Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
42 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
0 −1 −1 1 0
4 3 −1 1 0
2 1 3 −1 0
1 1 2 −1 0
15 8 −1 4 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
−20 −4 3 −5 −188
12 3 −1 2 87
4 2 1 −1 −14
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
8 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
8
17
−26
.
0 6
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
4 −1 0
−3 −1 0
4 −2 0
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {1; 2; −4}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {2; β; 5}−→c = {0; 2; −1}
A(−1; −2; −2),B(−3; 1; −1),C(−1; 2; −2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB − 4
A(2; −3; 0),B(3; 1; 2),C(1; −1; 1),D(−1; 3; 1)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, −4
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, −4
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 43
~a = {4; 2; 0}
,~b = {−1; 3; −3},~c = {−4; −4; −3}
образуют базис
è найти êîîðдинаты вектора~d = {26; 12; 15}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {5; −3; 4}
(~x,~c) = 32
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 3~a + 1~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 4,|~b |= 4,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.6
−3x2− 2y2− 5z2− 2xy + 2xz + 0yz
−2x2− 2y2+ z2− 24xy − 24xz + 12yz
относительно этого базиса.
~a = {1; −1; 4}
(~x,~a) = 10,(~x,~b) = −21
(−3~u + 4~v)(3~u − 4~v)
.
,~b = {−4; 2; 1}
, åñëè
~u = −1~a + 4~b
è
ê
êаноническîìó âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
1 4 0
1 −1 −3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
1 −3 −3
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 1, β = −1, ~a = {3; 1;−1},~b = {−2; 0; −2}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 0x − 1 = 0
A =
, åñëè
−5 −6
?
4 p
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
2 4
3 0
è
B =
−3 −4
перестановочно?
−3 t
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
5x2+ x + 16
íà простейшие.
x4+ 4x
25.
2
Ðешить квадратное уравнение
z2+ z + 19 − 25i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−3 − 4iè−5 − 5i
.
44 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 14
¯
¯
−3 −4 −4 6
¯
¯
¯
−9 −14 −12 18
¯
¯
¯
−6 −8 −10 12
¯
¯
¯
9 12 12 −21
¯
¯
1 −3 −3 −3 −3
¯
¯
¯
−1 6 3 3 3
¯
¯
¯
−3 9 12 9 9
¯
¯
¯
2 −6 −6 −7 −6
¯
¯
¯
2 −6 −6 −6 −5
3 1
2 1
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
0 2 −2
,
B =
3 1 2
AB
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−3 −2
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
4 4 0
−2 1 2
.
A · A−1= E
, найти
2 −2 −2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
1 0 −3
−1 1 −2
−2 −2 2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
0 −1
4 3
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
x
2
x
3
11
.
1
=
−4
·
3 0
0 3
=
6 −3
18 −27
.
11 2 −2 0 1 0
7.
Вычислить ðàíã матрицы
9 2 3 0 2 −17
−1 −1 1 0 1 −3
14 1 −2 0 3 −2
.
5 −2 −11 0 0 37
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 45
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
4 1 1 2 0
2 2 1 −1 0
2 −1 2 1 0
7 2 2 3 0
−11 −6 −2 −3 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
6 1 −4 −4 4
−4 −1 2 2 −2
−3 −1 1 1 −1
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−7 6
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−2
−3
5
.
6 2
−2 −3 −1
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
2 4 4
3 −3 −3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−4; −2; −3}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
A(−2; −2; 1),B(−3; −1; −1),C(−3; 1; 0)
,−→b = {−4; β; 1}−→c = {−1; −3; −1}
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 2−→AB − 2
A(−3; −3; −3),B(−2; −3; −3),C(1; 3; 2),D(−3; −1; 2)
−−→
CD |
, á)
(2−→AB, −2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[2−→AB, −2
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
46 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {4; 3; 1}
,~b = {−5; 0; 1},~c = {4; 1; −5}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {6; 14; 12}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
è
~c = {5; 4; 5}
(~x,~c) = 8
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 3~a + 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
5x2+ 6y2+ 6z2+ 6xy + 6xz + 4yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 4,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.6
относительно этого базиса.
~a = {5; −3; 1}
(~x,~a) = −22,(~x,~b) = −14
(−1~u + 1~v)(3~u − 3~v)
, åñëè
.
−x2+ 2y2− z2− 12xy + 8xz − 8yz
,~b = {−1; −3; −3}
~u = 1~a − 1~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
1 −3 3
3 −2 1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
3 −1 3
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 1, β = −3, ~a = {−1; 1;−3},~b = {−3; 2; −3}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 3x − 18 = 0
A =
, åñëè
p −5
?
−4 2
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
2 2
4 −3
è
B =
t 4
перестановочно?
8 0
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
5x2− 6x − 29
íà простейшие.
x4− 9x
25.
Ðешить квадратное уравнение
3
z2− (3 + 11i)z − 48 + 12i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−4 − iè4 + 4i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 47
¯
¯
−2 −2 −3 −1
¯
¯
¯
−2 −1 −3 −1
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
3 3 3
3 2 0
,
B =
−2 0 2
¯
¯
¯
−4 −4 −5 −2
¯
¯
¯
−2 −2 −3 0
¯
¯
−3 4 6 4 6
¯
¯
¯
−6 6 12 8 12
¯
¯
¯
−6 8 10 8 12
¯
¯
¯
−3 4 6 6 6
¯
¯
¯
−1 1 −2
2 0 −1
2 2 3
9 −12 −18 −12 −16
Вариант A - 15
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
.
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
4 3 −2
−2 −1 1
.
A · A−1= E
, найти
−3 0 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
3 2 3
0 1 −2
2 3 1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
2 −3
1 −3
·
x
·
x
x
x11x
x21x
=
·
−2
4
3
−3 0
.
1 2
=
−3 −18
3 −18
.
1
2
3
12
22
9 −2 3 0 0 −8
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−5 2 1 0 0 0
−8 2 −2 0 0 6
9 −2 3 0 0 −8
.
51 −10 21 0 0 −52
48 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
11 2 0 3 0
10 1 0 3 0
2 −1 0 1 0
6 3 0 1 0
37 10 0 9 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
6 2 −2 2 38
1 3 1 3 −7
−5 1 3 1 −45
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
−5 2
A =
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−12
4
16
.
.
2 −2
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
1 0 0
−2 2 2
4 −3 −2
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {1; −4; −4}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {3; β; 1}−→c = {0; −1; 1}
A(2; −2; −1),B(3; 2; −3),C(1; 3; 0)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB − 2
A(−2; 3; −1),B(2; 3; 1),C(−3; −1; 3),D(3; −3; −1)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, −2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, −2
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 49
~a = {−4; 0; 1}
,~b = {−4; 3; 2},~c = {−1; −1; 5}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−3; −2; −5}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
è
~c = {0; 2; 4}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 4~a + 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−4x2− 3y2− 5z2− 2xy + 6xz + 2yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 3,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.1
−2x2− 2y2+ 2z2− 24xy − 8xz + 24yz
относительно этого базиса.
~a = {−2; 0; −3}
(~x,~a) = 6,(~x,~b) = 12è(~x,~c) = −16
(−4~u + 3~v)(−1~u − 1~v)
.
,~b = {−3; −5; 4}
, åñëè
~u = 2~a + 1~b
ê
êаноническîìó âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
2 4 −3
−3 2 4
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−1 −1 4
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 3, β = −2, ~a = {3; −1;2},~b = {−2; −3; 0}
22.
Определить сумму êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
1 2
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
−3 4
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−1 4
0 −3
è
B =
6 t
перестановочно?
0 6
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
3x2− 3x − 115
íà простейшие.
x4− 50x2+ 625
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (−6 + i)z + 25 + 15i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−5 + 2iè3 − 2i
.
50 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 16
¯
¯
−1 −6 9 −2
¯
¯
¯
−2 −10 18 −4
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
−1 −6 12 −2
¯
¯
¯
−3 −18 27 −8
¯
¯
2 1 −1 −2 −9
¯
¯
¯
−6 −2 3 6 27
¯
¯
¯
6 3 −2 −6 −27
¯
¯
¯
2 1 −1 −4 −9
¯
¯
¯
2 1 −1 −2 −6
A =
3 −3 −3
3 −3 2
−1 3
B =
3 2
,
AB
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 −1
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
1 −2 3
−1 4 −3
.
A · A−1= E
, найти
−1 −1 2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
2 −3 4
3 4 3
4 0 3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
4 −1
4 2
·
x
·
x
x
x11x
x21x
1
=
2
3
12
·
22
−22
10
−5
1 2
0 1
.
=
13 15
22 42
.
12 0 0 3 2 0
7.
Вычислить ðàíã матрицы
10 0 0 2 2 −2
8 0 0 1 2 −4
−4 0 0 1 −2 8
.
76 0 0 11 18 −32
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 51
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
5 1 3 1 −1
−4 −1 3 2 3
−2 −1 1 2 −1
−2 −1 1 2 −1
−25 −8 10 13 6
9.
Найти общее решение системы уравнений
2 4 5 4 75
8 2 −1 2 55
5 3 2 3 65
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−3 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
19
22
16
.
0 8
3 −2 2
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−2 2 4
−2 4 1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−1; −2; 0}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−5; β; 2}−→c = {−4; 3; 1}
A(2; 1; 3),B(−2; −2; 2),C(1; 2; 1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB − 2
A(−3; 3; 2),B(3; 2; 2),C(2; −3; 1),D(1; −2; −3)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, −2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, −2
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]