Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
302 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 100
¯
¯
−2 6 −2 −3
¯
¯
¯
−4 14 −4 −6
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−2 1 −1
2 1 2
,
B =
−2 3 3
¯
¯
¯
−2 6 −4 −3
¯
¯
¯
4 −12 4 3
¯
¯
−1 6 −9 −1 4
¯
¯
¯
−1 3 −9 −1 4
¯
¯
¯
3 −18 30 3 −12
¯
¯
¯
−3 18 −27 −4 12
¯
¯
¯
−1 6 −9 −1 6
−1 3 0
−2 0 1
2 3 −1
AB
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−2 −1 3
−1 −1 4
.
A · A−1= E
, найти
−2 0 0
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−3 0 1
0 −3 −2
−2 −1 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−3 2
1 3
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
x
2
x
3
=
·
−9
15
2
1 2
2 −3
.
=
−6 2
.
13 −30
4 2 1 0 0 6
7.
Вычислить ðàíã матрицы
4 −2 3 0 0 2
7 1 3 0 0 8
−1 1 −1 0 0 0
.
−42 −6 −18 0 0 −48
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 303
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−1 3 2 0 −1
8 2 3 0 2
−1 3 2 0 −1
−1 1 1 0 −1
−8 −6 −5 0 −2
9.
Найти общее решение системы уравнений
27 9 −1 8 234
−3 3 2 −1 60
10 2 −1 3 58
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
7 −6
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
22
2
68
.
−6 2
0 1 −1
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−3 1 0
4 3 4
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−3; −2; 1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−3; β; 1}−→c = {4; −1; −1}
A(−3; −3; 3),B(3; 2; −1),C(−1; 2; 3)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB − 3
A(−1; −2; −2),B(3; 3; −2),C(−2; 2; −3),D(2; −2; −2)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, −3
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, −3
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
304 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {2; 3; −3}
,~b = {1; 4; −5},~c = {0; −1; 4}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {10; 16; −6}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−1; 5; −4}
(~x,~c) = −10
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −3~a + 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−1x2− 5y2− 3z2+ 8xy + 8xz + 0yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 5,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.6
−2x2+ 2y2+ z2− 8xy + 8xz + 12yz
относительно этого базиса.
~a = {2; 5; −2}
(~x,~a) = 5,(~x,~b) = 0
(−2~u + 3~v)(−1~u − 2~v)
.
,~b = {−1; −3; 2}
è
, åñëè
~u = −1~a + 4~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
0 3 0
−1 3 0
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−1 −3 3
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 1, β = −1, ~a = {−3; 1; −1},~b = {−1; 2; 2}
22.
Определить произведение êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
−6 3
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
−1 1
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
5 −2
2 4
è
B =
3 0
перестановочно?
t 3
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
13x2− 15x − 99
íà простейшие.
x4− 9x
25.
Ðешить квадратное уравнение
2
z2− (−6 + 7i)z + 2 − 26i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
5 − 5iè−4 + 5i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 305
Вариант A - 101
¯
¯
1 −1 −3 6
¯
¯
¯
1 0 −3 6
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
3 −3
B =
,
−2 1
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
1 −1 −4 6
¯
¯
¯
−2 2 6 −10
¯
¯
2 2 −2 2 2
¯
¯
¯
4 2 −4 4 4
¯
¯
¯
4 4 −2 4 4
¯
¯
¯
2 2 −2 1 2
¯
¯
¯
−4 −4 4 −4 −6
1 4
.
1 −2
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A · A−1= E
, найти
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
3 4 2
1 0 −2
.
0 1 3
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−3 4 2
2 1 3
−2 4 0
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−1 3
−1 1
·
x
·
x
x
x11x
x21x
=
·
8
.
4
0
−4 1
2 −3
=
38 3
22 −3
.
1
2
3
12
22
0 0 0 3 1 −8
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−8 0 0 1 3 0
−5 0 0 1 2 −1
−5 0 0 1 2 −1
.
8 0 0 2 −2 −8
306 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
5 0 3 3 1
10 0 2 3 3
−1 0 3 −1 2
3 0 3 2 1
0 0 16 2 6
9.
Найти общее решение системы уравнений
−24 −5 −10 −9 −72
7 2 3 2 19
3 −1 1 3 15
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
4 0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
x
x
x
x
x
0
0
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
12
8
−36
.
.
0 −5
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
1 −1 3
0 0 0
1 1 −3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−1; −4; −2}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
A(−1; −1; −1),B(−1; −2; 1),C(1; −3; 2)
,−→b = {−3; β; −5}−→c = {0; −3; −1}
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB − 4
A(3; −3; 0),B(0; −2; 3),C(1; 2; −1),D(−2; −2; 3)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, −4
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, −4
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 307
~a = {−4; −4; −5}
,~b = {−1; 3; −5},~c = {3; 1; −5}
образуют
базис è найти êîîðдинаты вектора~d = {17; −11; 5}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {1; −1; −2}
(~x,~c) = 12
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −2~a + 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
6x2+ 6y2+ 3z2+ 4xy + 4xz + 4yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.7
.
−2x2− y2+ 2z2− 24xy − 12xz + 16yz
относительно этого базиса.
~a = {1; −4; 4}
(~x,~a) = −3,(~x,~b) = −5
(−1~u − 2~v)(−4~u − 3~v)
,~b = {5; −2; 4}
, åñëè
~u = −2~a + 4~b
ê
êаноническîìó âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
2 0 −2
1 0 2
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
1 2 −2
è
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 1, β = −3, ~a = {2; −3; −1},~b = {1; 3; −1}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 8x + 9 = 0
A =
, åñëè
6 −1
?
−3 p
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−1 −1
0 5
è
B =
3 5
перестановочно?
0 t
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
4x2− 2x − 12
íà простейшие.
x4+ 36x
25.
Ðешить квадратное уравнение
2
z2− (5 + 4i)z − 3 + 5i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−4 + 5iè4 + 4i
.
308 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 102
¯
¯
3 −2 9 1
¯
¯
¯
−3 4 −9 −1
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
3 −2 6 1
¯
¯
¯
6 −4 18 3
¯
¯
2 −6 −2 6 2
¯
¯
¯
4 −10 −4 12 4
¯
¯
¯
6 −18 −5 18 6
¯
¯
¯
−4 12 4 −9 −4
¯
¯
¯
2 −6 −2 6 1
A =
−2 −1 0
−2 0 1
1 0
B =
−2 −2
,
.
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−3 1
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 1 3
2 0 0
.
A · A−1= E
, найти
2 1 4
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
3 −3 −3
4 3 4
2 −1 −3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−2 −2
−1 −3
·
x
1
·
x
2
x
3
x11x
x21x
12
22
=
·
3
13
−1
1 −1
−4 3
.
=
8 −4
.
28 −18
1 −1 3 0 0 6
7.
Вычислить ðàíã матрицы
4 3 −2 0 0 3
0 −1 2 0 0 3
2 2 −2 0 0 0
.
16 13 −10 0 0 9
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 309
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−2 3 0 1 2
−2 1 0 2 1
−1 1 0 −1 −1
1 1 0 −1 1
−7 9 0 0 2
9.
Найти общее решение системы уравнений
−9 4 1 −3 −57
1 −1 1 2 13
−8 3 2 −1 −44
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−1 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
x
x
x
x
0
0
=
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
−2
−6
4
.
0 2
−1 −3 −1
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−2 −1 4
−2 −2 4
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {0; 2; −1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−2; β; 4}−→c = {−1; −5; −4}
A(−3; −2; 3),B(−2; −3; −3),C(2; 2; 1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(3; −3; 1),B(2; 3; 3),C(3; −2; −2),D(2; −3; −3)
| −2−→AB − 4
−−→
CD |
ABC
, á)
(−2−→AB, −4
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−2−→AB, −4
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
310 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {0; −4; 3}
,~b = {0; 2; 4},~c = {−1; 2; 5}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−2; −22; 13}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−1; −1; 5}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 3~a − 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−5x2+ 0y2− 5z2+ 2xy + 0xz + 10yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 4,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.4
3x2− 2y2− 2z2+ 36xy − 24xz − 24yz
относительно этого базиса.
~a = {3; 0; −2}
(~x,~a) = 7,(~x,~b) = 15è(~x,~c) = 5
(−4~u − 4~v)(1~u + 1~v)
, åñëè
.
,~b = {−1; −5; 3}
~u = −1~a + 2~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−3 −2 0
2 2 −3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
2 3 −2
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 2, β = −3, ~a = {3; −2; −3},~b = {2; −2; −1}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2+ x − 3 = 0
A =
, åñëè
p 3
?
−1 2
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
3 −1
5 2
è
B =
t 2
перестановочно?
−10 0
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
6x2− 39x − 5
íà простейшие.
x4− 8x
25.
Ðешить квадратное уравнение
3
z2− (−8 + 4i)z + 20 − 10i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−1 + 5iè2 − 4i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 311
Вариант A - 103
¯
¯
−1 2 −3 −4
¯
¯
¯
1 −3 3 4
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
1 −2 1
−2 3 3
,
B =
−1 −1 0
¯
¯
¯
3 −6 8 12
¯
¯
¯
−2 4 −6 −6
¯
¯
1 −3 −3 2 −3
¯
¯
¯
−3 10 9 −6 9
¯
¯
¯
1 −3 −6 2 −3
¯
¯
¯
−2 6 6 −6 6
¯
¯
¯
2 −6 −6 4 −5
−2 1 3
2 0 0
−1 1 0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−2 −1 −1
−2 −1 4
.
A · A−1= E
, найти
3 2 4
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−2 0 4
−2 4 1
3 1 0
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−2 −2
0 −1
·
·
x
1
x
2
x
3
x11x
x21x
=
12
22
−2
−17
6
·
.
−3 0
3 3
=
12 0
0 −9
.
11 −2 3 0 0 0
7.
Вычислить ðàíã матрицы
1 2 1 0 0 −8
4 2 2 0 0 −10
−9 3 −2 0 0 −5
.
31 −19 4 0 0 49
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]