Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
272 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 90
¯
¯
−2 −6 −2 1
¯
¯
¯
−4 −15 −4 2
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
2 −1 0
3 1 2
,
B =
−2 0 2
¯
¯
¯
4 12 6 −2
¯
¯
¯
−4 −12 −4 3
¯
¯
3 −2 −3 −6 −2
¯
¯
¯
−9 4 9 18 6
¯
¯
¯
−3 2 0 6 2
¯
¯
¯
−9 6 9 20 6
¯
¯
¯
−9 6 9 18 7
0 −2 0
2 −1 1
3 −1 2
AB
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
1 1 0
1 1 4
.
A · A−1= E
, найти
3 2 4
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
0 −3 0
−3 −1 1
0 0 3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−2 −2
3 −1
·
x
1
·
x
2
x
3
x11x
x21x
12
22
=
·
−9
−3
−9
3 2
1 −1
.
=
0 −10
.
20 15
−3 −1 3 3 −1 −2
7.
Вычислить ðàíã матрицы
0 −2 1 1 1 −3
−13 3 3 −1 1 22
2 2 2 −2 −2 12
.
26 −6 −20 0 4 −70
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 273
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
3 0 0 −1 2
−1 0 0 2 1
−2 0 0 3 1
0 0 0 1 1
−2 0 0 3 1
9.
Найти общее решение системы уравнений
−13 0 4 −1 47
4 2 −1 3 −64
−9 2 3 2 −17
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
−3 0
A =
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−10
17
−27
.
.
0 −4
0 2 0
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
3 3 4
−3 1 −3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−4; 4; 3}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−3; β; −2}−→c = {−3; 4; 2}
A(2; 3; −2),B(−3; 3; −1),C(1; 1; 0)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(2; −1; 2),B(−2; 2; 3),C(−1; −2; −3),D(1; 2; 1)
| −2−→AB − 4
−−→
CD |
ABC
, á)
(−2−→AB, −4
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−2−→AB, −4
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
274 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {−4; 5; 5}
,~b = {4; 0; −3},~c = {−5; 3; −3}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−16; −8; −23}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {1; −2; 3}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −4~a + 3~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 4,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.2
7x2+ 7y2+ 6z2+ 4xy + 12xz + 8yz
3x2+ 3y2− 2z2+ 12xy + 12xz − 16yz
.
относительно этого базиса.
~a = {2; −2; 3}
,~b = {5; 1; 0}
(~x,~a) = 14,(~x,~b) = 14è(~x,~c) = 11
(1~u + 3~v)(4~u + 2~v)
, åñëè
~u = −2~a + 3~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−3 4 2
−2 −3 3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
2 1 4
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 1, β = −1, ~a = {3; −2; −2},~b = {2; 0; 0}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 4x + 33 = 0
A =
, åñëè
p −6
?
5 1
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−4 −1
5 1
è
B =
t −1
перестановочно?
5 5
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
x2+ 26x − 40
íà простейшие.
x3+ 64
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− 11z + 32 − 6i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
1 + iè−1 − 5i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 275
Вариант A - 91
¯
¯
2 6 1 2
¯
¯
¯
−6 −21 −3 −6
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
4 −2
B =
,
−1 −3
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
−4 −12 −1 −4
¯
¯
¯
−6 −18 −3 −4
¯
¯
−2 9 1 2 3
¯
¯
¯
−6 24 3 6 9
¯
¯
¯
−2 9 2 2 3
¯
¯
¯
2 −9 −1 0 −3
¯
¯
¯
−4 18 2 4 7
2 1
.
1 −2
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
A · A−1= E
, найти
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 −2 1
−1 2 4
.
−1 3 4
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−1 3 −1
−1 0 −1
4 1 1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
0 −3
−2 4
·
x
1
·
x
2
x
3
x11x
x21x
12
22
=
·
−3
9
.
4
−1 −3
1 −2
=
3 24
−6 −8
.
0 0 0 1 −1 1
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−8 0 0 −2 −2 −10
6 0 0 1 2 7
8 0 0 3 1 11
.
6 0 0 6 −3 12
276 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
4 0 3 0 −1
0 0 −1 0 −1
−1 0 2 0 3
2 0 3 0 1
5 0 12 0 7
9.
Найти общее решение системы уравнений
13 −5 −7 −3 −13
−3 3 3 3 39
2 2 1 3 52
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−7 0
.
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
14
9
1
.
0 0
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−3 4 −3
4 −3 2
−1 0 0
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {2; −5; −5}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {0; β; 0}−→c = {−1; −4; 3}
A(1; −1; 2),B(1; −3; −3),C(3; 2; 3)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(2; −3; 2),B(0; 2; 1),C(−3; −1; −3),D(−1; 0; −1)
| −3−→AB − 4
−−→
CD |
ABC
, á)
(−3−→AB, −4
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−3−→AB, −4
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 277
~a = {5; −1; 2}
,~b = {−1; −5; 4},~c = {−1; −4; −5}
образуют
базис è найти êîîðдинаты вектора~d = {−20; −1; 37}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−2; 3; −1}
(~x,~c) = −10
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −3~a + 3~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−3x2+ 2y2− 3z2− 2xy + 0xz + 10yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
(1~u + 1~v)(−2~u + 1~v)
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 5,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.1
.
3x2+ 3y2− z2+ 24xy + 24xz − 8yz
относительно этого базиса.
~a = {1; 2; 3}
,~b = {−2; −5; 5}
(~x,~a) = −4,(~x,~b) = 34
, åñëè
~u = −3~a − 3~b
ê êаноническîìó
è
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
1 1 2
0 2 −1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
2 2 1
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 2, β = −1, ~a = {−3; −1; 2},~b = {2; −1; 1}
22.
Определить сумму êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
−2 3
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
−1 −1
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
5 −3
−2 −4
è
B =
−3 t
перестановочно?
1 0
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
3x2− 14x + 4
íà простейшие.
x4− 16
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2+ 2z + 16 + 8i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
4 + 4iè−3 − 4i
.
278 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 92
¯
¯
−1 −3 −2 2
¯
¯
¯
3 6 6 −6
−3 1
¯
¯
¯
1 3 3 −2
¯
¯
¯
3 9 6 −5
¯
¯
3 −1 6 −1 2
¯
¯
¯
9 −2 18 −3 6
¯
¯
¯
−9 3 −21 3 −6
¯
¯
¯
9 −3 18 −4 6
¯
¯
¯
−9 3 −18 3 −5
3 1
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−1 2 0
,
B =
0 3 0
.
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 0
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−2 2 1
3 −2 −1
.
A · A−1= E
, найти
3 0 4
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−1 −3 −2
2 4 −2
−1 −3 3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
1 0
·
0 1
x11x
x21x
x
1
·
=
−4 −1
−2 −1
·
x
2
x
3
12
22
3
−10
8
.
=
6 2
.
6 3
−8 0 2 −2 0 −4
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−5 0 1 −2 0 −5
−8 0 3 1 0 6
−5 0 1 −2 0 −5
.
−65 0 17 −14 0 −25
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 279
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
10 2 3 −1 0
11 3 2 2 0
−1 1 −1 1 0
−1 −1 −1 3 0
40 6 10 4 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
−4 −3 −2 0 −13
0 2 1 3 16
−4 −1 −1 3 3
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
3 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
5
8
−3
.
0 −5
0 4 −3
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
2 −2 4
1 3 1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−2; −5; 1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−2; β; −4}−→c = {−5; 1; 2}
A(3; −3; 3),B(3; 2; 2),C(3; −1; 2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(−2; 1; 1),B(3; −2; −2),C(−3; −3; −1),D(2; 1; 3)
| −2−→AB − 3
−−→
CD |
ABC
, á)
(−2−→AB, −3
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−2−→AB, −3
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
280 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {−3; 0; −3}
,~b = {0; 4; 3},~c = {1; 2; 1}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−11; 6; −8}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {0; 3; 5}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 3~a − 1~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.1
−5x2− 3y2− 4z2− 6xy + 4xz + 4yz
−2x2− 2y2+ 3z2− 16xy − 24xz + 24yz
относительно этого базиса.
~a = {2; −5; −5}
(~x,~a) = 0,(~x,~b) = −18è(~x,~c) = −12
(4~u − 2~v)(2~u + 2~v)
, åñëè
.
,~b = {3; 3; 2}
~u = 1~a − 1~b
ê
êаноническîìó âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−2 4 1
2 −2 −3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−1 0 4
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 1, β = 3, ~a = {3; −2; 3},~b = {−2; −2; 3}
22.
Определить произведение êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
3 6
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
−1 4
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
2 −2
2 0
è
B =
3 −2
перестановочно?
t 1
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
12x2− 9x − 40
íà простейшие.
x4− 4x
25.
Ðешить квадратное уравнение
2
z2− (−5 + 4i)z + 18 − 14i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
5 + 5iè2 + i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 281
¯
¯
2 6 9 −1
¯
¯
¯
4 14 18 −2
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
2 0 3
3 3 3
,
B =
2 1 −1
¯
¯
¯
−6 −18 −30 3
¯
¯
¯
¯
¯
−2 6 −6 3 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−2 6 −8 3 1
¯
¯
¯
−6 18 −18 8 3
¯
¯
¯
1 −2 0
−1 2 1
−1 −1 3
4 12 18 −3
6 −20 18 −9 −3
6 −18 18 −9 −4
Вариант A - 93
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
.
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 −1 0
−1 3 2
.
A · A−1= E
, найти
2 0 0
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
1 2 4
2 −1 −1
4 −3 4
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−1 4
1 −2
·
x
1
·
x
2
x
3
x11x
x21x
12
22
=
·
−7
−12
11
.
−4 −3
−1 1
=
37 40
−17 −18
.
−1 1 −2 1 0 −1
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−3 −2 −1 −2 0 −13
4 −2 −2 2 0 −8
2 2 2 1 0 14
.
−12 5 9 −8 0 26
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]