Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
362 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 120
¯
¯
1 6 −1 6
¯
¯
¯
−1 −4 1 −6
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
1 0 0
3 −1 1
,
B =
0 −1 −1
¯
¯
¯
−1 −6 0 −6
¯
¯
¯
3 18 −3 21
¯
¯
2 6 −9 −3 1
¯
¯
¯
−2 −3 9 3 −1
¯
¯
¯
−4 −12 15 6 −2
¯
¯
¯
4 12 −18 −7 2
¯
¯
¯
6 18 −27 −9 2
2 3 0
0 3 1
1 2 −2
.
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
3 4 0
1 1 0
.
A · A−1= E
, найти
0 2 2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
1 1 −3
1 1 0
−2 3 0
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−3 1
2 4
·
·
x11x
x21x
x
1
x
2
x
3
12
22
=
·
−7
2
−9
0 −2
−2 −4
.
=
18 62
.
−40 −88
−2 0 0 1 3 −10
7.
Вычислить ðàíã матрицы
1 0 0 −1 −2 7
0 0 0 1 1 −4
−3 0 0 −1 2 −5
.
−11 0 0 −4 7 −17
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 363
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
2 0 0 −1 −1
−5 0 0 2 3
−4 0 0 3 1
−3 0 0 2 1
−28 0 0 16 12
9.
Найти общее решение системы уравнений
−10 3 2 −1 −46
6 −1 2 3 18
−2 1 2 1 −14
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
8 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
x
x
x
x
0
0
=
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
−4
4
−12
.
0 −4
2 0 −3
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−2 1 2
−2 −3 −1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {1; −4; 1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {4; β; 4}−→c = {−2; 3; −3}
A(1; 1; 0),B(3; −2; 1),C(3; −2; −2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
A(−2; −3; 1),B(−1; −1; 1),C(−1; 3; −2),D(1; 3; 1)
| −3−→AB + 2
−−→
CD |
, á)
(−3−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
ABC D
[−3−→AB, 2
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
364 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {−1; −2; −2}
,~b = {5; 3; 4},~c = {−4; −3; −3}
образуют
базис è найти êîîðдинаты вектора~d = {8; 13; 12}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {1; 2; 4}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −1~a + 4~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
−5x2− 4y2− 3z2+ 4xy − 4xz + 6yz
| ~a |= 3,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.5
.
−x2− 2y2− z2− 4xy − 16xz − 8yz
относительно этого базиса.
~a = {2; −2; 5}
(~x,~a) = 32,(~x,~b) = 2è(~x,~c) = 13
(2~u + 3~v)(2~u + 2~v)
, åñëè
,~b = {−4; −2; 2}
~u = 4~a + 1~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
0 1 3
−1 3 −1
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
3 4 1
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 2, β = 1, ~a = {−2; 3; −2},~b = {−3; 1; 1}
22.
Определить произведение êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
4 −2
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
−4 −5
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
1 −3
6 −2
è
B =
1 1
перестановочно?
t 2
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
6x2− 22x + 9
íà простейшие.
x3− 6x2+ 9x
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− 13iz − 67 − 5i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
2 + iè−1 + 2i
.
Библиографический список
1. Кузнецов Ë.À. Сборник заданий ïî высшей математикå/ Ë.À. Кузнецов.М.:Высшая
øêîëà, 1994.175ñ.
2. Мироненкî Å.Ñ. Высшая математикà/ Å.Ñ Мироненкî. М.:Высшая øêîëà,1998.110ñ.
Ермолаев Þðèé Данилович
Типовой расчет
ïî линейной è векторной алгебре
Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
Ðедактор Ò.М.Курьянова
Ïîдписано â печать
Объем 22.7 ï.ë.
Электронный формат pdf
Издательство Липецкîãî ãîñóдарственного техническîãî университетà.
398600 Липецк, óë. Ìîñêîâñêàÿ, 30.
Информационный ïîðòàë
ÃÎÓ ÂÏÎ ËÃÒÓ
http://www.stu.lipetsk.ru
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]