Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
212 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 70
¯
¯
2 −1 6 −3
¯
¯
¯
−6 2 −18 9
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
4 −2 10 −6
¯
¯
¯
2 −1 6 0
¯
¯
3 3 −2 −6 1
¯
¯
¯
−9 −10 6 18 −3
¯
¯
¯
−3 −3 4 6 −1
¯
¯
¯
9 9 −6 −15 3
¯
¯
¯
−9 −9 6 18 −4
A =
2 −3 3
−3 1 3
3 0
B =
−1 −1
,
AB
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
3 2
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 4 1
1 0 0
.
A · A−1= E
, найти
−1 −3 −1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
3 2 2
3 4 −1
3 2 4
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−2 −1
2 2
·
·
x
1
x
2
x
3
x11x
x21x
=
12
22
7
−3
15
·
.
2 0
3 1
=
−20 0
36 4
.
1 0 −1 0 −2 4
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−5 0 1 0 −2 0
−5 0 1 0 −2 0
4 0 −2 0 −2 6
.
−19 0 9 0 8 −26
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 213
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
10 3 2 1 −1
7 −1 2 3 2
8 −1 1 3 −1
8 1 3 2 3
19 4 4 3 −1
9.
Найти общее решение системы уравнений
39 9 3 9 −30
−9 −1 2 −1 36
4 2 3 2 26
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−3 6
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
3
−19
66
.
.
6 2
1 −3 4
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−3 0 1
0 2 −1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−1; −2; 2}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {5; β; −1}−→c = {1; 0; −3}
A(−3; −3; 2),B(2; −2; 1),C(−3; −1; −1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(−2; 1; 0),B(2; −2; 2),C(−1; −2; −3),D(1; 2; −2)
| −3−→AB − 2
−−→
CD |
ABC
, á)
(−3−→AB, −2
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−3−→AB, −2
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
214 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {4; 4; 0}
,~b = {1; 2; 1},~c = {5; −4; −1}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {0; 40; 8}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {0; 2; −5}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −3~a + 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 4,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.2
2x2+ 6y2+ 7z2+ 6xy + 6xz + 6yz
относительно этого базиса.
~a = {2; 0; 1}
,~b = {5; −5; −1}
(~x,~a) = −3,(~x,~b) = 1è(~x,~c) = 3
(2~u + 1~v)(−3~u − 2~v)
, åñëè
.
3x2+ 2y2+ 2z2+ 36xy + 16xz + 8y z
~u = −3~a + 4~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
1 3 1
0 3 −3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
2 0 −1
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 2, β = −3, ~a = {−3; −2; 2},~b = {0; 0; −1}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2+ 8x + 5 = 0
A =
, åñëè
p 5
?
2 −5
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
5 4
4 1
è
B =
t 3
перестановочно?
3 −2
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
9x2− 17x + 9
íà простейшие.
x4− 5x
25.
Ðешить квадратное уравнение
3
z2− (2 + 13i)z − 41 + 13i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
5 + 4iè3 − 5i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 215
Вариант A - 71
¯
¯
2 1 2 6
¯
¯
¯
−4 −3 −4 −12
3 −1
¯
¯
¯
4 2 6 12
¯
¯
¯
−6 −3 −6 −15
¯
¯
2 −6 −2 9 6
¯
¯
¯
2 −8 −2 9 6
¯
¯
¯
−6 18 7 −27 −18
¯
¯
¯
6 −18 −6 24 18
¯
¯
¯
−6 18 6 −27 −15
AB
.
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
2 2
A =
4 −2
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
B =
,
−2 −1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A · A−1= E
, найти
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−1 1 1
1 −3 3
.
2 −1 −2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−3 0 0
−2 −2 −3
−1 4 −2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−1 4
2 4
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
x
2
x
3
·
=
17
−5
0 3
1 1
3
=
.
−2 −5
−8 −38
.
5 0 3 −1 2 −4
7.
Вычислить ðàíã матрицы
3 0 1 −1 −2 2
2 0 3 −2 3 −9
1 0 2 −2 1 −6
.
−19 0 −13 8 −4 19
216 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
2 3 0 1 0
2 3 0 1 0
0 1 0 1 0
2 3 0 1 0
18 28 0 10 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
−10 −4 −2 −4 −54
9 1 1 3 23
1 3 1 1 31
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−3 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
10
14
−24
.
.
0 1
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
2 −1 −2
1 −3 4
2 0 0
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−5; 5; −3}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {5; β; −1}−→c = {3; −5; 2}
A(−2; 3; −1),B(2; −3; −2),C(1; 3; −2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 2−→AB − 4
A(3; −1; −1),B(2; 2; 1),C(2; 3; −2),D(−3; 3; −1)
−−→
CD |
, á)
(2−→AB, −4
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[2−→AB, −4
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 217
~a = {−5; 5; 4}
,~b = {−4; −4; −2},~c = {−4; 2; 3}
образуют базис
è найти êîîðдинаты вектора~d = {49; −31; −33}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−1; 4; 4}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −1~a + 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 2,|~b |= 5,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.7
−5x2+ 3y2+ 0z2+ 2xy − 6xz + 0yz
3x2+ 2y2+ 2z2+ 12xy + 16xz + 16yz
.
относительно этого базиса.
~a = {2; 2; 4}
,~b = {−2; 1; 2}
(~x,~a) = 10,(~x,~b) = 2è(~x,~c) = 11
(4~u + 3~v)(2~u + 3~v)
, åñëè
~u = 1~a − 3~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
3 3 1
0 −1 −1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
1 −3 2
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 1, β = 3, ~a = {−1; 1; 3},~b = {−2; 3; 0}
22.
Определить сумму êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
−4 4
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
2 0
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
5 4
−2 3
è
B =
1 t
перестановочно?
−5 −4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
x2− 17x + 24
íà простейшие.
x4− 32x2+ 256
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (11 + 3i)z + 28 + 16i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−1 − 2iè−2 − i
.
218 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 72
¯
¯
−3 −6 −3 −9
¯
¯
¯
−6 −9 −6 −18
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
1 −1 3
,
B =
2 −3 −3
¯
¯
¯
9 18 10 27
¯
¯
¯
3 6 3 6
¯
¯
−1 −3 4 −4 −6
¯
¯
¯
−3 −6 12 −12 −18
¯
¯
¯
3 9 −14 12 18
¯
¯
¯
−1 −3 4 −2 −6
¯
¯
¯
1 3 −4 4 4
3 3
1 1
AB
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 0
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−1 0 −1
−1 1 −3
.
A · A−1= E
, найти
3 2 0
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
3 1 −2
0 1 3
0 2 −3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
3 1
−2 −2
·
·
x
1
x
2
x
3
x11x
x21x
=
12
22
15
−12
3
·
.
3 −4
−3 −3
=
15 −69
−6 50
.
2 −2 0 −2 −2 8
7.
Вычислить ðàíã матрицы
10 2 0 2 −2 −4
2 −1 0 −2 −1 5
−7 −2 0 −2 1 5
.
−54 −3 0 0 15 −9
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 219
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−2 0 1 0 −1
9 0 3 0 2
9 0 3 0 2
5 0 −1 0 2
28 0 10 0 6
9.
Найти общее решение системы уравнений
9 2 −4 3 −8
−5 2 2 1 18
2 2 −1 2 5
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−4 3
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
9
3
15
.
3 4
−3 −3 1
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
0 3 −3
2 4 −1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {0; 2; −1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {1; β; −5}−→c = {−1; 3; 4}
A(−2; 2; −3),B(−1; 2; 1),C(3; 3; 0)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB − 2
A(2; −2; −1),B(−3; 3; −1),C(−3; 2; −2),D(2; −2; 2)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, −2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, −2
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
220 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {2; 1; 4}
,~b = {−5; 3; 5},~c = {3; −1; 1}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {2; 13; 44}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−4; 0; 5}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −3~a − 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 2,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.3
−4x2+ 2y2− 4z2− 10xy + 4xz + 6yz
относительно этого базиса.
~a = {3; −3; 5}
(~x,~a) = 8,(~x,~b) = 9è(~x,~c) = −7
(2~u − 4~v)(2~u − 3~v)
, åñëè
.
3x2+ 2y2+ 2z2+ 12xy + 8xz + 16y z
,~b = {4; 0; −3}
~u = 4~a − 3~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−1 0 −2
−2 1 1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−3 1 3
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 3, β = 2, ~a = {2; 1; −3},~b = {−2; −2; −3}
22.
Определить произведение êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
2 3
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
5 −3
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−4 2
3 5
è
B =
4 0
перестановочно?
t 4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
0x2+ 12x − 48
íà простейшие.
x3− 8x2+ 16x
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2+ 3iz − 12 − 20i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
2 + 3iè−2 + i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 221
¯
¯
−2 6 −6 1
¯
¯
¯
−2 4 −6 1
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
0 −1 3
0 3 −2
,
B =
−1 −1 −1
¯
¯
¯
6 −18 15 −3
¯
¯
¯
2 −6 6 −2
¯
¯
1 −3 −4 9 −3
¯
¯
¯
1 −6 −4 9 −3
¯
¯
¯
3 −9 −14 27 −9
¯
¯
¯
2 −6 −8 15 −6
¯
¯
¯
−2 6 8 −18 7
−1 3 −2
0 −2 3
2 3 0
Вариант A - 73
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−1 2 1
−3 4 −2
.
A · A−1= E
, найти
1 0 −1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
1 2 2
3 1 3
4 1 4
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−1 2
4 0
·
·
x
1
x
2
x
3
x11x
x21x
=
12
22
4
13
18
·
.
0 −3
−3 1
=
15 13
−12 −20
.
0 −1 1 1 −1 −9
7.
Вычислить ðàíã матрицы
6 1 3 −1 −1 −5
3 3 −1 −2 1 16
2 −1 3 2 −2 −17
.
4 1 3 3 −3 −15
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]