Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
132 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−7 0 −1 −1 −1
3 0 1 3 −1
14 0 2 2 2
11 0 3 −1 1
−7 0 3 −1 −5
9.
Найти общее решение системы уравнений
4 −2 −1 1 18
−8 −1 2 3 −1
−12 1 3 2 −19
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−1 6
.
x
x
x
x
x
=
0
0
.
0
0
0
1
2
3
4
5
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−16
−9
7
.
6 4
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−2 3 1
4 −2 0
−3 −1 1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−1; 2; −2}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {2; β; 3}−→c = {2; −4; 5}
A(1; 2; −3),B(−3; 3; 2),C(−1; 2; 1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB − 3
A(3; −1; −3),B(−3; −3; 1),C(−2; 3; 2),D(−1; 0; −1)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, −3
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, −3
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 133
~a = {1; 4; 3}
,~b = {−2; 1; 1},~c = {−5; 1; 3}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−22; 11; 16}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−2; −1; 1}
(~x,~c) = −7
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 1~a − 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−4x2+ 2y2+ 5z2+ 6xy + 0xz + 4yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 3,|~b |= 4,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.5
−x2− y2− 2z2− 8xy − 12xz − 8yz
относительно этого базиса.
~a = {−2; 5; −4}
(~x,~a) = 18,(~x,~b) = −19
(2~u + 2~v)(−3~u + 3~v)
.
,~b = {−4; 3; 3}
, åñëè
~u = 3~a − 1~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
0 −3 −1
1 1 3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
0 −1 4
è
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 1, β = 3, ~a = {1; 3; −1},~b = {−2; −3; −2}
22.
Определить сумму êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
−1 1
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
3 −6
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
5 −2
−1 3
è
B =
−1 t
перестановочно?
−1 −3
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
3x2+ x − 63
íà простейшие.
x4− 81
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− 6z + 6 + 4i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−2 − 2iè2 − 3i
.
134 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 44
¯
¯
−2 3 −6 2
¯
¯
¯
4 −3 12 −4
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−1 1 −2
2 3 2
,
B =
−2 −2 0
¯
¯
¯
6 −9 20 −6
¯
¯
¯
4 −6 12 −6
¯
¯
−1 −4 4 −3 2
¯
¯
¯
1 2 −4 3 −2
¯
¯
¯
1 4 −6 3 −2
¯
¯
¯
−3 −12 12 −10 6
¯
¯
¯
−2 −8 8 −6 6
1 −1 3
0 1 −2
−1 0 1
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
3 −1 −2
1 1 −1
.
A · A−1= E
, найти
−3 3 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−1 3 4
3 −2 1
0 4 4
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
0 −1
−3 1
·
x
1
·
x
2
x
3
x11x
x21x
12
22
=
·
2
2
8
−3 1
.
2 0
=
10 −2
−28 8
.
−13 2 3 0 −2 −5
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−11 1 3 0 −1 −4
−11 1 3 0 −1 −4
9 −2 −2 0 1 5
.
42 −7 −10 0 5 19
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 135
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−5 −1 −1 1 −1
20 1 3 2 1
21 −1 3 3 3
13 1 1 3 −1
64 −3 7 14 5
9.
Найти общее решение системы уравнений
36 6 −6 6 210
−6 −1 1 −1 −35
6 1 −1 1 35
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−3 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
7
−7
42
.
0 6
4 4 4
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
4 4 3
−1 0 3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {1; 4; 2}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {5; β; 1}−→c = {−3; 0; −5}
A(1; −2; 3),B(−3; −3; 1),C(−2; −3; 0)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 2−→AB − 3
A(−2; 2; −2),B(−1; 3; −2),C(−1; 2; 1),D(−1; −2; 3)
−−→
CD |
, á)
(2−→AB, −3
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[2−→AB, −3
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
136 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {5; −1; −2}
,~b = {2; 2; 3},~c = {0; −2; 0}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {21; −7; 3}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−1; −5; −4}
(~x,~c) = −32
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 4~a + 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
5x2+ 5y2+ 4z2+ 6xy + 4xz + 4yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 2,|~b |= 5,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.9
x2+ y2− z2+ 4xy + 4xz − 12yz
относительно этого базиса.
~a = {3; 3; 5}
(~x,~a) = 39,(~x,~b) = 23
(1~u + 1~v)(3~u − 2~v)
.
,~b = {1; 1; 5}
, åñëè
~u = 4~a − 4~b
ê êаноническîìó âèäó
ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
4 4 3
−2 0 1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
0 3 −2
è
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 2, β = −2, ~a = {−1; −2; −2},~b = {1; −1; 0}
22.
Определить произведение êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
3 4
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
−2 3
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
1 −1
0 2
è
B =
−3 −5
перестановочно?
t 2
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
10x2− 14x − 72
íà простейшие.
x4− 9x
25.
Ðешить квадратное уравнение
2
z2− (10 − 2i)z + 27 − 6i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−4 + 4iè−5 + 2i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 137
¯
¯
−3 −2 3 −3
¯
¯
¯
6 2 −6 6
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
2 2 −1
−1 −2 −2
,
B =
−1 1 3
¯
¯
¯
−9 −6 8 −9
¯
¯
¯
6 4 −6 3
¯
¯
2 −3 6 4 2
¯
¯
¯
2 −6 6 4 2
¯
¯
¯
6 −9 15 12 6
¯
¯
¯
−2 3 −6 −2 −2
¯
¯
¯
−2 3 −6 −4 0
−2 2 3
−2 3 0
−1 3 −2
Вариант A - 45
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−1 −1 3
3 −1 3
.
A · A−1= E
, найти
1 −1 4
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
4 −2 −1
0 4 4
−3 3 2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
4 2
−3 −3
·
·
x11x
x21x
x
1
x
2
x
3
12
22
=
·
8
12
−2
−2 −3
−3 3
.
=
−20 60
.
30 −45
8 0 2 −2 0 −2
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−4 0 −1 1 0 1
5 0 −1 −2 0 −5
9 0 3 −2 0 −1
.
12 0 −3 −5 0 −13
138 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
3 0 3 2 0
3 0 3 2 0
7 0 −1 2 0
−2 0 −1 −1 0
33 0 12 15 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
0 −2 −4 0 −14
4 3 1 −1 −11
−4 −1 3 1 25
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
5 0
.
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−11
−3
14
.
0 −6
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
1 −3 −1
−3 4 4
2 2 3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {4; 4; −1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−4; β; 2}−→c = {−5; −5; 1}
A(−1; −1; −2),B(−2; −2; −1),C(1; −2; −1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
A(−1; 1; 3),B(2; 1; 1),C(−3; −3; 1),D(−3; 3; 1)
| −3−→AB + 2
−−→
CD |
, á)
(−3−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
ABC D
[−3−→AB, 2
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 139
~a = {−2; 5; −2}
,~b = {−3; 5; 4},~c = {2; 4; −3}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {32; −25; −21}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {2; −5; 4}
(~x,~c) = 14
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −3~a + 3~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 4,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.6
−2x2− 2y2− 5z2− 2xy + 2xz + 4yz
3x2− y2− z2+ 36xy − 4xz − 4y z
относительно этого базиса.
~a = {2; 5; 3}
(~x,~a) = 11,(~x,~b) = −10
(−2~u + 1~v)(−1~u + 1~v)
.
,~b = {−1; 1; −3}
è
, åñëè
~u = 3~a + 4~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
0 0 −3
0 −3 −1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
1 2 −1
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 2, β = −3, ~a = {3; 2; 1},~b = {1; −2; 3}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− x − 26 = 0
A =
, åñëè
−4 2
?
3 p
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
2 2
0 5
è
B =
−4 −2
перестановочно?
0 t
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
−x2+ 2x + 6
íà простейшие.
x4+ 9x
25.
2
Ðешить квадратное уравнение
z2− (2 − 7i)z − 27 − 3i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−4 + 3iè−5 − 3i
.
140 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 46
¯
¯
2 −4 −2 −6
¯
¯
¯
−2 6 2 6
0 −1
¯
¯
¯
−6 12 4 18
¯
¯
¯
4 −8 −4 −10
¯
¯
2 −4 1 −3 −3
¯
¯
¯
6 −10 3 −9 −9
¯
¯
¯
6 −12 4 −9 −9
¯
¯
¯
6 −12 3 −10 −9
¯
¯
¯
−6 12 −3 9 10
AB
.
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
3 1
−2 3
B =
,
−3 0
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A · A−1= E
, найти
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−2 3 −2
0 1 0
.
−1 −2 3
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
0 −3 1
1 4 4
−1 3 −3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−2 −2
−1 4
·
·
x11x
x21x
x
1
=
·
x
2
x
3
12
22
−12
−1
19
3 −2
−4 −2
.
=
−26 8
.
−48 4
−6 0 −2 2 0 4
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−4 0 −2 1 0 5
3 0 −1 −2 0 5
1 0 −1 −1 0 4
.
−31 0 −3 14 0 −5
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 141
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
16 2 3 3 2
9 1 2 1 1
3 2 −1 −1 3
14 2 2 1 3
92 17 11 7 23
9.
Найти общее решение системы уравнений
−43 −9 −8 −8 −241
15 3 3 3 81
13 3 2 2 79
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
6 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
0
0
.
0
0
0
=
22
24
.
−70
0 2
4 −2 1
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−2 4 −1
−1 3 0
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−1; 5; 1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {2; β; −1}−→c = {−2; −2; 3}
A(−2; −1; 2),B(−3; −2; 3),C(3; 2; −1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB + 2
A(1; −3; 2),B(−2; 3; −1),C(−3; 2; 2),D(3; 3; 2)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, 2
ABC D
−−→
CD]
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]