Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
282 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
4 0 2 −1 1
8 0 2 1 −1
15 0 2 2 3
13 0 1 3 1
48 0 11 2 9
9.
Найти общее решение системы уравнений
3 −1 −9 −4 −26
−4 −1 3 1 −5
5 3 3 2 36
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−5 −6
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
9
−14
19
.
.
−6 4
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
4 1 −1
1 −2 3
1 −3 0
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−3; 4; −4}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−2; β; 4}−→c = {−2; −3; −3}
A(−2; −2; −1),B(1; −2; 2),C(1; −3; 0)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
A(−2; 1; 2),B(2; 1; 1),C(2; −3; 3),D(−3; 1; −1)
| −2−→AB + 2
−−→
CD |
, á)
(−2−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
ABC D
[−2−→AB, 2
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 283
~a = {−4; −2; 5}
,~b = {5; −4; 5},~c = {2; 4; 1}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {39; −22; −3}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−1; 2; 0}
(~x,~c) = −6
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −3~a + 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 2,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.3
−5x2+ 1y2− 2z2− 2xy + 6xz + 4yz
−x2+ y2+ 2z2− 8xy + 8xz + 8yz
относительно этого базиса.
~a = {2; 4; 5}
(~x,~a) = −25,(~x,~b) = −2
(4~u + 2~v)(−3~u − 4~v)
.
,~b = {4; −2; 2}
, åñëè
~u = −4~a − 3~b
ê êаноническîìó
è
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
0 3 2
3 −3 2
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−1 −2 4
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 3, β = −3, ~a = {−1; −3; −2},~b = {3; 1; −3}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 3x − 22 = 0
A =
, åñëè
−3 −1
?
−4 p
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
6 1
−1 −1
è
B =
6 2
перестановочно?
−2 t
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
4x2+ 5x − 8
íà простейшие.
x4+ 4x
25.
2
Ðешить квадратное уравнение
z2− (−1 − 5i)z − 6 − 10i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
4 + 2iè2 − 2i
.
284 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 94
¯
¯
2 3 −2 −1
¯
¯
¯
2 2 −2 −1
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
2 0
B =
,
−3 −3
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
−2 −3 4 1
¯
¯
¯
4 6 −4 −3
¯
¯
2 −3 −2 −2 −6
¯
¯
¯
2 −2 −2 −2 −6
¯
¯
¯
−6 9 8 6 18
¯
¯
¯
6 −9 −6 −8 −18
¯
¯
¯
4 −6 −4 −4 −14
−3 0
.
1 2
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A · A−1= E
, найти
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
3 −1 1
1 −2 −2
.
3 −3 −2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
2 4 2
1 0 −1
1 1 2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−3 −2
2 4
·
·
x
1
x
2
x
3
x11x
x21x
=
12
22
10
−5
4
·
.
−3 −2
−1 −4
=
6 −26
−12 12
.
−6 3 −1 0 0 −9
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−9 3 −2 0 0 −12
7 −1 2 0 0 8
4 −1 1 0 0 5
.
−12 9 −1 0 0 −21
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 285
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
5 1 1 0 1
5 −1 2 0 3
6 1 1 0 2
3 1 −1 0 3
27 8 −1 0 13
9.
Найти общее решение системы уравнений
28 3 −3 5 109
−8 1 3 −1 −41
2 3 3 1 −7
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−3 2
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
x
x
x
x
x
0
0
=
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
3
−15
51
.
.
2 −6
0 1 −2
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
4 2 0
−1 1 −2
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {1; −2; −1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {4; β; −5}−→c = {−4; −1; 5}
A(1; 2; 1),B(−2; 2; 2),C(1; −1; 2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
A(−3; −2; −2),B(−3; 1; −3),C(−1; 2; −3),D(−1; 3; −3)
| −3−→AB + 2
−−→
CD |
, á)
(−3−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
ABC D
[−3−→AB, 2
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
.
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
286 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {−4; 0; 5}
,~b = {−4; −2; 1},~c = {−3; −5; 0}
образуют базис
è найти êîîðдинаты вектора~d = {−8; −10; 15}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {0; 3; −3}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −2~a − 3~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 3,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.8
7x2+ 6y2+ 7z2+ 8xy + 10xz + 6yz
−2x2+ 3y2− 2z2− 24xy + 12xz − 24yz
.
относительно этого базиса.
~a = {2; −5; 1}
(~x,~a) = 2,(~x,~b) = −10è(~x,~c) = 0
(−1~u + 4~v)(4~u − 3~v)
, åñëè
,~b = {5; 3; 2}
~u = 2~a + 4~b
ê
êаноническîìó âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−3 1 3
2 0 3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
2 −1 −1
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 2, β = 3, ~a = {2; 1; −2},~b = {3; 0; 1}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 8x + 39 = 0
A =
, åñëè
p 6
?
−4 5
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
2 1
6 −3
è
B =
t 1
перестановочно?
6 −4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
9x2+ 0x − 7
íà простейшие.
x4− 2x
25.
3
Ðешить квадратное уравнение
z2− (−3 + 2i)z − 1 − 3i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
1 − 2iè−2 + 3i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 287
¯
¯
1 9 −3 6
¯
¯
¯
2 15 −6 12
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
−3 −27 6 −18
¯
¯
¯
2 18 −6 15
¯
¯
−1 −2 −2 −1 −9
¯
¯
¯
−3 −5 −6 −3 −27
¯
¯
¯
−3 −6 −5 −3 −27
¯
¯
¯
3 6 6 4 27
¯
¯
¯
−2 −4 −4 −2 −21
A =
0 0 3
−2 3 −2
−2 −1
B =
2 3
,
3 2
Вариант A - 95
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−3 −3 1
4 2 −2
.
A · A−1= E
, найти
1 3 0
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−3 0 2
1 −2 −2
−2 −2 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−1 2
3 1
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
=
·
x
2
x
3
−4 −1
−18
16
1
0 −3
.
=
−20 16
32 −13
.
2 0 −2 −1 1 2
7.
Вычислить ðàíã матрицы
0 0 −2 −2 −1 −1
−9 0 −1 2 −2 −14
−3 0 −1 2 1 −5
.
−15 0 −13 −1 −2 −29
288 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−2 0 0 1 3
0 0 0 3 3
−3 0 0 −1 2
3 0 0 2 −1
4 0 0 3 −1
9.
Найти общее решение системы уравнений
−14 1 5 5 −16
−6 2 3 2 −10
−8 −1 2 3 −6
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
1 0
.
x
x
x
x
x
=
0
0
.
0
0
0
1
2
3
4
5
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−2
−8
−10
.
0 −3
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
3 −3 2
2 −1 −2
−2 −2 −1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−1; 5; 1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {4; β; 5}−→c = {−1; 1; 0}
A(−1; −2; −1),B(1; −2; 1),C(2; 3; 3)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 2−→AB − 2
A(−2; −3; −1),B(0; −3; −1),C(1; −2; −3),D(1; −2; 3)
−−→
CD |
, á)
(2−→AB, −2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[2−→AB, −2
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 289
~a = {−2; 3; −3}
,~b = {4; −1; −4},~c = {5; 2; −2}
образуют базис
è найти êîîðдинаты вектора~d = {−15; 0; −25}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {1; −4; 1}
(~x,~c) = −15
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 1~a − 1~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.2
−4x2− 5y2− 2z2+ 0xy + 4xz + 4yz
3x2+ y2+ 2z2+ 12xy + 4xz + 16yz
относительно этого базиса.
~a = {−4; 2; 5}
(~x,~a) = −9,(~x,~b) = 18
(−4~u − 1~v)(−3~u + 4~v)
.
,~b = {0; 4; −2}
è
, åñëè
~u = −4~a + 3~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−2 0 3
1 4 −1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
1 2 3
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 2, β = −2, ~a = {1; 2; −1},~b = {−2; 2; 2}
22.
Определить сумму êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
−4 −4
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
4 1
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
1 4
4 3
è
B =
−1 t
перестановочно?
−6 −4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
7x2+ 12x − 69
íà простейшие.
x4− 18x2+ 81
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (−2 − i)z + 12 − 6i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
4 + 2iè−3 + 3i
.
290 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 96
¯
¯
2 −3 3 4
¯
¯
¯
2 0 3 4
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
1 2 1
−2 0 3
,
B =
2 0 2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−4 6 −6 −6
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−2 −9 −1 3 −6
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−1 −2 2
−2 −1 3
0 1 1
2 −3 0 4
2 9 2 −3 6
6 30 6 −9 18
6 27 6 −8 18
6 27 6 −9 21
.
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 0 4
4 −1 1
.
A · A−1= E
, найти
2 0 0
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
1 −3 4
3 −2 1
−3 −1 −2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−1 3
3 −3
·
·
x11x
x21x
x
1
=
·
x
2
x
3
12
22
11
15
−13
−2 0
0 −1
.
=
14 −2
.
−18 0
0 0 −2 1 0 −1
7.
Вычислить ðàíã матрицы
3 0 −1 2 0 4
−5 0 −1 −2 0 −8
2 0 −2 2 0 2
.
−14 0 4 −9 0 −19
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 291
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
4 2 0 0 3
5 1 0 0 3
−4 2 0 0 −1
1 1 0 0 1
8 0 0 0 4
9.
Найти общее решение системы уравнений
15 0 −4 3 −83
6 1 −1 2 −52
−9 1 3 −1 31
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
2 0
x
x
x
x
x
1
2
3
4
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−16
8
24
.
.
0 −1
−3 −2 3
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
4 −1 0
−2 2 4
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {0; −5; −1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−1; β; −4}−→c = {1; 4; −4}
A(1; −1; −1),B(1; −3; −3),C(3; 2; −3)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
A(−3; 3; 0),B(3; 3; −1),C(−3; −3; 0),D(−1; 3; 2)
| −2−→AB + 2
−−→
CD |
, á)
(−2−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
ABC D
[−2−→AB, 2
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]