Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
72 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
10 0 3 −1 0
5 0 2 1 0
−6 0 −1 3 0
10 0 3 −1 0
13 0 6 5 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
4 −7 1 5 −61
7 2 1 2 47
6 −1 1 3 11
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
1 −2
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
=
0
0
0
0
0
15
10
25
.
.
.
−2 4
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−3 3 −1
2 −1 2
−3 2 4
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {1; −2; 1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−1; β; 2}−→c = {−1; −1; 0}
A(−3; 3; 3),B(−2; 1; −2),C(1; −2; −2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB − 2
A(−2; 2; 1),B(−3; −2; −2),C(−1; −2; −3),D(3; 2; 3)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, −2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, −2
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 73
~a = {−5; 2; −5}
,~b = {3; 4; 2},~c = {1; 4; −4}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−38; −18; −15}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−4; 5; 0}
(~x,~c) = −21
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 1~a − 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 4,|~b |= 5,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.2
−4x2− 4y2− 3z2− 6xy + 6xz + 4yz
x2− 2y2+ 3z2+ 12xy − 24xz + 24yz
.
относительно этого базиса.
~a = {5; 5; 5}
,~b = {3; 1; 0}
(~x,~a) = −25,(~x,~b) = −8
(4~u − 4~v)(1~u + 4~v)
, åñëè
è
~u = −3~a − 3~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
3 4 0
0 2 3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−3 −2 1
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 3, β = 1, ~a = {−3; 2; −3},~b = {−3; 2; −2}
22.
Определить сумму êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
4 4
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
−1 0
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
5 3
1 3
è
B =
0 t
перестановочно?
−3 6
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
6x2+ 11x − 136
íà простейшие.
x4− 32x2+ 256
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (5 + 7i)z + 4 + 28i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−1 − 5iè−2 − i
.
74 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 24
¯
¯
−1 3 −2 −3
¯
¯
¯
−1 6 −2 −3
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−2 −2
B =
,
0 −1
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
−3 9 −7 −9
¯
¯
¯
−2 6 −4 −9
¯
¯
3 −2 −2 1 −2
¯
¯
¯
−6 5 4 −2 4
¯
¯
¯
6 −4 −5 2 −4
¯
¯
¯
−3 2 2 −2 2
¯
¯
¯
3 −2 −2 1 −4
3 0
.
−3 −3
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A · A−1= E
, найти
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
4 1 4
4 3 4
.
0 −1 −1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−2 −2 −1
1 −2 1
0 −2 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
1 0
·
0 3
x11x
x21x
x
1
·
x
2
x
3
12
·
22
−2
=
0
−6
−1 −4
−4 0
.
=
10 8
.
−21 12
6 0 2 0 1 5
7.
Вычислить ðàíã матрицы
12 0 3 0 3 12
0 0 −2 0 2 4
−2 0 1 0 −2 −5
.
0 0 −9 0 9 18
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 75
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
5 1 1 1 −1
15 2 3 1 2
6 3 −1 2 2
9 3 −1 3 3
45 11 4 9 4
9.
Найти общее решение системы уравнений
21 7 1 1 147
6 2 2 2 42
9 3 1 1 63
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−3 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
18
12
42
.
0 4
2 −2 −3
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
3 2 −2
−1 3 1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−3; −4; 5}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−5; β; 4}−→c = {1; 4; −2}
A(−2; 1; −2),B(3; 2; 1),C(−3; −2; −2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB − 3
A(−1; 3; 0),B(−1; −1; 1),C(−2; 3; 2),D(1; −2; 3)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, −3
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, −3
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
76 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {4; −3; 0}
,~b = {5; −5; 3},~c = {−1; 3; 4}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−16; 17; −12}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {0; 5; −4}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 2~a + 3~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 4,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.2
−2x2− 5y2− 5z2+ 10xy − 2xz − 6yz
x2+ y2− 2z2+ 8xy + 8xz − 24yz
относительно этого базиса.
~a = {4; −1; 5}
(~x,~a) = 19,(~x,~b) = 10è(~x,~c) = 6
(2~u − 2~v)(4~u + 2~v)
, åñëè
.
,~b = {0; 5; 0}
~u = −1~a − 1~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
4 1 4
2 −2 3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
2 −3 −1
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 1, β = 1, ~a = {−3; 2; 3},~b = {−2; 2; 2}
22.
Определить произведение êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
4 2
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
1 −2
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−1 2
6 0
è
B =
−3 0
перестановочно?
t −3
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
−3x2+ 9x + 0
íà простейшие.
x3− 4x2+ 4x
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (−1 − i)z + 6 + 3i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
1 − 4iè−4 − 5i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 77
¯
¯
−2 1 −3 −3
¯
¯
¯
−4 3 −6 −6
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−2 −2 0
,
B =
1 1 1
¯
¯
¯
4 −2 9 6
¯
¯
¯
2 −1 3 4
¯
¯
2 −4 −6 −4 −1
¯
¯
¯
2 −6 −6 −4 −1
¯
¯
¯
−4 8 14 8 2
¯
¯
¯
−2 4 6 6 1
¯
¯
¯
−6 12 18 12 4
0 1
3 0
2 2
Вариант A - 25
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−2 4 4
0 −2 −3
.
A · A−1= E
, найти
4 −2 2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
4 1 3
0 2 −3
2 4 2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
2 3
4 1
·
x11x
x21x
x
1
=
·
·
x
2
x
3
12
22
4
3
−10
−2 0
1 2
.
=
−13 2
−21 −6
.
5 1 0 3 0 6
7.
Вычислить ðàíã матрицы
3 2 0 −1 0 5
5 1 0 3 0 6
7 3 0 1 0 10
.
−19 −10 0 1 0 −29
78 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−1 −1 −1 0 1
5 −1 −1 0 3
8 3 2 0 −1
17 3 −1 0 3
81 11 −3 0 17
9.
Найти общее решение системы уравнений
−13 0 5 3 −11
4 3 1 3 −4
−3 1 2 2 −5
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−7 −6
.
x
x
x
x
x
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
−2
11
−17
.
−6 −2
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
3 −1 1
3 3 1
0 3 3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {1; −5; 0}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {4; β; 1}−→c = {−2; 3; −1}
A(−2; 3; −1),B(−2; −2; −3),C(2; 1; 0)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 2−→AB − 3
A(2; 1; −1),B(3; −1; −2),C(3; 1; 0),D(2; 3; −2)
−−→
CD |
, á)
(2−→AB, −3
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[2−→AB, −3
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 79
~a = {−5; 0; 4}
,~b = {4; −5; 1},~c = {0; 4; −1}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {16; −40; 9}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−2; 2; 5}
(~x,~c) = −8
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −2~a + 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 2,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.9
−5x2+ 1y2+ 1z2+ 6xy − 6xz − 4yz
−2x2+ y2+ 3z2− 24xy + 12xz + 12y z
относительно этого базиса.
~a = {−3; −4; −2}
(~x,~a) = −2,(~x,~b) = −2
(2~u − 4~v)(2~u + 3~v)
, åñëè
.
,~b = {1; 5; 5}
è
~u = −3~a + 3~b
ê
êаноническîìó âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
3 −3 2
0 2 −2
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
0 −2 −1
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 3, β = −1, ~a = {−2; −1; 3},~b = {3; 0; −1}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2+ 9x + 10 = 0
A =
, åñëè
−4 5
?
2 p
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−1 3
5 0
è
B =
0 −3
перестановочно?
−5 t
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
−3x2+ 18x − 15
íà простейшие.
x3− 125
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (0 + 5i)z − 4 + 10i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−2 + 2iè−4 + 4i
.
80 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 26
¯
¯
2 3 −9 9
¯
¯
¯
−4 −7 18 −18
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−2 0 3
−2 1 3
,
B =
3 0 2
¯
¯
¯
−2 −3 12 −9
¯
¯
¯
−4 −6 18 −21
¯
¯
−2 2 6 4 −6
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−2 2 8 4 −6
¯
¯
¯
−6 6 18 10 −18
¯
¯
¯
−6 6 18 12 −20
−2 0 −1
−1 2 −2
−1 0 −2
6 −5 −18 −12 18
AB
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 0 −2
−2 −3 0
.
A · A−1= E
, найти
−1 −2 2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
1 −2 0
2 2 −1
1 3 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
1 0
−3 −3
·
x
1
·
x
2
x
3
x11x
x21x
12
22
=
·
−2
7
.
3
−3 2
2 −1
=
2 −1
−21 15
.
8 0 1 3 0 8
7.
Вычислить ðàíã матрицы
6 0 3 3 0 6
11 0 −2 3 0 11
5 0 −2 1 0 5
.
36 0 6 14 0 36
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 81
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
2 0 1 1 0
3 0 3 2 0
6 0 3 3 0
7 0 2 3 0
33 0 12 15 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
−15 −5 1 −7 −29
5 3 −1 3 15
5 −1 1 1 −1
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
3 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
6
6
−18
.
.
0 −3
4 2 1
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−1 3 −1
−3 −2 0
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {1; −5; −2}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−2; β; 4}−→c = {−2; −5; 3}
A(−1; 1; 1),B(1; 3; 1),C(−1; −3; −1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 2−→AB − 2
A(3; 3; 2),B(−3; 1; 3),C(1; 3; 2),D(−3; 3; 1)
−−→
CD |
, á)
(2−→AB, −2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[2−→AB, −2
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]