Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
32 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 10
¯
¯
−2 −2 −1 4
¯
¯
¯
−6 −8 −3 12
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−2 2
B =
,
0 −3
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
−2 −2 0 4
¯
¯
¯
−2 −2 −1 2
¯
¯
3 −6 6 4 −9
¯
¯
¯
−3 8 −6 −4 9
¯
¯
¯
−6 12 −15 −8 18
¯
¯
¯
−3 6 −6 −2 9
¯
¯
¯
9 −18 18 12 −30
1 −3
.
2 −1
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A · A−1= E
, найти
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
2 0 3
3 −2 0
.
−1 3 4
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
3 −2 4
0 0 4
−3 −1 −3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
0 −1
−1 −3
·
·
x11x
x21x
x
1
x
2
x
3
12
22
=
·
1
8
−5
−1 −1
−1 −2
.
=
7 10
.
28 41
4 −2 0 −1 3 −5
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−4 −2 0 1 1 5
8 2 0 −1 3 −17
−2 3 0 2 1 −8
.
−36 −12 0 3 −15 87
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 33
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
1 1 0 −1 0
5 1 0 3 0
5 3 0 −1 0
6 2 0 2 0
21 9 0 3 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
−4 −1 −3 −3 −5
2 1 1 1 3
0 1 −1 −1 1
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
3 −6
A =
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
1
3
−5
.
.
−6 −6
−1 −2 1
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
1 −1 4
1 4 4
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {0; 5; −1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {0; β; 5}−→c = {1; 3; 1}
A(−2; 1; −2),B(−1; −1; 3),C(−2; 1; 2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB − 4
A(−3; −2; 0),B(3; 1; 1),C(2; −1; 3),D(−2; −1; 1)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, −4
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, −4
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
34 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {4; 3; −5}
,~b = {3; −3; 1},~c = {0; 0; −3}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−19; 12; −9}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−5; −5; −1}
(~x,~c) = 4
17.
.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 3~a + 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
5x2+ 7y2+ 5z2+ 8xy + 6xz + 4yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 5,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.5
x2− 2y2+ 2z2+ 8xy − 24xz + 16yz
относительно этого базиса.
~a = {3; 3; −5}
(~x,~a) = 20,(~x,~b) = −20
(4~u + 3~v)(1~u + 3~v)
.
, åñëè
,~b = {2; −5; −2}
~u = 3~a − 3~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
1 1 4
−3 1 2
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−1 4 1
è
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 1, β = −1, ~a = {3; 3;−1},~b = {1; 3; −3}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 5x + 21 = 0
A =
, åñëè
p −5
?
3 3
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
0 4
−2 3
è
B =
t 4
перестановочно?
−2 6
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
2x2− 13x + 21
íà простейшие.
x3+ 27
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (2 − 4i)z − 10 + 20i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−1 + 3iè−5 + 5i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 35
¯
¯
3 4 1 3
¯
¯
¯
3 6 1 3
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
3 4 0 3
¯
¯
¯
−6 −8 −2 −5
¯
¯
−1 −6 −6 −2 2
¯
¯
¯
−1 −4 −6 −2 2
¯
¯
¯
−2 −12 −15 −4 4
¯
¯
¯
1 6 6 0 −2
¯
¯
¯
2 12 12 4 −2
A =
−3 0 −2
2 0 1
0 1
B =
0 −3
,
−1 2
Вариант A - 11
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
2 −3 0
4 −1 −1
.
A · A−1= E
, найти
3 1 −1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−3 0 2
3 2 −3
1 −3 0
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
2 0
−1 4
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
x
2
x
3
·
=
0 −2
−4 −1
2
−4
4
.
=
8 10
.
−4 11
21 3 3 0 3 0
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−8 1 −2 0 −2 −6
−3 −1 −1 0 1 2
11 2 1 0 2 −1
.
−20 −9 −2 0 2 18
36 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
3 0 −1 2 0
6 0 −1 3 0
0 0 1 −1 0
3 0 −1 2 0
30 0 −7 17 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
−12 −1 −7 −3 51
8 1 3 3 21
4 1 −1 3 93
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
6 0
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
13
21
−29
.
.
0 −6
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
4 1 0
4 2 0
0 0 −3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {0; 2; 1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−1; β; 3}−→c = {1; 0; 1}
A(1; 2; 0),B(2; −3; −3),C(2; 1; 3)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 2−→AB − 2
A(−3; −2; −1),B(3; −1; 1),C(−1; 1; −3),D(−2; 0; −1)
−−→
CD |
, á)
(2−→AB, −2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[2−→AB, −2
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 37
~a = {5; 2; 0}
,~b = {0; 0; −2},~c = {5; 0; 1}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−50; −10; −13}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {2; −5; 1}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −2~a + 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 2,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.6
−1x2− 1y2− 4z2+ 0xy + 2xz + 2yz
2x2− y2− 2z2+ 8xy − 12xz − 16yz
.
относительно этого базиса.
~a = {3; 5; 1}
,~b = {5; 1; −2}
(~x,~a) = 14,(~x,~b) = 16è(~x,~c) = 10
(1~u + 2~v)(−2~u − 2~v)
, åñëè
~u = 2~a − 3~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
2 −1 4
−3 3 4
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−1 0 −2
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 1, β = 1, ~a = {2; −1;1},~b = {−1; 0; 1}
22.
Определить сумму êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
3 −5
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
4 0
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−4 2
2 6
è
B =
4 t
перестановочно?
−1 −1
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
6x2+ 16x + 90
íà простейшие.
x4− 81
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (3 − 6i)z − 8 − 6i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−4 − 5iè3 + i
.
38 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 12
¯
¯
3 −3 4 −3
¯
¯
¯
−3 4 −4 3
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−2 2 0
2 −1 0
,
B =
−1 −2 2
¯
¯
¯
−6 6 −10 6
¯
¯
¯
−6 6 −8 5
¯
¯
1 4 9 6 −2
¯
¯
¯
−1 −6 −9 −6 2
¯
¯
¯
3 12 30 18 −6
¯
¯
¯
−2 −8 −18 −14 4
¯
¯
¯
−1 −4 −9 −6 1
2 0 0
1 2 −2
−2 3 −2
AB
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
1 1 −3
−2 4 4
.
A · A−1= E
, найти
0 4 0
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−1 0 −1
0 3 −1
−1 −1 −2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−1 1
−1 −3
·
·
x11x
x21x
x
1
x
2
x
3
12
22
=
·
−5
1
−8
−2 1
−1 3
.
=
−12 21
.
4 −27
5 −1 0 2 0 −2
7.
Вычислить ðàíã матрицы
5 −2 0 −1 0 6
−6 3 0 3 0 −12
6 −1 0 3 0 −4
.
−11 6 0 7 0 −26
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 39
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
11 3 3 0 2
4 1 3 0 −1
11 3 3 0 2
7 2 1 0 2
67 18 23 0 8
9.
Найти общее решение системы уравнений
11 2 1 3 99
2 −1 2 1 −42
9 3 −1 2 141
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
3 6
.
x
x
x
x
x
=
0
0
.
0
0
0
1
2
3
4
5
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
21
3
24
.
6 −6
1 −1 0
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−3 0 0
0 −1 −1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−5; −5; −2}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
A(1; 3; −2),B(3; 3; −1),C(1; 3; 1)
,−→b = {−1; β; 1}−→c = {3; 0; 1}
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB − 4
A(−1; −3; −2),B(−3; −2; −2),C(3; −1; 1),D(1; 2; −2)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, −4
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, −4
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
40 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {−2; −2; −4}
,~b = {1; 2; −1},~c = {1; 1; −5}
образуют базис
è найти êîîðдинаты вектора~d = {−2; 2; −16}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−1; 1; 5}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 4~a − 3~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.7
−3x2+ 1y2+ 4z2− 10xy − 10xz − 6yz
−x2− y2− 2z2− 8xy − 8xz − 16yz
относительно этого базиса.
~a = {4; −4; 5}
(~x,~a) = 13,(~x,~b) = −4è(~x,~c) = 3
(3~u + 3~v)(4~u − 2~v)
, åñëè
.
,~b = {0; 2; 4}
~u = 4~a − 3~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
2 3 4
−3 0 3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−2 1 3
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 2, β = −1, ~a = {1; 2;1},~b = {−1; 0; −3}
22.
Определить произведение êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
−3 −4
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
6 −4
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
6 −1
−3 5
è
B =
3 0
перестановочно?
t 3
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
11x2− 22x − 160
íà простейшие.
x4− 16x
25.
Ðешить квадратное уравнение
2
z2− (−2 − 7i)z − 12 + 8i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
4 − 2iè−2 − 4i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 41
Вариант A - 13
¯
¯
1 −6 2 −3
¯
¯
¯
3 −15 6 −9
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
−3 18 −4 9
¯
¯
¯
−2 12 −4 7
¯
¯
1 4 3 −3 −3
¯
¯
¯
−3 −14 −9 9 9
¯
¯
¯
2 8 5 −6 −6
¯
¯
¯
1 4 3 −4 −3
¯
¯
¯
−3 −12 −9 9 12
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A =
0 2
,
3 3
A · A−1= E
B =
−3 4
−3 0
, найти
.
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−3 −1 −2
3 2 −1
.
2 2 −2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
0 −3 4
4 3 0
2 0 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
4 4
0 −2
·
·
x11x
x21x
x
1
=
·
x
2
x
3
12
22
−24
20
7
1 −1
−3 0
.
=
32 16
.
−16 −2
6 2 3 −1 3 1
7.
Вычислить ðàíã матрицы
9 3 1 3 −1 18
3 −1 −1 1 3 −8
2 −1 −2 3 −1 3
.
20 11 11 0 −2 48
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]