Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
242 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 80
¯
¯
−3 −4 1 2
¯
¯
¯
−6 −6 2 4
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
−1 3
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
4 1
B =
,
−2 −2
−2 −1
¯
¯
¯
9 12 −4 −6
¯
¯
¯
9 12 −3 −4
¯
¯
−3 −6 −6 −4 2
¯
¯
¯
−6 −10 −12 −8 4
¯
¯
¯
9 18 21 12 −6
¯
¯
¯
−9 −18 −18 −14 6
¯
¯
¯
3 6 6 4 −4
.
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A · A−1= E
, найти
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 −1 1
2 1 −1
.
2 4 −2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
1 −1 4
4 −3 0
4 −3 1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
2 3
−1 4
·
x
·
x
x
x11x
x21x
=
·
17
2
6
−2 3
.
1 1
=
10 25
28 −7
.
1
2
3
12
22
−14 2 −2 1 0 −6
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−9 3 2 3 0 −1
−8 3 1 1 0 −6
4 −2 −2 −2 0 0
.
−41 4 −5 7 0 −3
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 243
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
0 0 −1 0 1
0 0 1 0 −1
−5 0 2 0 3
−2 0 −1 0 3
−3 0 7 0 −4
9.
Найти общее решение системы уравнений
−1 1 −3 3 25
1 −1 1 −1 −9
1 −1 −1 1 7
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
7 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
0
0
=
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
2
2
−2
.
0 −5
−3 1 2
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
4 1 −2
−3 0 3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {3; −4; −5}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {4; β; 1}−→c = {−2; 4; 3}
A(−1; 1; 2),B(−2; 1; −1),C(2; −3; 0)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
A(−2; 3; 0),B(−1; 1; 2),C(2; 3; 3),D(−1; −1; −2)
| −2−→AB + 2
−−→
CD |
, á)
(−2−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
ABC D
[−2−→AB, 2
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
244 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {1; −2; −5}
,~b = {−2; −1; −1},~c = {0; 4; 2}
образуют базис
è найти êîîðдинаты вектора~d = {1; 11; 10}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−4; 0; 0}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −2~a − 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 3,|~b |= 4,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.1
−5x2+ 2y2+ 5z2− 10xy − 8xz + 10y z
2x2− 2y2− z2+ 24xy − 16xz − 4yz
относительно этого базиса.
~a = {−4; −2; 3}
(~x,~a) = −4,(~x,~b) = 4è(~x,~c) = −4
(−2~u − 4~v)(1~u + 3~v)
, åñëè
.
,~b = {5; −1; 1}
~u = 3~a − 3~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
3 0 0
4 0 −3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
2 3 0
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 2, β = 3, ~a = {3; −3; 3},~b = {−1; 3; 0}
22.
Определить произведение êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
−4 −6
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
3 −3
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
1 6
0 5
è
B =
−3 −2
перестановочно?
t −4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
3x2− 8x + 0
íà простейшие.
x3− 4x2+ 4x
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (−1 + 11i)z − 48 + 8i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−4 − iè5 + 3i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 245
¯
¯
−3 −6 2 −3
¯
¯
¯
−3 −4 2 −3
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
¯
¯
¯
3 6 0 3
¯
¯
¯
9 18 −6 10
¯
¯
2 6 −1 −2 −3
¯
¯
¯
−2 −3 1 2 3
¯
¯
¯
4 12 −3 −4 −6
¯
¯
¯
2 6 −1 −1 −3
¯
¯
¯
−4 −12 2 4 9
A =
3 −3 1
−1 2 −2
3 0
B =
−1 3
,
−3 −3
Вариант A - 81
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
0 3 1
0 1 −1
.
A · A−1= E
, найти
2 −1 2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
3 −2 0
3 1 4
4 3 0
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−2 2
2 −3
·
·
x
1
x
2
x
3
x11x
x21x
=
12
22
5
6
1
·
.
1 −1
−2 0
=
−6 −2
9 5
.
1 −1 −2 0 1 −8
7.
Вычислить ðàíã матрицы
2 −2 −2 0 3 −14
−1 2 3 0 −2 14
2 2 2 0 −1 10
.
−3 14 19 0 −13 92
246 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
4 −1 3 0 0
10 2 3 0 0
8 3 1 0 0
6 2 1 0 0
52 12 14 0 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
−23 4 6 −5 106
7 −1 −1 2 −29
−2 1 3 1 19
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
−3 −3
A =
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
x
x
x
x
x
0
0
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
−9
11
−42
.
.
−3 5
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
2 3 1
−2 −1 −1
−1 2 −1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−1; 5; 0}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {3; β; −1}−→c = {−1; 1; 1}
A(−2; 2; −1),B(0; −1; 1),C(−2; 2; −2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
ä) квадрат площади грани
.
A(−2; 3; 2),B(2; −2; 3),C(−3; −3; 3),D(−3; −1; 3)
| −2−→AB − 3
−−→
CD |
ABC
, á)
(−2−→AB, −3
CD)
, å) объем тетраэäðà
−−→
, â)
[−2−→AB, −3
ABC D
, ä) работу ñèëû
AD
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
, æ) достроить тетраэäð äî
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 247
~a = {−1; 5; 3}
,~b = {0; −5; 2},~c = {2; 3; 5}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {9; −9; −9}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−2; −2; 2}
(~x,~c) = −6
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −1~a + 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−5x2− 4y2− 2z2+ 6xy + 0xz − 2yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 2,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.1
2x2− 2y2+ 2z2+ 16xy − 8xz + 16yz
относительно этого базиса.
~a = {5; −3; 2}
(~x,~a) = −12,(~x,~b) = −7
(3~u + 1~v)(4~u + 3~v)
, åñëè
.
,~b = {−3; −5; 3}
~u = 1~a − 4~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−3 1 1
4 0 3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
−3 −2 4
è
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 3, β = −1, ~a = {−1; −1; −1},~b = {3; 3; 0}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− x − 35 = 0
A =
, åñëè
5 −3
?
−5 p
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−2 4
−3 −1
è
B =
−3 −4
перестановочно?
3 t
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
7x2− 14x + 48
íà простейшие.
x3− 216
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (−5 + 2i)z + 39 + 13i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−4 − 2iè4 − 5i
.
248 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 82
¯
¯
−3 −1 −2 −4
¯
¯
¯
6 1 4 8
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
0 0 1
0 3 0
,
B =
−2 −2 3
¯
¯
¯
−6 −2 −5 −8
¯
¯
¯
−3 −1 −2 −2
¯
¯
−3 −9 4 −6 −6
¯
¯
¯
−6 −21 8 −12 −12
¯
¯
¯
3 9 −6 6 6
¯
¯
¯
−6 −18 8 −14 −12
¯
¯
¯
−9 −27 12 −18 −16
1 −1 0
3 0 1
3 1 −1
.
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
2 1 −1
1 0 −1
.
A · A−1= E
, найти
2 4 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
3 3 −1
0 3 −2
−1 3 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
3 −2
4 −1
·
·
x11x
x21x
x
1
x
2
x
3
12
22
=
·
−5
−8
3 3
0 −4
8
.
=
3 3
.
−6 −26
−3 0 0 3 −2 5
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−15 0 0 2 3 12
9 0 0 −2 −1 −8
−9 0 0 2 1 8
.
−12 0 0 1 3 9
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 249
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
4 1 2 −1 0
1 −1 −1 2 0
16 3 2 1 0
−2 −1 −1 1 0
65 10 10 5 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
8 3 −2 4 107
6 2 −1 3 72
2 1 −1 1 35
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
5 2
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
3
10
13
.
2 8
1 0 −1
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
2 2 1
1 4 0
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {−2; 5; −1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−1; β; 0}−→c = {1; 1; 0}
A(2; −3; 1),B(2; 1; 2),C(3; 2; 2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 3−→AB − 2
A(−1; 1; −1),B(−1; −1; −3),C(−3; 1; 0),D(−3; 0; 2)
−−→
CD |
, á)
(3−→AB, −2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[3−→AB, −2
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
250 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {3; −3; −2}
,~b = {−1; 2; −4},~c = {0; −5; −1}
образуют
базис è найти êîîðдинаты вектора~d = {10; −10; −31}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−3; −5; 1}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −4~a − 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−3x2− 3y2− 5z2+ 0xy + 0xz + 2yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
(1~u − 2~v)(1~u − 3~v)
è известны
| ~a |= 5,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.9
.
−x2+ y2− 2z2− 4xy + 12xz − 24yz
относительно этого базиса.
~a = {−2; −4; −5}
,~b = {3; 4; 5}
(~x,~a) = 9,(~x,~b) = −7è(~x,~c) = 3
, åñëè
~u = 2~a − 2~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
−3 −1 1
−1 1 4
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
0 4 0
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = 1, β = −2, ~a = {2; 2; −1},~b = {0; 0; 3}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 0x + 4 = 0
A =
, åñëè
p −5
?
4 −4
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
−4 5
0 0
è
B =
t 5
перестановочно?
0 −1
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
5x2− x + 55
íà простейшие.
x3+ 125
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− (2 + 3i)z + 13 − 41i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
4 − 4iè3 − i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 251
¯
¯
2 9 −3 3
¯
¯
¯
2 12 −3 3
−1 1
2 −1
¯
¯
¯
−4 −18 9 −6
¯
¯
¯
6 27 −9 8
¯
¯
2 −3 −3 −6 −6
¯
¯
¯
−6 10 9 18 18
¯
¯
¯
2 −3 −6 −6 −6
¯
¯
¯
−2 3 3 3 6
¯
¯
¯
6 −9 −9 −18 −21
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
1 0 −1
,
B =
1 1 2
2 2
Вариант A - 83
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AB
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−1 1 4
1 −1 4
.
A · A−1= E
, найти
4 −3 −1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
3 1 0
0 0 −3
1 −2 2
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
1 2
−1 1
·
·
x11x
x21x
x
1
=
·
x
2
x
3
12
22
−11
−3
3
−1 0
0 −4
.
=
−3 28
.
−6 8
−2 −2 1 0 −2 7
7.
Вычислить ðàíã матрицы
11 −1 −1 0 2 −1
−2 1 −2 0 −1 2
−2 1 1 0 1 −5
.
−16 5 −4 0 −3 0
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]