Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Типовой расчет по линейной и векторной алгебре. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие
.pdf
162 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
5 0 2 0 −1
7 0 3 0 −1
5 0 2 0 −1
−5 0 −1 0 3
31 0 16 0 1
9.
Найти общее решение системы уравнений
−10 −3 −5 2 86
3 1 2 −1 −39
7 2 3 −1 −47
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−3 −2
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
3
0
−3
.
.
−2 −6
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
0 1 1
2 1 2
0 −3 −2
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {3; 4; −4}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {1; β; 1}−→c = {1; 5; −1}
A(1; −3; −2),B(0; −3; 1),C(−3; 2; 0)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB − 4
A(3; 3; 2),B(−3; 1; −1),C(3; −1; 1),D(2; −3; −1)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, −4
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, −4
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 163
~a = {3; 4; −5}
,~b = {−2; 2; 3},~c = {1; 2; 3}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−11; −30; 10}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {5; 1; 1}
(~x,~c) = −1
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −2~a + 1~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 2,|~b |= 2,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.8
−4x2− 5y2− 5z2− 2xy + 2xz − 4yz
x2+ y2− z2+ 12xy + 12xz − 8y z
относительно этого базиса.
~a = {3; 0; 3}
(~x,~a) = −12,(~x,~b) = −7
(−1~u + 3~v)(1~u + 2~v)
.
,~b = {−1; −1; 1}
è
, åñëè
~u = 1~a + 4~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
2 −3 −1
4 3 3
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
4 −3 0
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 2, β = 3, ~a = {−3; 1; 3},~b = {−2; −3; −1}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2+ 8x + 3 = 0
A =
, åñëè
−5 −6
?
−2 p
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
5 −1
2 6
è
B =
−3 3
перестановочно?
−6 t
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
2x2+ 9x + 12
íà простейшие.
x4+ 4x
25.
Ðешить квадратное уравнение
2
z2− (−8 − 5i)z + 11 + 17i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
−5 − 2iè5 + 4i
.
164 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 54
¯
¯
1 −3 1 3
¯
¯
¯
−3 10 −3 −9
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
A =
0 −2 3
1 2 −1
,
B =
−1 2 2
¯
¯
¯
−2 6 −3 −6
¯
¯
¯
−3 9 −3 −10
¯
¯
1 9 3 −9 6
¯
¯
¯
−1 −6 −3 9 −6
¯
¯
¯
1 9 2 −9 6
¯
¯
¯
1 9 3 −6 6
¯
¯
¯
−1 −9 −3 9 −9
−2 0 1
−2 −2 −1
−1 1 0
AB
матриц
.
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−1 4 3
0 −1 −3
.
A · A−1= E
, найти
−1 0 1
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
2 3 4
−3 3 4
−2 −1 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
2 −1
−1 −2
·
·
x11x
x21x
x
1
x
2
x
3
12
22
=
·
5
−5
−4
0 3
−2 −1
.
=
−18 0
.
4 −25
−1 1 2 1 0 5
7.
Вычислить ðàíã матрицы
3 1 2 3 0 9
−6 −2 1 −1 0 −3
1 −1 −2 −1 0 −5
.
16 4 3 9 0 25
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 165
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
4 3 0 −1 0
0 −1 0 −1 0
2 3 0 1 0
−3 −1 0 2 0
17 14 0 −3 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
−2 6 3 1 96
−4 3 2 −1 59
2 3 1 2 37
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
3 2
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
14
1
15
.
2 0
0 1 −1
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−3 0 1
1 −3 2
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {5; −2; 3}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {0; β; 2}−→c = {−3; 4; −2}
A(−2; 3; 3),B(−1; 1; 3),C(−1; −1; 0)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
A(3; 2; 3),B(−3; 1; 2),C(3; −1; 2),D(−3; 0; 3)
| −3−→AB + 2
−−→
CD |
, á)
(−3−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
ABC D
[−3−→AB, 2
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
.
−−→
CD]
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
166 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
~a = {4; 2; 3}
,~b = {1; 0; 3},~c = {−2; −1; 4}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {20; 8; 35}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−4; −3; 5}
(~x,~c) = 34
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = 3~a − 3~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
−4x2+ 1y2+ 2z2+ 6xy + 8xz + 0yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
.
è известны
| ~a |= 2,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.6
относительно этого базиса.
~a = {3; −2; 4}
(~x,~a) = −3,(~x,~b) = −1
(3~u + 3~v)(−2~u − 1~v)
, åñëè
.
x2+ 3y2− z2+ 4xy + 24xz − 8yz
,~b = {1; 2; 0}
~u = 1~a − 4~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
2 −1 0
−2 −3 4
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
4 −3 0
è
è
,
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 3, β = 3, ~a = {−1; 3; −1},~b = {−2; 3; 2}
22.
Ïðè êàêîì çíàчении параметраpуравнение
являетсÿ õарактеристическим äëÿ линейного оператора
вычислить
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
x2− 10x + 44 = 0
A =
, åñëè
p −4
?
5 6
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
5 3
3 −4
è
B =
t 1
перестановочно?
1 −1
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
2x2+ 13x − 12
íà простейшие.
x4− 5x
25.
Ðешить квадратное уравнение
3
z2− (6 + i)z + 11 + 13i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
4 + 3iè3 + 5i
.
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 167
Вариант A - 55
¯
¯
−3 −3 −6 −6
¯
¯
¯
−9 −10 −18 −18
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
6 6 9 12
¯
¯
¯
−6 −6 −12 −15
¯
¯
−1 3 2 −6 9
¯
¯
¯
−1 4 2 −6 9
¯
¯
¯
2 −6 −3 12 −18
¯
¯
¯
2 −6 −4 14 −18
¯
¯
¯
−1 3 2 −6 12
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A =
2 −1
0 2
,
B =
A · A−1= E
−1 1
2 2
, найти
.
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−1 1 0
1 −2 1
.
3 −2 −2
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
1 0 4
4 −3 −1
−1 0 3
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
−3 1
−2 −1
·
·
x11x
x21x
x
1
x
2
x
3
12
22
=
·
−6
−4
−1
−4 3
−2 −1
.
=
−46 12
.
6 −7
0 0 2 −1 3 3
7.
Вычислить ðàíã матрицы
7 0 −1 3 3 −2
−4 0 2 −1 −1 −1
3 0 −1 1 1 0
.
−9 0 1 −6 −2 9
168 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
7 2 3 −1 1
−3 3 −1 2 2
−2 3 1 3 1
4 −1 3 1 −1
14 0 7 0 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
−3 1 2 0 −44
−2 2 1 2 16
−5 3 3 2 −28
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
−4 0
.
x
x
x
x
x
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
1
2
3
4
5
=
−1
5
−6
.
0 1
11.
Вычислить сумму âñåõ собственных чисел матрицы
A =
3 −1 4
−3 −2 2
−3 4 −3
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {2; 4; 1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {1; β; −3}−→c = {5; 2; 2}
A(−2; 3; 0),B(0; −1; 1),C(−3; −1; −2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB − 4
A(3; −1; −2),B(2; 2; 1),C(3; 2; 0),D(−2; −2; 2)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, −4
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, −4
ABC D
, æ) достроить тетраэäð äî
−−→
CD]
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
15.
Äîêазать, ÷òî векторы
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 169
~a = {1; −4; −1}
,~b = {5; 2; 5},~c = {4; 1; −1}
образуют базис è
найти êîîðдинаты вектора~d = {−39; 5; −6}
16.
Найти êîîðдинаты вектора~xïî известным векторам
~c = {−1; 3; −1}
17.
Найти çíàчение ñêалярного произведения
~v = −3~a + 2~b
18.
Используÿ критерий Сильвестра, исследовать íà çíàêоопределенность квадратичную
форму
19.
6x2+ 7y2+ 5z2+ 8xy + 4xz + 10yz
Привести квадратичную форму
, åñëè известны ñêалярные произведения
è известны
| ~a |= 2,|~b |= 3,ϕ = (c~a,~b),cos ϕ = 0.5
−x2− 2y2− z2− 4xy − 24xz − 8yz
относительно этого базиса.
~a = {−4; 2; 5}
(~x,~a) = 29,(~x,~b) = 4è(~x,~c) = 1
(−4~u + 1~v)(1~u + 1~v)
.
,~b = {−3; −3; 2}
, åñëè
~u = 4~a + 2~b
ê êаноническîìó
âèäó ìåòîäîì Лагранжà.
20.
Найти матрицу линейного оператора â базисе
0
~e
= − ~e1+ ~e2− 2~e3,
2
A =
1 −1 2
2 3 2
0
~e
= − ~e1+ 2~e2+ ~e3, åñëè îíà задана â базисе
3
{~e
; ~e
1
0
; ~e
}
3
, ãäå
2
0
~e
= ~e1− ~e2+ ~e3,
1
{~e1; ~e2; ~e3}
0
0
1 1 4
(â ответ записать элементы ãлавной диагонали новой матрицы).
è
.
,
21.
Äëÿ векторов~aè~b
α = − 1, β = 1, ~a = {3; −3; −2},~b = {−3; −2; −1}
22.
Определить сумму êорней õарактеристическîãî уравнения
äëÿ линейного оператора
вычислить
−4 −5
A =
| α~a + β~b |,(α~a, β~b)è[α~a, β~b]
.
.
, åñëè
x2+ px + q = 0
5 −3
23.
Ïðè êàêîì çíàчении параметра t произведение матриц
A =
2 3
0 1
è
B =
2 t
перестановочно?
0 −4
24.
Вычислить êоэффициенты â числителях ïðè разлоæåíèè рациональной дроби
3x2− 4x − 9
íà простейшие.
x4− 18x2+ 81
25.
Ðешить квадратное уравнение
z2− 2z − 2 − 4i = 0
.
 ответе óêазать êорень ñ наименьшим ìîäóëåì.
26.
Найти êоэффициенты многочлена наименьшей степени,
ó êоторого известны äâà êîðíÿ
3 + 4iè2 − i
.
170 ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра
Вариант A - 56
¯
¯
−1 3 3 −1
¯
¯
¯
3 −6 −9 3
1.
Вычислить определитель
2.
Вычислить определитель
3.
Вычислить определитель произведения
4.
Вычислить обратную матрицу, проверить выполнение óсловия
¯
¯
¯
−1 3 4 −1
¯
¯
¯
−1 3 3 0
¯
¯
3 −2 2 −4 2
¯
¯
¯
−3 3 −2 4 −2
¯
¯
¯
3 −2 4 −4 2
¯
¯
¯
3 −2 2 −2 2
¯
¯
¯
−6 4 −4 8 −6
AB
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
матриц
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A =
−3 4
−1 1
,
B =
A · A−1= E
0 3
1 0
, найти
.
сумму âñåõ элементов обратной матрицы è величину, обратную åå определителю.
A =
−1 0 −1
−1 −1 −3
.
−1 3 0
5.
Ðешить систему уравнений ïî формуëàì Крамера, ñ помощью обратной матрицы è
ìåòîäîì Ãàóññà.
0 0 4
0 −2 1
3 4 −1
6.
Ðешить матричное уравнение è записать элементы матрицы X ïî строкàì
1 2
−3 2
·
·
x11x
x21x
x
1
x
2
x
3
12
22
=
·
4
3
7
−1 −4
2 1
.
=
4 −12
.
−20 −52
−16 −2 −2 0 3 5
7.
Вычислить ðàíã матрицы
−3 −2 −1 0 −2 −3
−4 −2 2 0 3 −7
15 1 3 0 −2 −9
.
−99 −11 −7 0 28 27
ÒÐ-11 Линейная è векторная алгебра 171
8.
Найти фундаментальную систему решений è общее решение îднороäíîé системы
уравнений
3 1 0 1 0
5 1 0 2 0
−1 1 0 −1 0
5 1 0 2 0
6 2 0 2 0
9.
Найти общее решение системы уравнений
17 7 −2 4 152
2 1 1 1 11
5 2 −1 1 47
10.
Вычислить собственные числа è собственные векторы матрицыA.
A =
5 0
.
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
0
0
.
0
0
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
=
9
6
33
.
0 8
2 1 4
11.
Вычислить произведение âñåõ собственных чисел матрицы
A =
−3 2 4
2 1 −1
12.
Найти çíàчения параметраβ, ïðè êоторых векторы−→a
−→
a
,−→b
,−→c
êомпланарны.−→a = {4; 2; −1}
13.
Äàíû 3 вершины треугольникà
,−→b = {−3; β; −5}−→c = {3; −5; −1}
A(−3; 1; 1),B(−1; −1; 1),C(1; 2; −2)
è−→b
ортогональны, à векторы
.
.
−−−→
Вычислить: à) квадрат длины вектора
параллелограммов
параллелограмма
ABC D1è
ABD2C
ABC D1, â) êîîðдинаты точки пересечения медиан треугольникà
D1D2, достроив треугольник äî
, á) êîîðдинаты точки пересечения диагоналей
ABC
−−→
ã) êîîðдинаты вектора ñ íàчалом â òî÷êåC, равного вектору−→BA
ïóòè
ABC D
14.
Äàíû 4 точки
Вычислить: à)
квадрат площади грани
.
| 4−→AB + 2
A(1; 1; 1),B(−2; 2; 3),C(3; −1; 0),D(−3; 3; −2)
−−→
CD |
, á)
(4−→AB, 2
ABC
, å) объем тетраэäðà
−−→
CD)
, â)
[4−→AB, 2
ABC D
−−→
CD]
, æ) достроить тетраэäð äî
, ä) работу ñèëû
.
−−→
, ã)
[
AD, [−→AB,−→AC]]
AD
, ä)
параллелепипеда è найти квадрат длины åãî диагонали, идущей èç вершиныA, ç)
êîîðдинаты вектора ñ единичной абсциссой, идущего èç вершиныDперпендикулярно
−−→
грани
ABC
, è) направляющие êосинуñû вектора
AD
, ê) проекцию вектора−→AB
íà
CD
,
íà
,
ë) ïðè êàêîì çíàчении аппликàòû точкиDâñå 4 точки ëåæàò â îäíîé плоскîñòè.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]