Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
ÓÄÊ 512.6 (075)
Å741
ГРНТИ 27.17.29
Ðецензенты: доктор физико-математических íàóê, профессор Курбатов Â.Ã.,
êандидат физико-математических íàóê, доцент Ярославцева Â.ß.
Типовой расчет ïî линейной è векторной алгебре (издание третье)
[
электронный ресурс]: сетевое обновляемое электрон. ó÷åá. пособие/
Ю.Д.Ермолаев.-Электрон.дан.(1.3 Мб).Липецк: издательство ËÃÒÓ, 2013.
366 ñ.
Ðåæèì доступа:http://www.stu.lipetsk.ru/education/chair/kaf-vm/mu/
Систем. требования: Intel Pentium (èëè аналогичный процессор других произ-
âîдителей), 512 Ìá оперативной памяти, Adobe Reader 7.0 (èëè аналогичный
ïðîäóêò äëÿ чтения файлов форматà pdf).
Типовой расчет предназна÷åí äëÿ ñòóдентов направлений 010800.62, 220100.62,
230100.62, 232000.62 è других, изучающих высшую математику ïî программе
техническîãî âóçà. Представлены 120 вариантов типового расчетà ïî линей-
íîé è векторной алгебре. Â типовом расчете 24 задания, â êоторых отражåíû
основные òåìû алгебры, изучаемые â техническîì âóçå.
Ключевые слова: определитель; матрица; ðàíã; óìíîæåíèå; обратная ìàò-
ðèöà; собственные числа; собственные векторы; ñêалярное произведение; âåê-
торное произведение; смешанное произведение; системы уравнений; êомплекñ-
íîå число.
c
°
Липецкий ãîñóдарственный
технический университет, 2013
c
°
Ермолаев Þðèé Данилович, 2013
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 3
ÑÎДЕРЖАНИЕ ТИПОВОГО ÐÀÑ×ÅÒÀ
1. Вычисление определителя 4-ãî ïîðÿäêà
2. Вычисление определителя 5-ãî ïîðÿäêà
3. Вычисление определителя произведения матриц
4. Обратная матрица
5. Квадратная система уравнений
6. Матричное уравнение
7. Ðàíã матрицы
8. Однороäíàÿ система уравнений
9. Ïðямоугольная íåîднороäíàÿ система уравнений
10. Собственные числа è собственные векторы (1)
11. Собственные числа è собственные векторы (2)
12. Ортогональность è êомпланарность векторов
13. Треугольник è çàäà÷è íà векторы
14 Òетраэäð è çàäà÷è íà векторы
15. Базис â пространстве
16. Ñêалярное произведение векторов è система уравнений
17. Свойства ñêалярного произведения векторов
18. Çíàêоопределенность квадратичных ôîðì
19. Приведение квадратичной формы ê êаноническîìó âèäó
20. Перевоä матрицы линейного оператора â другой базис
21. Операции ñ линейной êомбинацией векторов
22. Корни õарактеристическîãî уравнения линейного оператора
23. Перестановочность произведения матриц
24. Деление многочленов
25. Ðешение квадратного уравнения
26. Восстановление многочлена ïî известным êорням
4 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Îãлавление
 à ð è à í ò 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
 à ð è à í ò 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
 à ð è à í ò 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
 à ð è à í ò 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
 à ð è à í ò 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
 à ð è à í ò 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
 à ð è à í ò 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
 à ð è à í ò 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
 à ð è à í ò 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
 à ð è à í ò 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
 à ð è à í ò 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
 à ð è à í ò 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 5
¯
¯
2 −3 −6 3
¯
¯
¯
−4 7 12 −6
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
0 2 3
2 0 −2
,
B =
−2 −1 −1
¯
¯
¯
−4 6 9 −6
¯
¯
¯
−2 3 6 0
¯
¯
−2 1 6 6 4
¯
¯
¯
−4 3 12 12 8
¯
¯
¯
−2 1 8 6 4
¯
¯
¯
−2 1 6 9 4
¯
¯
¯
−6 3 18 18 14
−2 −1 −1
0 2 −1
3 0 0
Вариант A - 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 3 4
−2 1 2
.
A · A−1= E
, найти
1 0 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
1 1 −2
4 −1 1
0 1 2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
2 −2
0 1
·
·
x11x
x21x
x
1
=
·
x
2
x
3
12
22
−7
−11
8
0 3
−4 −1
.
=
−24 −18
.
4 1
3 −2 0 1 0 −8
7.
Вычислить ðàíã матрицы
6 −2 0 −2 0 −2
−7 2 0 3 0 0
−7 2 0 3 0 0
.
−31 12 0 7 0 22
6 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
2 3 0 1 −1
−2 3 0 −1 −1
2 3 0 1 −1
9 2 0 −1 3
37 15 0 2 6
9.
Найти общее решение системы уравнений
5 −3 −6 −7 30
−1 1 2 3 −16
−3 1 2 1 2
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−4 4
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−5
−1
7
.
4 2
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
0 1 2
−2 3 2
4 3 1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {5; −4; 3}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−3; β; −3}−→c = {−2; −5; −1}
A(−3; −1; 3),B(2; 2; 3),C(−1;−1; 1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
A(2; −2; −3),B(−3; −3; 1),C(1;3; −2),D(−3; −3; −2)
| −3−→AB + 2
−−→
CD |
, á)
(−3−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
ABC D
[−3−→AB, 2
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 7
~a = {−4; 5; −3}
,~b = {−1; 2; 4},~c = {−3; −3; 3}
образуют базис
è найти êîîðдинаты вектора~d = {10; −2; −22}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
è
~c = {4; 0; −1}
(~x,~c) = −7
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 4~a + 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
5x2+ 6y2+ 6z2+ 4xy + 6xz + 4yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 4,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.7
.
x2− y2+ 2z2+ 12xy − 8xz + 16yz
относительно этого базиса.
~a = {−5; −1; −4}
(~x,~a) = 39,(~x,~b) = −9
(−1~u + 1~v)(−3~u + 4~v)
, åñëè
ê êаноническîìó
,~b = {5; 1; −2}
è
~u = 2~a + 3~b
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−3 2 2
3 0 0
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−1 1 3
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 3, β = 1, ~a = {2; 2;−2},~b = {−1; 3; −2}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− x − 26 = 0
A =
, åñëè
5 −2
?
−3 p
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
1 −1
4 −2
è
B =
2 −4
перестановочно?
16 t
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
9x2+ x + 22
íà простейшие.
x3− 8
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (−3 + 6i)z − 9 − 19i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
2 − 4iè4 + 4i
.
8 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 2
¯
¯
3 −1 −1 9
¯
¯
¯
6 −1 −2 18
3 −1
¯
¯
¯
−6 2 3 −18
¯
¯
¯
9 −3 −3 30
¯
¯
−1 −9 9 6 −1
¯
¯
¯
1 12 −9 −6 1
¯
¯
¯
1 9 −6 −6 1
¯
¯
¯
3 27 −27 −21 3
¯
¯
¯
2 18 −18 −12 3
AB
.
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−3 1
−3 2
B =
,
−3 0
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A · A−1= E
, найти
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
1 2 −2
4 3 −2
.
0 1 −2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
0 3 0
−1 −1 2
1 2 1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−3 −2
4 4
·
x
1
·
x
2
x
3
x11x
x21x
12
22
=
·
−2
6
10
−3 0
0 −4
.
=
21 60
.
−36 −96
4 0 −2 −1 0 −2
7.
Вычислить ðàíã матрицы
8 0 −2 1 0 −6
−7 0 3 1 0 4
−4 0 2 1 0 2
.
−10 0 2 −2 0 8
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 9
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
9 2 0 3 2
7 2 0 3 1
0 −1 0 −1 1
−4 −1 0 −1 −1
21 2 0 5 7
9.
Найти общее решение системы уравнений
−26 −4 −4 −6 −96
14 2 1 3 52
12 2 3 3 44
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
1 −4
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
16
24
−40
.
−4 7
4 −2 3
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
3 −2 4
1 −1 4
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−1; −2; 1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−5; β; 5}−→c = {1; −1; −2}
A(−3; 3; −3),B(−2; 2; −3),C(−1;1; 3)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 2−→AB − 3
A(1; 1; −1),B(0; −2; 3),C(−3;1; 1),D(−2; 1; −2)
−−→
CD |
, á)
(2−→AB, −3
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[2−→AB, −3
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
10 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {0; −5; −4}
,~b = {0; 2; 2},~c = {3; 0; −4}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {6; 5; −2}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {2; −3; 5}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 3~a − 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 4,|~b |= 4,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.5
−2x2+ 1y2− 2z2− 8xy + 2xz − 2y z
относительно этого базиса.
~a = {−4; 5; 2}
,~b = {2; 4; −2}
(~x,~a) = 25,(~x,~b) = 8è(~x,~c) = −20
(−2~u − 1~v)(1~u + 1~v)
, åñëè
.
−2x2+ 3y2+ 2z2− 24xy + 12xz + 8y z
~u = −1~a − 4~b
ê
êаноническîìó âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−1 3 0
3 1 1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−1 −3 −1
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 3, β = 2, ~a = {2; −1;1},~b = {3; 1; 3}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 8x + 3 = 0
A =
, åñëè
p −4
?
−3 5
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
0 −1
2 −2
è
B =
t −1
перестановочно?
2 −2
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
2x2− 18x + 24
íà простейшие.
x3+ 8
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− 13iz − 67 − 5i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−3 + iè−4 − 5i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 11
¯
¯
3 2 9 4
¯
¯
¯
9 4 27 12
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
3 2 12 4
¯
¯
¯
−9 −6 −27 −10
¯
¯
1 4 3 −3 9
¯
¯
¯
2 6 6 −6 18
¯
¯
¯
3 12 12 −9 27
¯
¯
¯
1 4 3 −4 9
¯
¯
¯
2 8 6 −6 21
A =
2 −3 −3
3 −1 0
−1 0
B =
2 −3
,
3 1
Вариант A - 3
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 −1 1
2 −2 4
.
A · A−1= E
, найти
−1 1 −3
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−2 −1 1
−1 0 0
−3 −1 −2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
0 3
−3 1
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
x
2
x
3
=
·
−6
−1
−4
3 −4
−1 0
.
=
−24 36
.
19 −12
−7 1 −2 3 3 −7
7.
Вычислить ðàíã матрицы
10 3 2 2 1 1
5 1 −1 −2 −2 12
12 2 1 −2 −2 13
.
64 16 2 −5 −7 70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]