ax + Bx

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y =

¡

2x cos 3x + 4 sin 3x.

1)

2) (Ax2 + Bx) cos 3x + Cx sin 3x

(Ax + B) cos 3x + C sin 3x

¢

103.3.

Определить вид частного

¢

3)

(Ax2

+ Bx) cos 3x + (Cx2

+ Dx) sin 3x

4) (Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x

1)¡2x

0

¡

решения дифференциального уравнения

¢.

2) 2x

2

y00

4y

+ 40y = e2x

6x cos 3x + 2 sin 3x

3)

e2x¡(Ax2+ B) cos 3x + C sin 32x¢

¢

4)

e2x

¡Ax cos 3x + Bx sin 3x¢

¢

103.4.¡Найти общее решение

e

¡

e

(Ax + Bx) cos 3x + (Cx + Dx) sin 3x

(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x

дифференциального уравнения

y00 + 6y0

+ 8y = 24x2 + 108x + 52.

103.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 + 64y = 512 tg 8x.

¡

103.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 11y1 ¡ 3y2

:

= 3y

+ 11y

> y0

1

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 3

è

y2

.

>

(0) = 9

Вариант

D - 104

104.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 4y

+ 4y = e

2x

2x

3

1)

2x0

¡

¡

¡

¢.

2)

2x

2

+ Bx¢2

3)

e¡2x

¡Ax3+ B¢

2

+ Cx + D

4)

e¡2x

¡Ax3

e¡

Ax + Bx

e¡

Ax + Bx

104.2.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

¡

¢

y00 + 25y = 6 cos 5x

¡

4x sin 5x.

1)

2

2

+ Dx) sin 5x¢

2)

2

3)

(Ax

+ Bx) cos 5x + (Cx

4) Ax cos 5x + (Cx

+ Dx) sin 5x

A cos 5x + (Cx + D) sin 5x

(Ax + B) cos 5x + (Cx + D) sin 5x

104.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¢

y00 + 6y0 + 13y = e¡3x

¡ 2 cos 3x + 2x sin 3x .

1)

e

3x

¡

Ax

x

¡Bx2

Cx

x

¢

2) e 3x

¡

A cos 3x + (Cx + D) sin 3x

3)

¡3x

cos 3

+ (

+

) sin 3

¢

4)

¡3x

(Ax

2

+ Bx) cos 3x + (Cx

2

¢

e¡

(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x

e¡

+ Dx) sin 3x

104.4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

¢

¡

¢

¡

y00 ¡ 6y0 + 9y = 81x2 ¡ 135x + 45.

104.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 25y = 50 cos 5x

¡

70 sin 5x.

104.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 10y0

+ 25y =

6e¡5x

104.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

px2 + 64.

+ 36y = 288 ctg 6x.

¡

104.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡4y1 + 5y2

¡

:

> y0

=

¡

5y

1

+ 4y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 3 è y2(0) = 9.

>

ТР-31 Дифференциальные уравнения

107

y00 + 4y0 = 6x2 + 5x

¡

2.

1)

Ax2

2)

Ax3

+ Bx2

+ Bx + C

+ Cx + D

3)

Ax4

+ Bx3 + Cx2

4)

Ax3

+ Bx2

+ Cx

1)

Ax3

+ Bx2 + Cx + D

2)

Ax4 + Bx3

+ Cx2

3)

Ax2

+ Bx + C

4)

Ax3 + Bx2

+ Cx

y00

6y

+ 13y = e3x 2 cos 2x + 3 sin

2x

1)¡

3x

0

¡

2)

3x

¢. 2

2

sin 2x¢

3)

e3x

¡A cos 2x + B sin 2x¢

4)

e3x

¡Ax

cos 2x + Bx

e

¡Ax cos 2x + Bx sin 2x¢

e

¡(Ax + B) cos 2x + (Cx + D) sin 2x¢

y00

+ 16y = 72 cos 2x

¡

48 sin 2x.

105.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 2y0 ¡ 8y = e4x¡

¡ 36x ¡ 8¢.

105.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡решение

¢

.

y00 + 4y0 + 20y = e¡2x

40 cos 4x ¡ 72 sin 4x

4e3x

105.8.

дифференциального уравнения

y00

¡ 6y0 + 9y = p

.

2

105.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 49y =

196

x

¡ 9

cos2 7x.

105.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

> y0

=

y

5y

8 y10

= ¡3y1

+ y2

¡

¡

:

¡ 1

¡

<

2

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 3

è

y2

(0) =

2

.

>

Вариант

D - 106

106.1.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)

¡

¢

.

y00 ¡ 3y0

= e3x

6x + 2

e

¡Ax + B¢

3)

e

3x

¡2Ax

2

+ Bx¢

4)

3x

2)

Ax + Bx

Ax + B

106.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y = ¡3e¡3x cos 3x.

¢

¡

3¡x

¢

3)

¡

¡3x

cos 3

+

sin 3

4)

cos 3

+

sin 3

1) e

3x

Ax

x

Bx

x 2) e

3x

A

x

B

x

Axe¡ cos 3x

Ae¡

cos 3x

106.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 6y0

+ 13y = ¡2xe3x cos 2x:

¡

¢

3)

3x(

2

2

4)

3x

2

1)

e3x

Ax + B) cos 2x

¢

2) e3x

(Ax + B) cos 2x + (Cx + D) sin 2x

106.4.¡Найти общее решение

e

(Ax + Bx) cos 2x + (Cx + Dx) sin 2x

e

(Ax + Bx) cos 2x

дифференциального уравнения

y00 ¡ 2y0 ¡ 8y = ¡64x2 ¡ 96x + 8.

106.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 49y = 112 cos 7x

¡

70 sin 7x.