Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
332 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 110
¯
¯
3 3 3 −6
¯
¯
¯
−9 −12 −9 18
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
9 9 10 −18
¯
¯
¯
−3 −3 −3 8
¯
¯
−2 6 4 1 3
¯
¯
¯
−2 3 4 1 3
¯
¯
¯
6 −18 −10 −3 −9
¯
¯
¯
−2 6 4 2 3
¯
¯
¯
−6 18 12 3 10
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A =
1 0
4 −2
,
B =
A · A−1= E
0 −2
2 −2
, найти
.
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−1 2 −2
0 3 −1
.
0 1 −3
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−1 3 1
−1 −3 4
4 1 −3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
2 −3
2 3
·
·
x11x
x21x
12
22
x
1
x
2
x
3
=
·
−9
6
11
1 −2
0 3
.
=
5 14
.
−1 26
−7 0 3 −1 0 10
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−8 0 3 −2 0 11
5 0 −1 3 0 −6
−1 0 2 3 0 3
.
13 0 −5 3 0 −18
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 333
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
7 3 −1 −1 2
−4 −1 2 3 2
1 2 1 3 3
0 2 1 2 1
13 17 6 16 18
9.
Найти общее решение системы уравнений
−15 0 12 −3 −225
7 2 −1 2 45
2 2 3 1 −30
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−4 0
.
x
x
x
x
x
=
0
0
.
0
0
0
1
2
3
4
5
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−2
16
−54
.
0 −6
−2 1 −3
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−2 −3 −2
3 0 −1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {0; 2; 1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {1; β; −3}−→c = {−1; −1; −5}
A(−1; −2; −1),B(1; −2; 1),C(1; 3; 0)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(−3; 2; −3),B(1; −1; −2),C(−3; −1; −2),D(3; 2; −3)
| −3−→AB − 2
−−→
CD |
ABC
, á)
(−3−→AB, −2
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−3−→AB, −2
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
334 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {−5; 5; 2}
,~b = {−5; 2; 4},~c = {0; −4; 5}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−35; 11; 37}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~
b = {−2; −5; 4}è~c = {0; −5; −1}
(~x,~b) = −16è(~x,~c) = −19
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 4~a + 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
è известны
−4x2+ 0y2+ 5z2+ 8xy + 6xz − 8yz
.
| ~a |= 5,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.5
, åñëè известны ñêалярные произведения
x2+ y2+ z2+ 8xy + 8xz + 4yz
относительно этого базиса.
~a = {−1; −3; −1}
(−1~u − 3~v)(−3~u − 3~v)
.
,
(~x,~a) = −7
, åñëè
~u = −4~a + 2~b
ê êаноническîìó âèäó
ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
2 1 1
4 3 −2
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−1 2 1
,
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 2, β = 1, ~a = {3; 3; 3},~b = {0; 1; 3}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2+ 7x + 42 = 0
A =
, åñëè
p −5
?
6 −4
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−1 −1
3 −3
è
B =
t −4
перестановочно?
12 4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
9x2− 14x − 31
íà простейшие.
x4− 5x
25.
Ðешить квадратное уравнение
3
z2− (−6 − 8i)z − 6 + 24i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−4 − iè−5 − 3i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 335
Вариант A - 111
¯
¯
3 6 2 −2
¯
¯
¯
3 3 2 −2
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
9 18 4 −6
¯
¯
¯
3 6 2 −3
¯
¯
3 −4 −6 −3 1
¯
¯
¯
−9 14 18 9 −3
¯
¯
¯
9 −12 −20 −9 3
¯
¯
¯
−9 12 18 10 −3
¯
¯
¯
−6 8 12 6 −1
A =
1 −3 0
−2 −1 0
−3 3
B =
−2 1
,
−1 −1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−3 −2 −1
−3 −2 0
.
A · A−1= E
, найти
−1 0 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−3 1 0
0 −3 0
4 3 3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
2 −3
−3 0
·
x
1
·
x
2
x
3
x11x
x21x
12
22
=
·
−12
−9
13
.
−2 −3
−2 1
=
32 8
6 33
.
−11 −2 −1 −2 3 −13
7.
Вычислить ðàíã матрицы
1 3 −1 1 −1 −2
−7 1 1 −1 2 −9
6 −2 −1 1 −1 8
.
−44 3 −3 −6 10 −60
336 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
7 1 0 3 −1
13 1 0 2 3
5 −1 0 2 2
12 2 0 1 2
11 −3 0 12 −2
9.
Найти общее решение системы уравнений
−14 1 5 0 41
2 −1 1 2 −1
−8 1 2 −1 21
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
2 6
.
x
x
x
x
x
=
0
0
.
0
0
0
1
2
3
4
5
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−10
−3
−23
.
6 −7
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−3 −2 2
3 3 −2
−2 3 −3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {1; −2; 3}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−2; β; −3}−→c = {−1; −2; −2}
A(−3; −1; −2),B(−1; 3; −2),C(3; −3; −2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB − 4
A(−3; 2; −3),B(3; −1; −2),C(−2; −1; 1),D(2; 2; 3)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, −4
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, −4
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 337
~a = {4; 5; 3}
,~b = {−4; −5; 2},~c = {2; 3; 4}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−10; −13; 10}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~
b = {−2; −4; −2}è~c = {−1; 1; 2}
(~x,~b) = 8è(~x,~c) = −2
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 4~a − 3~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
è известны
7x2+ 2y2+ 7z2+ 4xy + 8xz + 4yz
.
| ~a |= 3,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.1
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
2x2+ 2y2+ 2z2+ 8xy + 8xz + 24yz
относительно этого базиса.
~a = {−2; −3; −5}
(4~u + 3~v)(−1~u − 1~v)
, åñëè
ê êаноническîìó
,
(~x,~a) = 18
~u = −4~a − 2~b
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
3 4 4
0 −1 4
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
3 4 2
,
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 2, β = 2, ~a = {1; 2; 2},~b = {1; 2; 1}
22.
Определить сумму êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
−3 2
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
1 −3
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−3 −2
6 3
è
B =
−1 t
перестановочно?
6 5
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
6x2− 3x − 140
íà простейшие.
x4− 50x2+ 625
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (3 − 3i)z + 4 + 3i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
1 + 5iè−3 + i
.
338 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 112
¯
¯
−1 −3 9 6
¯
¯
¯
3 6 −27 −18
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
2 0 −1
−1 2 0
,
B =
2 1 3
¯
¯
¯
3 9 −24 −18
¯
¯
¯
3 9 −27 −15
¯
¯
3 −9 −6 −3 −3
¯
¯
¯
−3 12 6 3 3
¯
¯
¯
9 −27 −21 −9 −9
¯
¯
¯
−6 18 12 7 6
¯
¯
¯
−6 18 12 6 7
2 0 3
−1 0 −2
0 1 3
AB
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
2 −1 4
2 0 0
.
A · A−1= E
, найти
0 −1 0
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
2 −2 4
−1 0 −1
−1 2 −2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−3 −1
4 −1
·
·
x11x
x21x
x
1
=
·
x
2
x
3
12
22
26
−8
−14
1 −2
0 3
.
=
3 0
3 −42
.
−21 2 −2 3 0 3
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−9 3 −2 −2 0 9
−12 1 −2 1 0 4
−18 1 −2 3 0 2
.
36 −6 6 0 0 −18
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 339
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
−4 0 −1 0 1
7 0 3 0 2
7 0 2 0 −1
4 0 1 0 −1
20 0 9 0 7
9.
Найти общее решение системы уравнений
−20 4 6 −4 −60
−4 −1 3 1 15
−8 1 3 −1 −15
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
7 4
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
−15
−15
−30
.
4 1
−1 −1 4
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
1 1 −3
1 1 0
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−1; 4; −1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−2; β; −1}−→c = {5; −1; 4}
A(−1; 2; 2),B(1; −1; −3),C(−3; −1; −1)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB − 4
A(−3; −3; 1),B(−2; −3; 2),C(3; 3; 0),D(−2; 0; 1)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, −4
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, −4
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
340 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {2; 1; −3}
,~b = {−4; 3; −2},~c = {1; −1; 4}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {8; 4; −12}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {5; 3; 0}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 2~a + 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 4,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.2
−5x2+ 4y2+ 5z2+ 0xy + 8xz + 6yz
−2x2+ 2y2− z2− 16xy + 8xz − 8yz
относительно этого базиса.
~a = {−2; −1; 1}
(~x,~a) = 4,(~x,~b) = 13è(~x,~c) = −23
(1~u + 1~v)(2~u − 3~v)
, åñëè
.
,~b = {−5; 2; 1}
~u = −1~a − 2~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−1 −2 −3
4 4 4
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
4 3 4
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 1, β = −2, ~a = {1; −1; 1},~b = {2; 2; 0}
22.
Определить произведение êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
−6 3
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
−4 −3
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−3 3
−4 2
è
B =
4 0
перестановочно?
t 4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
−3x2+ 34x − 75
íà простейшие.
x3− 10x2+ 25x
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (5 + 9i)z − 14 + 18i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−2 − 5iè1 − 3i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 341
Вариант A - 113
¯
¯
−1 −4 9 −9
¯
¯
¯
2 6 −18 18
4 −1
¯
¯
¯
−2 −8 21 −18
¯
¯
¯
1 4 −9 12
¯
¯
1 −3 6 4 9
¯
¯
¯
−1 6 −6 −4 −9
¯
¯
¯
1 −3 4 4 9
¯
¯
¯
−2 6 −12 −10 −18
¯
¯
¯
2 −6 12 8 21
AB
.
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
0 −3
A =
4 −3
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
B =
,
−1 1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A · A−1= E
, найти
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−1 1 −1
3 2 2
.
−3 −1 −2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
−3 −2 1
2 −1 4
−1 3 3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
1 −3
−2 2
·
x
1
·
x
2
x
3
x11x
x21x
12
22
=
·
−8
17
−1
.
−4 −4
2 0
=
−52 −44
48 40
.
−2 −1 −2 1 3 −13
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−6 1 2 3 −1 −5
−1 1 2 −2 −1 10
2 −1 −1 −1 1 −2
.
−11 6 13 3 −12 32
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]