Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
62 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 20
¯
¯
−1 1 −3 9
¯
¯
¯
2 −1 6 −18
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−1 −1 1
1 0 0
,
B =
2 −2 0
¯
¯
¯
−1 1 0 9
¯
¯
¯
2 −2 6 −21
¯
¯
−3 −3 4 6 6
¯
¯
¯
−6 −9 8 12 12
¯
¯
¯
3 3 −6 −6 −6
¯
¯
¯
−6 −6 8 9 12
¯
¯
¯
3 3 −4 −6 −3
−2 2 0
−2 1 2
1 −1 3
AB
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 1 4
1 4 3
.
A · A−1= E
, найти
1 2 −3
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−2 1 3
3 0 0
3 −2 −2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−2 2
2 0
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
x
2
x
3
·
=
5
−6
−4
0 3
2 −3
.
=
16 6
.
−8 0
−7 −1 3 0 0 −2
7.
Вычислить ðàíã матрицы
3 −1 −2 0 0 3
−3 −1 1 0 0 0
4 2 −1 0 0 −1
.
18 −2 −10 0 0 12
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 63
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−5 0 0 −1 3
5 0 0 3 1
0 0 0 1 2
2 0 0 2 2
14 0 0 13 12
9.
Найти общее решение системы уравнений
−12 −2 6 4 12
−6 −1 3 2 6
−6 −1 3 2 6
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
2 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−10
−10
−20
.
0 0
−3 −3 2
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−3 −2 0
3 3 2
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {1; 4; 1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−3; β; −5}−→c = {3; −5; 4}
A(−3; 2; 3),B(1; 2; 2),C(−2; −1; −1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB + 2
A(1; 1; −3),B(3; −1; 2),C(2; 3; −1),D(−3; 1; 3)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, 2
ABC D
−−→
CD]
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
64 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {−4; −4; 4}
,~b = {−5; −3; 2},~c = {−1; −1; 0}
образуют
базис è найти êîîðдинаты вектора~d = {−25; −21; 16}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~
b = {5; −4; −3}è~c = {−1; 2; −5}
(~x,~b) = 27è(~x,~c) = 19
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −4~a + 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
6x2+ 5y2+ 3z2+ 6xy + 4xz + 6yz
Привести квадратичную форму
è известны
.
| ~a |= 5,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.7
, åñëè известны ñêалярные произведения
(−2~u + 2~v)(1~u − 4~v)
.
−x2+ 2y2− 2z2− 8xy + 16xz − 16yz
относительно этого базиса.
~a = {−5; −3; −3}
,
(~x,~a) = 24
, åñëè
~u = 3~a + 2~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
1 4 2
4 −2 −2
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
1 −1 4
,
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 2, β = −2, ~a = {−1; −3; −1},~b = {2; −2; −2}
22.
Определить произведение êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
1 3
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
−1 −6
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
5 −4
0 1
è
B =
3 1
перестановочно?
t 4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
10x2− 60x − 196
íà простейшие.
x4− 49x
25.
Ðешить квадратное уравнение
2
z2− (−1 − 6i)z − 17 + 17i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
2 − 4iè5 + 3i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 65
Вариант A - 21
¯
¯
1 1 −2 4
¯
¯
¯
1 0 −2 4
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
1 1 −1 4
¯
¯
¯
2 2 −4 10
¯
¯
1 6 4 9 2
¯
¯
¯
−3 −16 −12 −27 −6
¯
¯
¯
−1 −6 −6 −9 −2
¯
¯
¯
3 18 12 30 6
¯
¯
¯
3 18 12 27 8
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A =
3 1
,
4 0
A · A−1= E
B =
−2 2
1 2
, найти
.
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
3 −1 −2
−1 2 −2
.
1 −2 4
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
1 −3 2
1 1 −1
1 4 −3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−1 −2
−3 −1
·
x
1
·
x
2
x
3
x11x
x21x
12
22
=
·
7
4
1
.
−2 −4
−1 −1
=
−1 −5
12 20
.
−11 −2 3 0 3 7
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−3 −2 −1 0 1 7
−6 1 1 0 3 3
2 1 1 0 −1 −5
.
9 −3 0 0 −6 −6
66 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
4 3 2 0 3
−3 −1 3 0 1
−5 −1 3 0 −1
5 2 −1 0 2
−13 −5 9 0 1
9.
Найти общее решение системы уравнений
3 −3 0 −12 −21
5 2 2 3 14
6 1 2 −1 7
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−6 3
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
4
0
12
.
3 2
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−2 0 4
3 1 −2
1 −1 4
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {1; −2; −5}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {3; β; 5}−→c = {0; 4; 1}
A(2; −1; −3),B(−3; 3; −3),C(1; −1; −3)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(−1; 3; −3),B(1; 3; 2),C(2; 2; −3),D(−1; 3; −3)
| −2−→AB − 3
−−→
CD |
ABC
, á)
(−2−→AB, −3
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−2−→AB, −3
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 67
~a = {0; 0; −1}
,~b = {−3; −5; 4},~c = {−1; 0; −2}
образуют базис
è найти êîîðдинаты вектора~d = {18; 25; −13}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {2; −5; 4}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −2~a − 3~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 3,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.4
−4x2− 5y2− 3z2− 8xy − 2xz + 0yz
−2x2+ y2+ 2z2− 24xy + 12xz + 8yz
относительно этого базиса.
~a = {4; −2; 1}
(~x,~a) = 23,(~x,~b) = 3è(~x,~c) = 22
(−3~u + 1~v)(−4~u − 2~v)
.
,~b = {3; −2; −4}
, åñëè
~u = 2~a + 1~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
1 −3 −3
0 −2 1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
1 1 −1
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 2, β = −3, ~a = {−3; 2; 1},~b = {3; −2; 1}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2+ 8x + 12 = 0
A =
, åñëè
−5 1
?
3 p
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
5 3
2 −2
è
B =
−3 −3
перестановочно?
−2 t
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
8x2+ 5x + 24
íà простейшие.
x4+ 4x
25.
Ðешить квадратное уравнение
2
z2− 2iz + 31 + 24i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
2 + 5iè−1 + 2i
.
68 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 22
¯
¯
2 −3 6 −6
¯
¯
¯
−2 6 −6 6
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
−6 9 −21 18
¯
¯
¯
−4 6 −12 10
¯
¯
3 3 2 9 3
¯
¯
¯
−6 −3 −4 −18 −6
¯
¯
¯
−3 −3 −3 −9 −3
¯
¯
¯
9 9 6 30 9
¯
¯
¯
6 6 4 18 7
A =
0 −1 −1
−2 0 −2
−1 0
B =
0 3
,
AB
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 −2
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
4 −1 3
−3 0 2
.
A · A−1= E
, найти
−1 0 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−3 4 2
3 −2 4
2 4 −3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−2 4
−3 −2
·
·
x11x
x21x
x
1
=
·
x
2
x
3
12
22
9
−19
4
1 3
3 −2
.
=
12 36
10 −58
.
3 3 −1 0 3 6
7.
Вычислить ðàíã матрицы
3 1 1 0 3 −6
−6 −1 2 0 −1 −7
−12 2 3 0 1 −5
.
−6 −3 −3 0 −8 16
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 69
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
3 3 0 −1 3
1 1 0 −1 −1
−1 −1 0 1 1
13 1 0 3 −1
−6 6 0 −4 12
9.
Найти общее решение системы уравнений
−6 0 2 0 34
10 2 −1 1 −14
4 2 1 1 20
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−5 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
8
16
−8
.
0 −3
3 4 −3
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−2 2 −1
−2 −3 −1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−2; −2; 5}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−2; β; −3}−→c = {−1; 0; 3}
A(3; 2; −3),B(−2; 3; 3),C(3; −3; 2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
A(3; 2; 2),B(1; −3; −1),C(−3; 1; 2),D(−2; 1; 1)
| −3−→AB + 2
−−→
CD |
, á)
(−3−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
ABC D
[−3−→AB, 2
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
70 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {2; −4; 0}
,~b = {−3; 3; 4},~c = {−5; 0; 2}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−5; 13; −4}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {5; 0; 3}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 4~a + 3~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.4
−1x2+ 5y2− 5z2− 2xy + 4xz − 10y z
−x2+ 3y2− 2z2− 8xy + 36xz − 8yz
относительно этого базиса.
~a = {2; 5; 5}
(~x,~a) = 11,(~x,~b) = 28è(~x,~c) = 2
(−4~u − 1~v)(−2~u + 4~v)
.
,~b = {−2; −4; 5}
, åñëè
~u = 2~a + 3~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
0 1 2
2 3 3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
4 0 −1
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 2, β = 1, ~a = {−2; −1; −3},~b = {−1; 0; 1}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 0x − 49 = 0
A =
, åñëè
p −6
?
−4 5
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−3 −2
2 2
è
B =
t −4
перестановочно?
4 0
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
0x2+ x − 18
íà простейшие.
x4− 4x
25.
3
Ðешить квадратное уравнение
z2− (−2 − i)z + 4 − 20i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
3 − iè2 + 4i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 71
¯
¯
2 −3 9 −6
¯
¯
¯
6 −6 27 −18
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
1 1 3
−2 0 3
,
B =
−2 2 0
¯
¯
¯
2 −3 12 −6
¯
¯
¯
4 −6 18 −10
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−4 8 4 −12 15
1 1 0
−1 0 1
−2 −1 0
2 −4 −2 6 −9
6 −10 −6 18 −27
6 −12 −8 18 −27
2 −4 −2 3 −9
Вариант A - 23
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
.
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
1 4 2
2 −2 −1
.
A · A−1= E
, найти
1 −2 0
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−3 −2 2
−2 −3 −3
−3 −3 1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
4 −2
2 2
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
x
2
x
3
=
·
−2
8
2
−3 3
2 1
.
=
96 −42
.
6 12
−11 0 0 3 −2 −8
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−11 0 0 3 −2 −8
−7 0 0 2 −1 −5
5 0 0 −2 −1 3
.
2 0 0 1 5 3
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]