Типовой расчет по дифференциальным уравнениям. Часть 2. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

62

ТР-31 Дифференциальные уравнения

y00 ¡ y0 ¡ 6y = 6e¡2x sin 3x.

3)

¡2x

¢

4)

2x

1)

e¡2x Ax cos 3x + Bx sin 3x

2) Ae¡2x sin 3x

¢

60.2. Определить вид частного

¡

Axe¡

sin 3x

e¡

A cos 3x + B sin 3x

y00 + 36y =

2x sin 6x.

решения дифференциального уравнения

¡

(Ax2

+ Dx) sin 6x¢

3)

(Ax + B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x¢

4)

+ Bx) cos 6x + (Cx

1)

2)

2

2

(Ax + B) sin 6x

(Ax + Bx + C) sin 6x

60.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 6y0 + 13y = e3x(3x ¡ 2):

1) e3x(Ax + B)

2) e3x(Ax3 + Bx2 + Cx)

60.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 2y0 ¡ 15y = e4x

¡

¡ 56x + 69¢.

60.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡

¢

.

y00 + 4y0 + 29y = e¡2x

80 cos 5x ¡ 50 sin 5x

15e5x

60.8.

решение дифференциального уравнения

y00

¡ 10y0 + 25y =

25 + x2 .

60.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 36y =

432

cos2 6x.

ТР-31 Дифференциальные уравнения

63

Вариант

D - 61

61.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00

5y0 + 4y = e3x

3x

1

1)¡3x

¡Ax2+ B¢

¡ 2)

¡

¢.

3)

e3x

4)

Ax2+ B

e

Ax + Bx

Ax + Bx

61.2.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

y00 + 25y = 4x cos 5x + 5 sin 5x.

1)

2

2

+ Dx) sin 5x¢

2)

(Ax + B) cos 5x + (Cx + D) sin 5x¢

3)

(Ax2

+ Bx) cos 5x + (Cx

4)

(Ax

+ Bx) cos 5x + Cx sin 5x

(Ax + B) cos 5x + C sin 5x

61.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 6y

+ 45y = e¡3x

¡

2x cos 4x + 3 sin 4x

¢. x 2) e

1)

3x0

Ax2

Bx

¡ x

Cx2

Dx

3x

¡(

Ax

B

x

Cx

D

x

3)

e¡3x¡( 2

+

) cos 4

+ (

+

) sin 4

¢ 4)

¡3x

+

) cos 4 + (

+

) sin 4

¢

e¡

Ax cos 4x + Bx sin 4x

e¡

(Ax + B) cos 4x + C sin 4x

61.4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

¢

¡

¢

¡

61.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 + 25y = 250 tg 5x.

¡

61.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 4y1

¡ 2y2

¡

:

> y0

= 10y

1

¡

4y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 2 è y2(0) = 2.

>

Вариант

D - 62

62.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 4y0 + 3y = e¡3x

¡

¡ 4x + 4 .

1)

Ax3x+ B 2

2)

3x

¢

3)

+ Bx

4)

e¡ 2 ¡Ax + B¢

e¡

Ax

Ax + Bx

62.2.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

3x sin 6x.

y00 + 36y = 2 cos 6x

¡

1)

2

2

+ Dx) sin 6x¢

2)

2

(Ax

+ Bx) cos 6x + (Cx

Ax cos 6x + (Cx

+ Dx) sin 6x

3)

4)

(Ax + B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x

A cos 6x + (Cx + D) sin 6x

62.3. Определить вид частного

решения дифференциального уравнения

¢

y00

8y

+ 41y = e4x

5 cos 3x + 4x sin 3x

1)¡4x

0

¡

¢.

2)

4x

¡(Ax

2

+ Bx) cos 32x + (Cx

2

+ Dx) sin 3x¢

3)

e4x

¡(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x¢

4)

e4x

e A cos 3x + (Cx + D) sin 3x

e

Ax cos 3x + (Bx + Cx) sin 3x

Найти общее решение дифференциального уравнения

¢

62.4. ¡

¢

¡

y00 ¡ 8y0 + 16y = 144x2 ¡ 112x + 18.

62.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00

+ 64y = 128 cos 8x + 64 sin 8x.

62.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 6y0 + 9y = e10x¡

¡ 338x + 793¢.

62.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00

¡ 8y0 + 65y = e8x

324 cos 4x + 68 sin 4x .

6e7x

дифференциального уравнения

62.8. Найти общее ¡решение

¢

y00 ¡ 14y0 + 49y = p

.

x

2

¡ 9

62.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 + 81y = 324 ctg 9x.

62.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 5y1

+ y2

> y0

=

¡

9y

1

¡

y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 8

è

y2(0) = 4

.

>

:

ТР-31 Дифференциальные уравнения

65

Вариант

D - 63

63.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 4y0 + 4y = e¡3x ¡ 3x + 1 .

2)

3x

2

1)

¢

Ax3x+ B

¡

3)

4)

e¡

2 ¡Ax + Bx¢

e¡

Ax + B

Ax

+ Bx

63.2.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

4.

y00 + 36y = 6x2 + 5x

¡

1)

Ax3 + Bx2 + Cx

2) Ax2 + Bx + C

3)

Ax4 + Bx3 + Cx2

4) Ax3 + Bx2 + Cx + D

63.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00

4y0 + 29y = e2x

¡

¡ 4 cos 5x + 5 sin 5x

.

1)¡e2x

¡(

Ax

B

x

Cx

D

x¢

2) e2x

¡

Ax

2cos 5

x

Bx sin 5x

3)

e

2x

+

) cos 5

+ (

+

) sin 5

¢

4)

e

2x

+

2

¢

¡A cos 5x + B sin 5x¢

¡Ax

cos 5x + Bx

sin 5x¢

63.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡решение

¢

.

y00

¡ 8y0 + 65y = e4x

42 cos 7x ¡ 42 sin 7x

5e6x

63.8.

дифференциального уравнения

y00

¡ 12y0 + 36y =

x .

63.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

72

+ 9y =

.

cos2 3x

63.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 11y1 ¡ y2

¡

¡

:

> y0

= 50y

1

¡

4y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 10 è y2

(0) =

80.

>

y00

4y0 + 4y = e2x

¡

¡ 4x ¡ 2 .

1)¡2x

¡Ax3+ B¢

2)

2x

¢ 3

2

+ Cx + D¢

3)

e2x

2

4)

e2x¡Ax2

+ Bx

e

Ax + Bx

e

Ax + Bx

64.2.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

¡

¢

y00 + 36y = ¡2e2x cos 6x.

1)

Axe2x

2)

2x

¡A cos 6x + B sin 6x¢

3)

2x

cos 6x

4)

e2x

Ae

cos 6x

e

Ax cos 6x + Bx sin 6x

64.3. Определить вид ¡частного решения

дифференциального уравнения

¢

y00 ¡ 8y0 + 41y = 6xe4x cos 5x:

¡(Ax

+ Dx) sin 5x¢

1)

4x

2

2)

4x

2

2

3)

e4x

(Ax

+ Bx) cos 5x

4)

e4x

+ Bx) cos 5x + (Cx

e

(Ax + B) cos 5x

e

¡(Ax + B) cos 5x + (Cx + D) sin 5x¢

y00

¡ 8y0 + 41y = 8 cos 3x + 456 sin 3x.

150

64.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 5y0 =

1 + e5x .

64.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 16y =

64 tg 4x.

¡

64.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 7y1

+ 5y2

:

=

5y

+ 7y

> y0

¡

1

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 5 è y2(0) = 10.

>

ТР-31 Дифференциальные уравнения

67

y00 ¡ 4y0 = ¡3x2 + 4x ¡ 2.

1) Ax3 + Bx2 + Cx + D 2) Ax4 + Bx3 + Cx2

3) Ax2 + Bx + C

4) Ax3 + Bx2 + Cx

65.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 4y = 2e¡2x sin 2x.

¡2x

¢

3)

2x

4)

1) Ae¡2x sin 2x

¢

2) e¡2x

Ax cos 2x + Bx sin 2x

65.3.

¡

e¡

A cos 2x + B sin 2x

Axe¡ sin 2x

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 4y0

+ 40y = 6xe2x sin 6x:

1) e2x(Ax2 + Bx) sin 6x

¢

2) e2x(Ax + B) sin 6x

¢

65.4.

¡

¡

3) e2x

(Ax + B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x

4) e2x

(Ax2 + Bx) cos 6x + (Cx2 + Dx) sin 6x

Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 4y0 + 4y = 28x2 + 68x + 42.

65.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 36y =

44 cos 5x + 55 sin 5x.

¡

¡ 8y = e4x¡72x + 66¢.

65.6. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 2y0

65.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡решение

¢

.

y00 ¡ 6y0

+ 13y = e5x

32 cos 3x ¡ 51 sin 3x

2e4x

65.8.

дифференциального уравнения

y00

¡ 8y0

+ 16y = p

2 .

65.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

49 ¡ x

+ 4y = 64 ctg 2x.

65.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡4y1 + 5y2

¡

¡

:

> y0

=

¡

5y

1

+

4y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) =

9 è y2(0) =

3.

>

Вариант

D - 66

66.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡Ax

B

¡

2)

¢2x

2

y00

2y0

= e2x

4x ¡ 1 .

¡2Ax + Bx¢

3)

2x

+

¢

4)

e

66.2.

¡

Ax + Bx

e

Ax + B

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 16y =

4x cos 4x.

(Ax2

¡

+ Dx) sin 4x¢

(Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x¢

3)

+ Bx) cos 4x + (Cx

4)

1)

2

2

2)

(Ax + Bx + C) cos 4x

(Ax + B) cos 4x

66.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 6y0 + 45y = e¡3x(5x

¡

3):

1) e¡3x(Ax + B)

2) e¡3x(Ax3 + Bx2 + Cx)

3) e¡3x(Ax2 + Bx) 4) e¡3x(Ax2 + Bx + C)

66.4. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 3y0 = 36x2 ¡ 0x + 1.

66.5. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 4y = 32 cos 2x

¡

32 sin 2x.

66.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 6y0 + 9y = e8x¡242x + 407¢.

66.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡

¢

.

y00 + 8y0 + 52y = e¡4x

48 cos 6x ¡ 60 sin 6x

8e¡4x

y00

66.8.

решение дифференциального уравнения

+ 8y0 + 16y = 4 + x2 .

66.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 16y =

256

cos2 4x.

66.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

> y0

=

4y

1

¡

11y

2

<

2

8 y10

= ¡7y1

¡ y2

:

¡

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 1

è

y2

.

>

(0) = 4

ТР-31 Дифференциальные уравнения

69

y00 ¡ 2y0 ¡ 8y = 3 cos 4x.

1)

Ax cos 4x

2) A cos 4x + B sin 4x