Типовой расчет по дифференциальным уравнениям. Часть 2. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

52

ТР-31 Дифференциальные уравнения

y00 ¡ 10y0 + 24y = ¡4e4x sin 6x.

¡4x

¢

3)

4x

sin 6

4)

cos 6

+

sin 6

1)

Ae4x

x

2)

e4x Ax

x

Bx

x

50.2.

¡

¢

e

A cos 6x + B sin 6x

Axe

sin 6x

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00

+ 16y = 2e3x cos 4x.

¡3x cos 4

¢

3)

3x

cos 4

4)

e

+

sin 4

1) Ae3x

x

2)

3x

A

x

B

x

50.3.

¡

¢

e

Ax cos 4x + Bx sin 4x

Axe cos 4x

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00

4y

+ 29y = e2x 2 cos 4x + 4x sin 4x

1)¡e2x

0A

x

Cx¡

+ D) sin 4x

¢

¢2).

e2x

(Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x

¢

3)

2x

¡

cos 4

+ (

2

4)

2x¡

2

2

50.4.

¡

¢

e

¡

¢

e

Ax cos 4x + (Bx + Cx) sin 4x

(Ax + Bx) cos 4x + (Cx + Dx) sin 4x

Найти общее решение дифференциального уравнения

y00

¡ 8y0 + 16y = 80x2 + 80x + 74.

50.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00

+ 64y = 128 cos 8x

¡

112 sin 8x.

50.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 12y0

+ 36y =

p

4e6x

.

x2 + 36

50.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 25y = 150 ctg 5x.

¡

50.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 4y1

+ 5y2

> y0

= 4y

1

4y

2

<

2

¡

¡

y1(0) = 2 è y2(0) =

4.

>

:

¡

¡

ТР-31 Дифференциальные уравнения

53

3)

e2x

Ax2 + Bx

4) e2x

Ax + B

51.2.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

¡

¢

y00 + 16y = ¡4e2x sin 4x.

1)

Ae2x sin 4x

2) Axe2x sin 4x

3)

e2x

Ax cos 4x + Bx sin 4x

4) e2x A cos 4x + B sin 4x

51.3.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

¡

¢

y00

8y

+ 25y = e4x

4 cos 3x + 5 sin 3x

1)¡e4x

0

Ax

B

¡

x

Cx

D

¢.x

2) e4x

¡

A cos 3x + B sin 3x

3)

e

4x

¡(

+

) cos 3

+ (

+

) sin 3 ¢

4)

e

4x

2

cos 3x + Bx

2 ¢

¡Ax cos 3x + Bx sin 3x¢

¡Ax

sin 3x¢

51.6. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 8y0 + 16y = e4x¡54x + 8¢.

51.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡

¢

.

y00 + 6y0 + 58y = e¡3x

126 cos 7x + 56 sin 7x

51.8.

решение дифференциального уравнения

y00

¡ 12y0 + 36y = ¡p

3e6x

.

2

51.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

72

x

¡ 81

+ 9y =

.

cos2 3x

51.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡3y1 + y2

¡

¡

:

> y0

=

¡

y

1

¡

y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 5

è

y2

(0) = 3

.

>

54

ТР-31 Дифференциальные уравнения

52.2.

¡

¢

¡

¢

3) e¡3x

Ax + B 4) e¡3x

Ax2 + Bx

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y = 6x cos 3x.

(Ax2+ B) cos 3x

3)

(Ax2+ B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x¢

4)

2

1)

2)

¢

52.3.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

(Ax + Bx + C) cos 3x

(Ax + Bx) cos 3x + (Cx + Dx) sin 3x

y00 + 6y0

+ 45y =

¡

2xe¡3x cos 6x:

¡

¢

¡3x

¡3x

3)

(

2

2

4)

2

1) e

3x

Ax + B) cos 6x

2) e

3x

(Ax + B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x

52.4.

¡

общее решение

¢

e¡

(Ax + Bx) cos 6x + (Cx + Dx) sin 6x

e¡

(Ax + Bx) cos 6x

Найти

дифференциального уравнения

y00 ¡ 6y0

+ 8y = 80x2 ¡ 64x + 10.

52.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 64y = 128 cos 8x + 32 sin 8x.

52.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 7y0

+ 10y = e¡3x¡200x ¡ 225¢.

52.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 6y0

+ 45y = 212 cos 7x

¡

444 sin 7x.

52.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

=

y1

¡ y2

>

¡

:

=

6y

4y

> y0

1

2

< 2

ТР-31 Дифференциальные уравнения

55

53.2.

¡

¢

¡

¢

3) e¡3x Ax2

+ Bx 4) e¡3x Ax + B

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y = 6x sin 3x.

1)

(Ax + B) sin 3x

2) (Ax2 + Bx + C) sin 3x

¢

53.3.

Определить вид частного

¢

3)

(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x 4) (Ax2

+ Bx) cos 3x + (Cx2

+ Dx) sin 3x

решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 4y0 + 20y = ¡3xe2x sin 4x:

1)

e2x(Ax2 + Bx) sin 4x

¢

2) e2x(Ax + B) sin 4x

53.4.

¡

¡

¢

3)

e2x (Ax2 + Bx) cos 4x + (Cx2

+ Dx) sin 4x

4) e2x (Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x

48

53.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 4y0 =

.

1 + e¡4x

53.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 49y = 294 ctg 7x.

53.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 8y1

¡ 4y2

>

:

= 4y

+ 8y

> y0

1

2

<

2

Вариант

D - 54

54.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡2x

2

¡ 2) 2x

¢3

2

y00

4y0

+ 4y = e2x

¡ 4x ¡ 1 .

3) e2x

¡Ax + Bx¢

4) e2x

¡Ax3 + Bx2¢

¢

54.2.

¡

¢

e

¡

e

Ax + B

Ax + Bx + Cx + D

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 36y = 5x cos 6x + 5 sin 6x.

(Ax2+ B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x¢

3)

(Ax2+ B) cos 6x + C sin 62x

4)

1)

2)

54.3.

Определить вид частного решения¢дифференциального уравнения

(Ax + Bx) cos 6x + (Cx + Dx) sin 6x

(Ax + Bx) cos 6x + Cx sin 6x

y00 + 6y0 + 25y = e¡3x(¡3x + 5):

1) e¡3x(Ax3 + Bx2 + Cx) 2) e¡3x(Ax2 + Bx)

3) e¡3x(Ax2 + Bx + C)

4) e¡3x(Ax + B)

54.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

54.8. Найти общее

¡

¢

y00

+ 4y0 + 29y = e¡2x

100 cos 5x ¡ 30 sin 5x .

6e7x

решение дифференциального уравнения

y00

¡ 14y0 + 49y = p

2 .

54.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 64y =

256

64 ¡ x

¡cos2 8x.

54.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

> y0

= 8y

+

6y

8 y10

= ¡6y1

¡ 5y2

:

2

1

2

<

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 6

è

y2

(0) = 2

.

>

ТР-31 Дифференциальные уравнения

57

y00 + 2y0 = ¡3x2 + 6x ¡ 4.

1)

Ax4 + Bx3 + Cx2

2) Ax3 + Bx2 + Cx

3)

Ax3 + Bx2 + Cx + D

4) Ax2 + Bx + C

55.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 36y =

4 cos 6x + 4x sin 6x.

¡

Ax2

Cx2

¢

3)

cos 6

+ (

2

4)

(

+

) cos 6

+ (

+

) sin 6

1)

A

x

Cx + D) sin 6x

2)

Bx

x

Dx

¢

x

55.3.

Определить вид частного решения дифференциального

Ax cos 6x + (Cx + Dx) sin 6x

(Ax + B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x

1)¡3x

0

¡

¡

¢.

2) 3x

уравнения

2

2

2

y00

6y

+ 13y = e3x

2x cos 6x + 6 sin 6x

3)

e3x

¡(Ax + Bx) cos 6x + (Cx + Dx) sin 6x¢

4) e3x

¡Ax cos 6x + Bx sin 6x¢

e

¡(Ax + B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x¢

e

¡(Ax + B) cos 6x + C sin 6x¢

y00

+ 6y0 + 13y = 114 cos 6x

¡

377 sin 6x.

2e6x

55.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 12y0 + 36y =

p

.

x2 + 81

55.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 4y = 40 tg 2x.

¡

55.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 7y1

¡ y2

y1(0) = 1 è y2(0) =

4.

>

¡

:

> y0

= 36y

1

¡

5y

2

<

2

Вариант

D - 56

56.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 4y0 = e4x 6x + 6 .

1)

4x

2

¡

2)

Ax

2

Bx

¢

3)

e

¡Ax + Bx¢

4)

e

4x

+

Ax + B

Ax + B

56.2. Определить вид

частного решения дифференциального уравнения

¡

¢

y00 + 36y = 4x2 + 3x

¡

2.

1) Ax3 + Bx2 + Cx + D

2) Ax2 + Bx + C

3) Ax4 + Bx3 + Cx2

4) Ax3 + Bx2 + Cx

56.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 6y0 + 25y = e¡3x

¡

6 cos 3x + 3x sin 3x

1)

3x

2

¢2).

3x

¡(Ax

2

2

+ Dx) sin 3x¢

3)

e¡3x

¡Ax cos 3x + (Bx

+ Cx) sin 3x¢ 4)

e¡3x

+ Bx) cos 3x + (Cx

e¡

A cos 3x + (Cx + D) sin 3x

e¡

(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x

56.4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

¢

¡

¢

¡

y00 + 8y0 + 16y = 80x2 + 176x + 154.

56.5. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 49y = 140 cos 7x

¡

70 sin 7x.

56.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 7y0 + 10y = e3x

¡

¡ 14x ¡ 15¢.

56.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 8y0

+ 32y = e8x

¡ 768 cos 2x ¡ 276 sin 2x .

4e4x

дифференциального уравнения

56.8. Найти общее

¡решение

¢

y00 ¡ 8y0 + 16y = p

.

x

2

¡ 4

56.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 + 25y = 150 ctg 5x.

56.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡4y1 ¡ y2

> y0

= 9y

1

+

4y

2

<

2

¡

y1

(0) = 6 è y2(0) = 34.

>

:

¡

ТР-31 Дифференциальные уравнения

59

y00 ¡ 6y0 + 8y = 2 cos 4x.

1)

Ax cos 4x + Bx sin 4x

2)

A cos 4x + B sin 4x

3)

Ax cos 4x

4)

A cos 4x

y00 + 4y = ¡2e¡2x cos 2x.

¢

¡

2¡x

¢

3)

¡

¡2x

cos 2

+

sin 2

4)

cos 2

+

sin 2

1) e

2x Ax

x

Bx

x 2) e

2x

A

x

B

x

Axe¡ cos 2x

Ae¡

cos 2x

y00 ¡ 4y0 + 40y = e2x ¡ 3 cos 6x + 3 sin 6x .

1)

e2x

Ax

x

Bx¡

x

2)

e2x

Ax¢

B

x + (Cx + D) sin 6x

3)

e

2x

¡

cos 6

+

sin 6

¢

4)

e

2x

¡( 2

+

) cos 6

2

¢

¡A cos 6x

+ B sin 6x¢

¡Ax

cos 6x + Bx

sin 6x¢

57.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡решение

¢

.

y00

¡ 8y0 + 25y = e4x

48 cos 3x ¡ 48 sin 3x

2e5x

57.8.

дифференциального уравнения

y00

¡ 10y0 + 25y =

x .

288

57.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 36y =

¡cos2 6x.

57.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡3y1 + 2y2

y1(0) = 6 è y2(0) = 6.

>

:

¡

> y0

=

¡

2y

1

¡

3y

2

<

2

Вариант

D - 58

58.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 2y0

¡ 15y = 4 sin 5x.

1)

A sin 5x

2) A cos 5x + B sin 5x

3)

Ax sin 5x

4) Ax cos 5x + Bx sin 5x

58.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 36y = 6e3x sin 6x.

1)

Axe3x sin 6x

¢

2) Ae3x sin 6x

¢

58.3.

¡

¡

3)

e3x

A cos 6x + B sin 6x

4) e3x

Ax cos 6x + Bx sin 6x