Типовой расчет по дифференциальным уравнениям. Часть 2. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

32

ТР-31 Дифференциальные уравнения

y00 ¡ 4y0 ¡ 12y = 3e¡2x sin 6x.

1)

e

2x

2) Axe

2x

x

3)

¡

2¡xA cos 6x + B sin 6x¢

4)

e¡

2x¡

sin 6

Ae¡

sin 6x

Ax cos 6x + Bx sin 6x

30.2. Определить вид частного

решения дифференциального уравнения

¡

¢

y00 + 25y = ¡3e3x sin 5x.

1)

3x

2) Axe3x

x

3)

e

3¡xAx cos 5x + Bx sin 5x¢

4)

e

3x

sin 5

Ae

sin 5x

A cos 5x + B sin 5x

30.3. Определить вид частного

решения дифференциального уравнения

¡

¢

30.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡

¢

.

y00 + 4y0 + 40y = e¡2x

120 cos 6x + 36 sin 6x

30.8.

решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 4y0 = ¡

64

1 + e¡4x .

490

30.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 + 49y =

cos2 7x.

30.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 2y1

¡ 2y2

¡

¡

:

> y0

= 10y

1

¡

2y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 4 è y2(0) =

8.

>

ТР-31 Дифференциальные уравнения

33

Вариант D - 31

31.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 5y + 6y = e3x

4x + 6

1) Ax

0

B

¡

2) e3x ¢Ax.

B

3)

3x

+ 2

4)

¡2

+

¢

e

Ax

+ Bx

Ax

+ Bx

Определить

31.2. ¡

¢ вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 16y =

2x cos 4x.

1)

2

¡

2

+ Dx) sin 4x¢

2)

3)

(Ax2

+ Bx) cos 4x + (Cx

4) (Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x¢

(Ax + Bx + C) cos 4x

(Ax + B) cos 4x

31.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00

6y0 + 25y = e3x

6x cos 6x ¡ 4 sin 6x

.

1)¡e3x

Ax2

Bx

¡

x

Cx2

Dx ¢

x 2) e3x

Ax

B

x

C

x

3)

e

3x¡(

2

+

) cos 6

+ (

+

) sin 6

¢ 4)

e

3x¡(

+

) cos 6

+

sin 6

¢

¡Ax

cos 6x + Bx sin 6x¢

¡(Ax + B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x¢

y00

¡ 4y0 + 13y = ¡670 cos 8x + 65 sin 8x.

3e2x

31.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 4y0 + 4y = ¡p

25 ¡ x

2

.

31.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 36y = 144 tg 6x.

¡

31.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡4y1

+ y2

:

=

16y

12y

> y0

¡

1

¡

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 8

è

y2

.

>

(0) = 2

Вариант

D - 32

32.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡4x 0

¡ 2

¡ 2)

4x ¢.

y00

2y

8y = e4x

2x + 5

3)

e ¡2Ax + Bx¢

4)

e ¡Ax + B¢

Ax + Bx

Ax + B

32.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 36y = 3x sin 6x.

1)

(Ax + B) sin 6x

2) (Ax2 + Bx + C) sin 6x

¢

32.3. Определить вид частного

¢

3)

(Ax + B) cos 6x + (Cx + D) sin 6x

4) (Ax2

+ Bx) cos 6x + (Cx2 + Dx) sin 6x

2x0

¡

¡

¡

решения дифференциального уравнения

1)

¢.

2)

2x

2

y00 + 4y

+ 29y = e

2x 5 cos 6x

3x sin 6x

3)

e¡2x

¡(Ax2+ B) cos 6x + (Cx +2D) sin 6x¢

4)

e¡2x

¡Ax cos 6x + (Bx + Cx) sin 6x¢

e¡

¡(Ax + Bx) cos 6x + (Cx + Dx) sin 6x¢

e¡

¡A cos 6x + (Cx + D) sin 6x¢

32.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 + 10y0 + 25y =

12e¡5x

36 + x2 .

32.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 + 49y = 392 ctg 7x.

32.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 4y1

+ y2

:

= 10y

5y

> y0

1

¡

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 5 è y2(0) = 16.

>

ТР-31 Дифференциальные уравнения

35

Вариант

D - 33

33.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)

Bx

¡

2)

3¢

.

y00 ¡ 6y0

+ 9y = e¡3x

5x ¡ 3

3)

Ax3x

+

2

4)

e¡

¡Ax + B¢

2

¡

¢

x

33.2.

e¡

Ax + Bx

Ax + B

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y = 6x cos 3x

¡

2 sin 3x.

¢

3)

2

+

) cos 3

+

2

4)

1)

(Ax2

Bx

x

Cx sin 3x

2) (Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x

33.3.

Определить вид частного решения¢дифференциального уравнения

(Ax + Bx) cos 3x + (Cx + Dx) sin 3x

(Ax + B) cos 3x + C sin 3x

1)

e

2x

Ax

x¡

Bx¡

x

¢.

2) e 2x

A cos 3x + B sin 3x

y00 + 4y0

+ 13y = e

2x

3 cos 3x + 6 sin 3x

3)

¡2x

¡

cos 3

+

sin 3

¢

4)

¡2x

¡

2

cos 3x + Bx

2 ¢

e¡

¡(Ax + B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x¢

e¡

¡Ax

sin 3x¢

33.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡решение

¢

.

y00

¡ 6y0 + 45y = e3x

96 cos 6x ¡ 72 sin 6x

2e3x

y00

33.8.

дифференциального уравнения

¡ 6y0 + 9y = ¡px2 + 4.

33.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 9y =

144

cos2 3x.

33.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡3y1 ¡ 5y2

:

= 5y

3y

> y0

1

¡

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 5

è

.

>

y2(0) = 15

Вариант D - 34

34.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)

2x0

¡

¡

2)

¢2x.

3

2

y00 + 4y

+ 4y = e

2x

3x + 3

3) e¡2x

¡Ax3+ B¢

2

¢

4) e¡2x

¡Ax2

+ Bx + Cx + D¢

34.2.

¡

e¡

¡

¢

e¡

Ax + Bx

Ax + Bx

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 36y = 6 cos 6x

¡

4x sin 6x.

(Ax2+ B) cos 6x + (Cx +2D) sin 6x¢

3)

Ax cos 6x + (Cx

2

+ Dx) sin 6x

4)

1)

2)

¢

34.3.

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

A cos 6x + (Cx + D) sin 6x

(Ax + Bx) cos 6x + (Cx + Dx) sin 6x

y00

+ 6y0 + 45y = 230 cos 5x + 240 sin 5x.

34.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 12y0 + 36y =

p

2e6x

.

x

2

¡ 49

34.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 64y = 896 tg 8x.

34.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 4y1

+ 5y2

>

y1(0) = 3 è y2(0) = 9.

:

=

5y

4y

> y0

¡

1

¡

2

<

2

ТР-31 Дифференциальные уравнения

37

y00 + 3y0 = 5x2 ¡ 3x ¡ 1.

1)

Ax3 + Bx2

+ Cx + D

2)

Ax3

+ Bx2 + Cx

3)

Ax4 + Bx3

+ Cx2

4)

Ax2

+ Bx + C

1)

Ax3 + Bx2

+ Cx + D

2)

Ax4

+ Bx3 + Cx2

3)

Ax3 + Bx2

+ Cx

4)

Ax2

+ Bx + C

35.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= 4y1 ¡ y2

>

:

= y

+ 2y

> y0

1

2

< 2

36.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

1)¡

2x

2

¡ ¡

2)

¢2.x

y00

2y0

= e2x

3x + 3

3) e

¡Ax + Bx¢

4)

e ¡2Ax + B¢

Ax + B

Ax + Bx

y00 + 36y = ¡2e2x cos 6x.

2¡x

¢

3)

2x

cos 6

4)

cos 6

+

sin 6

1)

Axe2x

x

2)

e2x A

x

B

x

36.3. ¡

¢

e Ax cos 6x + Bx sin 6x

Ae cos 6x

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 4y0 + 29y = e2x(6x + 2):

1) e2x(Ax2 + Bx)

2) e2x(Ax3 + Bx2 + Cx)

36.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Найти общее

¡решение

¢

.

y00

¡ 6y0 + 45y = e3x

60 cos 6x ¡ 48 sin 6x

50

36.8.

дифференциального уравнения

y00

+ 5y0 =

1 + e5x .

300

36.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 25y =

cos2 5x.

36.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

> y0

=

¡

4y

1

+

6y

2

<

2

+ y2

8 y10

= 2y1

:

удовлетворяющее начальным условиям

y1(0) = 6 è y2(0) = 12.

>

ТР-31 Дифференциальные уравнения

39

Вариант

D - 37

37.1. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 ¡ 2y0 ¡ 8y = ¡2 cos 4x.

1)

A cos 4x + B sin 4x

2) A cos 4x

3)

Ax cos 4x

4) Ax cos 4x + Bx sin 4x

37.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 4y = 6e3x sin 2x.

¡3x

¢

3)

e

3¡xA cos 2x + B sin 2x¢

4)

cos 2

+

sin 2

1)

3x

2) e3x

Ax

x

Bx

x

Ae

sin 2x

Axe sin 2x

37.3. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00

8y

+ 41y = e4x

2x cos 3x + 2 sin 3x

1)¡

4x

0

Ax2

¡

2

¢.

2) e4x

Ax

B

x

Cx

D

x

3)

e4x

¡(

2

+ Bx) cos 3x + (Cx

+ Dx) sin 3x¢

4)

4x¡(

+

) cos 3

+ (

+

) sin 3

¢

37.4.

¡

¢

¡

¢

e

Ax cos 3x + Bx sin 3x

e (Ax + B) cos 3x + C sin 3x

37.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 ¡ 7y0 + 12y = e¡3x

¡210x + 61¢.

37.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00

+ 4y0 + 13y = 67 cos 2x + 21 sin 2x.

37.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

¡ 10y0 + 25y =

p

3e5x

81 ¡ x

2

.

37.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00

+ 16y = 96 tg 4x.

37.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

8 y10

= ¡7y1 + 3y2

¡

:

> y0

=

¡

3y

1

¡

7y

2

<

2

удовлетворяющее начальным условиям

y1

(0) = 6 è y2(0) = 3.

>

40

ТР-31 Дифференциальные уравнения

y00 ¡ 11y0 + 30y = 5 sin 6x.

1)

Ax cos 6x + Bx sin 6x 2) A sin 6x

3)

A cos 6x + B sin 6x

4) Ax sin 6x

38.2. Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 9y =

¡

3x cos 3x.

(Ax2+ B) cos 3x + (Cx + D) sin 3x¢

3)

(Ax2+ B) cos 3x

2

4)

1)

2)

38.3. Определить вид частного решения¢дифференциального уравнения

(Ax + Bx) cos 3x + (Cx + Dx) sin 3x

(Ax + Bx + C) cos 3x

y00 + 4y0

+ 20y = e¡2x

¡ 2 cos 3x ¡ 3x sin 3x .

¡2x

¡

¢

3)

¡2x

¡(

+

) cos 3

2

¢

4)

1)

e

2x

Ax

B

¡

x + (Cx + D) sin 3x

¢

2) e

2x

(Ax2 + Bx) cos 3x + (Cx2

+ Dx) sin 3x

e¡

¡Ax cos 3x + (Bx + Cx) sin 3x¢

e¡

¡A cos 3x + (Cx + D) sin 3x¢

38.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 + 10y0 + 25y =

16e¡5x

16 + x2 .

38.9. Найти общее решение дифференциального уравнения y00 + 81y = 972 ctg 9x.

38.10. Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

> y100

= 4y1 ¡

4y2

>

y

= 4y

5y

y1(0) =

¡

2

y2(0) = 4

:

1 ¡

<

2

2

удовлетворяющее начальным условиям

è

.

ТР-31 Дифференциальные уравнения

41

y00 ¡ 3y0

¡ 18y = 4e¡3x cos 6x.

¡3x

¢

3)

3x

4)

1)

Ae¡3x cos 6x

2)

e¡3x

A cos 6x + B sin 6x

39.2.

¡

¢

e¡

Ax cos 6x + Bx sin 6x

Axe¡

cos 6x

Определить вид частного решения дифференциального уравнения

y00 + 16y = 2x sin 4x.

¡

1)

(Ax2 + Bx + C) sin 4x

¢

2) (Ax + B) sin 4x

¢

39.3.

Определить вид частного

4) (Ax2 + Bx) cos 4x + (Cx2

3)

(Ax + B) cos 4x + (Cx + D) sin 4x

+ Dx) sin 4x

1)¡e4x

A

x

B¡ ¡

x

решения дифференциального уравнения

2) e4x

Ax¢

B

x + (Cx + D) sin 5x

y00

8y0

+ 41y = e4x

2 cos 5x ¡ 3 sin 5x .

3)

e

4x

¡

cos 5

+

sin 5 ¢

4)

e

4x¡(

2

+ ) cos 5

2

sin 5x¢

¢

¡Ax cos 5x + Bx sin 5x¢

¡Ax

cos 5x + Bx

39.6. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00 + 4y0 + 4y = e¡2x

¡

¡ 18x + 18¢.

39.7. Найти общее решение дифференциального уравнения

y00

+ 8y0 + 16y =